Теория вероятностей

+28

No comments posted yet

Comments

Slide 1

Теория вероятностей

Slide 2

Случайные события Случайные события – это события, которые при одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти. Например: в следующем году первый снег выпадет в воскресенье; при бросании кубика выпадет шестерка.

Slide 3

Среди событий выделяют: невозможные и достоверные события. несовместные события, которые не могут наступить одновременно (например, выпадение двух граней при бросании кубика); независимые события (например, на двух бросаемых кубиках выпадет шестерка); противоположные события (например, на кубике выпадет четное число и на кубике выпадет нечетное число).

Slide 4

Равновозможные исходы – это исходы, имеющие одинаковые шансы (напр., выпадение очков на кубике). Благоприятные исходы – это исходы, при которых получается необходимый нам результат (напр., выпадение «пятерки»). Несовместные исходы – когда при появлении одного исхода исключается появление другого (напр., выпадение других граней кубика).

Slide 5

Определение вероятности. Вероятностью события называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу несовместных равновозможных исходов. PA = mA / n, где PA - вероятность события А, mA – число благоприятных исходов, n – общее число несовместных равновозможных исходов. П.Лаплас (1749-1827)

Slide 6

Решение, предложенное Даламбером: Опыт имеет три равновозможных исхода: обе монеты упали на «орла»; обе монеты упали на «решку»; одна из монет упала на «орла», другая на «решку». Из них благоприятными для нашего события будут два исхода, поэтому искомая вероятность равна 2/3. Правильное решение: Опыт имеет четыре равновозможных исхода: первая монета упала на «орла», вторая тоже на «орла»; первая монета упала на «решку», вторая тоже на «решку»; первая монета упала на «орла», а вторая на - «решку»; первая монета упала на «решку», а вторая на - «орла». Из них благоприятными для нашего события будут два исхода, поэтому искомая вероятность равна 2/4 или1/2. Задача: Какова вероятность, что подброшенные вверх две правильные монеты упадут на одну и ту же сторону?

Slide 7

Вероятность события А. PA = 1, если А – достоверное событие ( т.е. оно реализуется в каждом исходе); PA = 0, если А – невозможное событие ( т.е. оно вообще не реализуется); 0 < PA < 1, если А – случайное событие.

Slide 8

Правило сложения вероятностей. Вероятность того, что произойдет какое-либо из нескольких несовместных событий, равна сумме вероятностей рассматриваемых событий: PA+B = PA + PB Например, вероятность вытащить наугад из коробки либо красный, либо зеленый шар равна сумме двух вероятностей.

Slide 9

Правило умножения вероятностей. Вероятность того, что произойдут сразу несколько независимых событий, равна произведению вероятностей этих событий. Например, вероятность того, что при подбрасывании двух кубиков выпадут одинаковые очки, равна произведению двух вероятностей.

Slide 10

Рисунок 1. Вероятность выпадения одинаковых очков на двух кубиках.

Slide 11

Задача с разноцветными шарами. В ящике находятся три красных и один зеленый шар. Мы наугад вынимаем из ящика два шара. Какая вероятность больше – вынуть два красных шара или вынуть красный и зеленый шары?

Slide 12

Рисунок 2 Три способа вынуть два красных шара и три способа вынуть красный и зеленый шары.

Slide 13

Решение. Вероятность вынуть два красных шара равна произведению двух вероятностей: вероятности вынуть красный шар из четырех (Р=3/4) и вероятности вынуть красный шар из трех (Р=2/3), т.е. 3/4 х 2/3=1/2. Вероятность вынуть красный и зеленый шары равна сумме двух вероятностей: вероятность вынуть сначала красный, а потом зеленый шар (Р=3/4х1/3=1/4) плюс вероятность вынуть сначала зеленый, а потом красный шар (Р=1/4), т.е. 1/4+1/4=1/2. Следовательно, оба рассматриваемых исхода равновероятны.

Slide 14

Задача о звездочете. Некий властелин разгневался на звездочета. Он взял два черных и два белых шара и предложил звездочету распределить их по двум урнам. Если палач наугад выберет урну и вытащит из нее белый шар, то звездочет будет помилован, а если черный шар, то казнен. Как звездочет должен распределить шары, чтобы иметь больше шансов спастись?

Slide 15

Решение. Полная вероятность спастись звездочету зависит от двух вероятностей: К какой из двух урн подойдет палач? Какой шар палач достанет из урны? Чтобы иметь наибольшие шансы спастись, звездочет должен выбрать 3 вариант. Это есть наилучшая тактика.

Slide 16

1 вариант Рисунок Р = 1/2 Р=(1/2х1)+(1/2х1/3=2/3 Р=(1/2х0)+(1/2х2/3)=1/3 Р=1/2 Варианты распределения шаров по урнам. 3 2 вариант 3 вариант 4 вариант

Slide 17

Блуждание в лабиринте. Существует лабиринт, в котором хранятся сокровища и имеется западня, где живут опасные змеи. Неудачливые охотники за сокровищами, попадая в западню, погибают. Какова вероятность избежать западни и добраться до сокровищ?

Slide 18

1 2 3 4 5 А Рисунок 4. Единственный способ добраться от входа до сокровищ.

Slide 19

Решение. В каждом пункте у искателя сокровищ есть несколько вариантов пути, которые он может выбрать с определенной вероятностью: либо 1/2 , либо 1/3. Вероятность попасть из пункта А к сокровищам равна произведению всех вероятностей: Р= 1\2 х 1\3 х 1\2 х 1\3 х 1\2=1\72. Вероятность того, что искатель сокровищ попадет в западню, составляет Р=71/72.

Slide 20

Использование теории вероятности в играх Устройства для получения набора случайных чисел: Урны (например, ящик с шарами – лототрон, используемый в передаче «Спортлото»); Кости (например, кубики, используемые при игре в нарды); Рулетки (круг со стрелкой, используемый в передаче «Что? Где? Когда?»).

Slide 21

Использование теории вероятности в науке Прогнозирование природных катастроф (например, ожидание урагана); Теория ошибок наблюдений; Теория стрельбы; Метеорология; Статистика (например, подсчитано, что частота рождения мальчиков 0,518, а девочек 0,482)

URL: