CONJUNTOS Conceptos generales Profesor: Héctor Espinoza Hernández hectoresher@gmail.com

En esta presentación encontrarás: Idea de conjunto. Términos que significan conjunto. Idea de elemento. Notación de elementos y conjuntos. Diagramas de Venn-Euler. Representación gráfica de conjuntos. Relación de pertenencia. Determinación de conjuntos. Cardinal de un conjunto. Clases de conjuntos. Conjuntos especiales. Relación de inclusión. Igualdad de conjuntos. Subconjunto de un conjunto. Conjuntos disjuntos. Conjunto de conjuntos. Conjunto potencia. George Cantor. Video.

Idea de conjunto Conjunto es cualquier colección de objetos reales o abstractos que tienen características comunes. Ejemplos: - Las letras del alfabeto. - Los planetas del sistema solar. - Un grupo de músicos. - Los peces del mar. - Los miembros de una familia.

Términos que significan conjunto Muchos otros términos podemos utilizar para dar la idea de conjunto; ente ellos tenemos: - Familia - Agrupación - Grupo - Equipo - Lista - Colección - Batallón - Rebaño - Manada

Idea de elemento Elemento es cualquier objeto que forma parte o no de un determinado conjunto. Ejemplos: - El número 25. - El papá de un hogar. - Un habitante del Perú. - El planeta tierra. - La letra “h” del alfabeto castellano.

Notación de conjuntos y elementos Los conjuntos se denotan o nombran con letras mayúsculas, tales como: A, B, C, D, E, etc Los elementos se simbolizan con letras minúsculas, tales como: a, b, c, d, e, etc.

Diagramas de Venn-Euler Son líneas cerradas de cualquier forma. Se llaman así en honor a dos matemáticos, Venn quién lo ideó para estudiar a los conjuntos y Euler quién lo utilizó con fines educativos. rectángulo Elipse Triángulo No tiene nombre definido No tiene nombre definido

Representación gráfica de conjuntos Los conjuntos se representan gráficamente, encerrando a sus elementos mediante diagramas de Venn-Euler. En la gráfica presentamos al conjunto A, formado por los números naturales primos menores que 10.

Relación de pertenencia Cuando un cierto elemento forma parte de un conjunto se dice que pertenece, en caso contrario se dice que no pertenece. Ejemplo:

Determinación de conjuntos Un conjunto está bien definido o determinado cuando se sabe con precisión cuáles son sus elementos. Los conjuntos quedan bien determinados de dos maneras: por extensión y por comprensión.

Determinación por extensión Cuando se escriben los elementos del conjunto entre llaves y separados por comas o puntos y comas. Ejemplos: A = {do, re, mi, fa, sol, la, si} B = {a, b, c, d, e, …, z} C = {0, 2, 4, 6, 8, 10, … } D = {0, 1}

Determinación por comprensión Cuando solamente se escribe entre llaves las características comunes de sus elementos. Ejemplos: A = {x/x es vocal} B = {x/x es número primo} C = {x/x es planeta del sistema solar} D = {x є N/x< 100} E = {x+7/ 3 < x < 10}

Cardinal de un conjunto Es el número de elementos que tiene el conjunto. Se simboliza por n(A), que se lee “ene de A” y significa “número de elementos del conjunto A” o “cardinal del conjunto A”. Ejemplos:

Clases de conjuntos Conjunto Finito. Es el que tiene un número limitado de elementos. El proceso de contar sus elementos tiene fin en el tiempo. Ejemplos: A={x/x es letra del alfabeto castellano} B ={x/x es habitante del Perú}

Clases de conjuntos Conjunto Infinito. Es el que tiene un número ilimitado de elementos. El proceso de contar sus elementos no tiene fin en el tiempo. Ejemplos: A={x/x es estrella del universo} B ={xєN/x es par}

Conjuntos especiales Conjunto Nulo o Vacío. Es el que no tiene elementos. Se simboliza con la letra griega ø Ejemplos: A={x/x es hombre que vuela} = ø B ={xєN/4 < x < 5} = ø Vasija vacía

Conjuntos especiales Conjunto Unitario. Es el que tiene un solo elemento. Ejemplos: A={x/x es presidente constitucional del Perú} B ={xєN/4 < x < 6} C={saturno}

Conjuntos especiales Conjunto Universal. Es un conjunto referencial que se considera para un estudio. El conjunto universal siempre se simboliza con la letra U y se representa gráficamente en un rectángulo. Ejemplos: U={x/x es habitante del Perú} U ={x/x es número entero}

Relación de inclusión Cuando todos los elementos de un conjunto A son también elementos de otro conjunto B, se dice que el conjunto A está incluido en el conjunto B. Ejemplo:

Igualdad de conjuntos Dos conjuntos A y B, se dice que son iguales cuando tienen los mismos elementos, aunque en diferente orden. Ejemplo: A = {t, o, m, a} B = {m, o, t, a}

Subconjunto de un conjunto Subconjunto propio. Cuando un conjunto A está incluido en otro conjunto B, siendo A diferente de B. Ejemplo:

Subconjunto de un conjunto Subconjunto impropio. Cuando un conjunto A está incluido en otro conjunto B, siendo A igual B. Esto nos permite afirmar que “todo conjunto es subconjunto de si mismo”. Ejemplo:

Conjunto disjuntos Cuando dos conjunto A y B no tienen ningún elemento en común se dice que son disjuntos. En cambio, cuando hay algún elemento común se dice que son no disjuntos. Ejemplos: A y B son conjuntos disjuntos A y B son conjuntos no disjuntos

Conjunto de conjuntos Cuando los elementos de un conjunto A son a su vez conjuntos. Ejemplo: A = { {1,2,3};{5,7};{ 7 };{8,9} } En el conjunto A, observamos que: {1,2,3} є A {5,7} є A { 7 } є A {8,9} є A

Conjunto potencia El conjunto potencia de A es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. Se simboliza por P(A) que se lee “potencia de A”. Ejemplo: A = {1,2,3} P(A)={ {1};{2};{3};{1,2};{1,3};{2,3};A; ø } El número de elementos del conjunto potencia de A, es igual a 2n ; donde n es número de elementos de A. Así: n(A)=3; entonces n(P(A))= 23 = 8

George Cantor Matemático ruso Vida (1845-1918) Autor de la teoría de conjuntos. Dotó de contenido matemático a lo infinito. Saber más sobre cantor

VIDEO

FIN Serie: Documentos digitales “Torhec” Trujillo – Perú – 2009 hectoresher@gmail.com