Геометрическая вероятность

+8

No comments posted yet

Comments

Slide 2

Мы научились вычислять вероятности событий в опытах, имеющих конечное число равновозможных исходов. А как быть, если этих исходов бесконечно много? Как вычислить вероятность?

Slide 3

Выберем на географической карте мира случайную точку (например, зажмурим глаза и покажем указкой). Какова вероятность, что эта точка окажется в России? ? Для ответа на вопрос нужно знать, какую часть всей карты занимает Россия. Точнее, какую часть всей площади карты составляет Россия. Отношение этих площадей и даст искомую вероятность.

Slide 4

Определение геометрической вероятности: Пусть в некоторой ограниченной области плоскости Ω случайно выбирается точка: Если считать, что попадание в любую точку области равновозможно, то вероятность попадания случайной точки в заданное множество A будет равна отношению площадей:

Slide 5

Если A имеет нулевую площадь, то вероятность попадания в A равна нулю. Например, вероятность попадания на отрезок или в конкретную точку будет нулевой.

Slide 6

Правило вычисления геометрической вероятности Имеется некоторая область на прямой (на плоскости, в пространстве). В этой области наугад выбираются случайные точки так, что вероятность попадания точки в любую часть области пропорциональна ее длине (площади, объему) и не зависит от расположения и формы подобласти . Тогда вероятность попадания точки в область можно вычислить по одной из формул: ( L- длина) - для случайной точки на прямой; ( S - площадь) - для случайной точки на плоскости; ( V - объем) - для случайной точки в пространстве.

Slide 7

Задача 1. С какой вероятностью стрелка вертушки, изображенной на рисунке остановится на черном секторе? Длина дуги находится по формуле : L = αR, где α - центральный угол дуги, выраженный в радианах. Отсюда искомая вероятность будет

Slide 8

Задача 2. В квадрат со стороной 4 см «бросают» точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата будет меньше 1 см? Изобразим квадрат со стороной 4 см и закрасим в нем множество точек, удаленных от ближайшей стороны квадрата меньше, чем на 1 см . Площадь закрашенной части квадра­та составляет 16 см2 — 4 см2 = 12 см2. Отсюда искомая вероятность будет

Slide 9

Задача 3. Внутри отрезка МN случайным образом выбирается точка Х. Найти вероятность того, что точка Х ближе к N, чем к М. Пусть О – середина отрезка МN. Обозначим обозначенное событие через А. Это событие наступает только тогда, когда Х лежит внутри отреза ON.

Slide 10

Задача 4. Коля и Оля договорились встретиться в Центральном парке с 12.00 до 13.00. Пришедший первым ждет другого в течение 30 минут, после чего уходит. Какова вероятность, что они встретятся? Обозначим время прихода в парк Коли через х, а Оли — через у (для удобства будем выражать время в минутах, прошедших после 12 часов). Тогда точка с координатами (х, у) будет случайной точкой в квадрате на плоскости Оху, изображенном на рисунке. Каждая точка этого квадрата — это один из возможных исходов нашего эксперимента. Эксперимент завершается встречей, если выполняется условие │х - у│ < 30. Множество таких точек закрашено на рисунке.

URL: