Curvas_cónicas_Tangentes_intersecciones

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7. Curvas cónicas. Tangentes e intersecciones Superficies cónicas Curvas cónicas Propiedades de las circunferencias inscrita y exinscrita a un triángulo Teorema de Dandelin Circunferencia focal Intersección de una recta con una cónica Tangentes a una cónica Por un punto de la cónica Paralelas a una recta Por un punto exterior Circunferencia principal Créditos Índice

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Superficies cónicas Superficie cónica es la originada por el recorrido de una recta g, llamada generatriz, que se apoya en un punto V, vértice y en una curva d, llamada directriz. Si la directriz es una circunferencia perpendicular al eje e, se llama cono de revolución. e

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Curvas cónicas Curvas cónicas son secciones planas de una superficie cónica. Si el plano es perpendicular al eje, la sección es una circunferencia. Si el plano corta a todas las generatrices y es oblicuo al eje, la sección es una elipse. Si el plano es paralelo a dos generatrices, la sección es una hipérbola. Si si el plano es paralelo a una generatriz, la sección es una parábola.

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Propiedades de las circunferencias inscrita y exinscrita a un triángulo. Si dos circunferencias son tangentes a los lados de un ángulo y son a su vez tangentes a otra recta que corta a los dos lados, el segmento de recta comprendido entre los lados es igual a la distancia entre los puntos de tangencia de ambas circunferencias con dichos lados. Las distancias entre los puntos de tangencia de las circunferencias con la recta y los puntos de corte de la recta con los lados son iguales. AB = HI = EG AF = AH F’B = BG AF = F’B

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Teorema de Dandelin Dadas dos esferas tangentes a un cono y a un plano que lo corta, los puntos de tangencia de las esferas con el plano son los focos de la cónica determinada por el plano sobre el cono.

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Elipse Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos llamados focos F y F’ es constante e igual al eje mayor AB. Por aplicación del teorema de Dandelin: EG = HI = AB = CD Por ser segmentos tangentes a la misma esfera: PF = PC PF’ = PD Sumando las dos expresiones: PC + PD = CD PF + PF’ = AB

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Hipérbola Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos llamados focos F y F’ es constante e igual al eje real AB. Por aplicación del teorema de Dandelin: EG = HI = AB = CD Por ser segmentos tangentes a la misma esfera: PF = PC PF’ = PD Restando las dos expresiones: PC - PD = CD PF - PF’ = AB

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Parábola Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno llamado foco F y de una recta llamada directriz d. Por ser segmentos tangentes a la misma esfera: PC = PF Por estar C y D en el mismo plano horizontal y con el mismo ángulo: PC = PD Relacionando las dos expresiones: PF = PD

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Ejercicios Dibujar la parábola de eje e, directriz d y que pasa por el punto P.

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Circunferencia focal: Elipse Circunferencia focal de una cónica es la trazada con centro en un foco F y radio igual al eje mayor AB. Circunferencia focal de una elipse es la trazada con centro en un foco y radio igual al eje mayor AB. La elipse es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a la focal de centro F y que pasan por F’. PF + PF’ = AB PF + PT = AB PF’ = PT F F’

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Circunferencia focal: Hipérbola Circunferencia focal de una hipérbola es la trazada con centro en un foco F y radio igual al eje real AB. La hipérbola es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a la focal de centro F y que pasan por F’. PF - PF’ = AB PF - PT = AB PF’ = PT F F’

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Circunferencia focal: Parábola Circunferencia focal de una parábola es la directriz d, ya que uno de los focos es un punto impropio. La parábola es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a la directriz d y que pasan por el foco F. PF = PT

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Intersección de una recta con una cónica: Elipse Los puntos de intersección de una recta r con una elipse serán los centros de las circunferencias tangentes a la focal de centro F y que pasen por F’ y por el simétrico de F’ respecto a la recta. Se determina F’’, simétrico de F’ respecto a r. Por F’ y F’’ se traza una circunferencia cualquiera que corte a la focal y se determina su eje radical. La intersección con el eje radical F’F’’ será el centro radical Cr. Trazando desde Cr tangentes a la focal se determinan los puntos de tangencia T1 y T2 y uniéndolos con F, las intersecciones I1 e I2.

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Intersección de una recta con una cónica: Hipérbola Los puntos de intersección de una recta r con una hipérbola serán los centros de las circunferencias tangentes a la focal de centro F y que pasen por F’ y por el simétrico de F’ respecto a la recta. Se determina F’’, simétrico de F’ respecto a r. Por F’ y F’’ se traza una circunferencia cualquiera que corte a la focal y se determina su eje radical. La intersección con el eje radical F’F’’ será el centro radical Cr. Trazando desde Cr tangentes a la focal se determinan los puntos de tangencia T1 y T2 y uniéndolos con F, las intersecciones I1 e I2.

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Intersección de una recta con una cónica: Parábola Los puntos de intersección de una recta r con una parábola serán los centros de las circunferencias tangentes a la directriz d y que pasen por F y por el simétrico de F respecto a la recta. Se determina F’’, simétrico de F respecto a r y P, intersección del eje radical FF’’ con la directriz d. Desde P se traza una tangente a un circunferencia cualquiera que pase por F y F’’. La potencia será PT2. Trazando desde P una circunferencia de radio PT se obtienen los puntos de tangencia T1 y T2 y en las perpendiculares a la directriz, las intersecciones I1 e I2.

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Ejercicios Determinar la intersección de la recta r con la elipse de eje mayor AB y que pasa por el punto P.

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Tangentes a una cónica Normal a una cónica en un punto P de la misma es el radio de curvatura en dicho punto. Tangente a una cónica en un punto P de la misma es la perpendicular a la normal en dicho punto. La normal y la tangente en un punto P de la cónica son las bisectrices del ángulo PF-PF’.

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Tangentes por un punto de una cónica: Elipse El punto F’’, simétrico de F’ respecto a la tangente, es la intersección de la recta FP con la focal de centro F. La mediatriz del segmento F’F’’ es la recta t, tangente a la elipse por P.

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Tangentes por un punto de una cónica: Hipérbola El punto F’’, simétrico de F’ respecto a la tangente, es la intersección de la recta FP con la focal de centro F. La mediatriz del segmento F’F’’ es la recta t, tangente a la hipérbola por P.

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Tangentes por un punto de una cónica: Parábola El punto F’’, simétrico de F respecto a la tangente, es la intersección de la perpendicular trazada por P con la directriz d. La mediatriz del segmento FF’’ es la recta t, tangente a la parábola por P.

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Tangentes a una cónica paralelas a una recta: Elipse Los puntos F1 y F2, simétricos de F’ respecto a las tangentes, son las intersecciones de la perpendicular a la recta trazada por F’ con la focal de centro F. Las mediatrices de los segmentos F’F1 y F’F2 son las rectas t1 y t2, tangentes a la elipse. Los puntos de tangencia T1 y T2 son la intersección de las rectas FF1 y FF2 con las tangentes.

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Tangentes a una cónica paralelas a una recta: Hipérbola Los puntos F1 y F2, simétricos de F’ respecto a las tangentes, son las intersecciones de la perpendicular a la recta trazada por F’ con la focal de centro F. Las mediatrices de los segmentos F’F1 y F’F2 son las rectas t1 y t2, tangentes a la elipse. Los puntos de tangencia T1 y T2 son la intersección de las rectas FF1 y FF2 con las tangentes.

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Tangentes a una cónica paralelas a una recta: Parábola El punto F’’, simétrico de F respecto a la tangente, es la intersección de la perpendicular a la recta trazada por F con la directriz d. La mediatriz del segmentos FF’’ es la recta t, tangente a la elipse. El punto de tangencia T es la intersección de la perpendicular a la directriz trazada por F’’ con la tangente.

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Tangentes a una cónica desde un punto exterior: Elipse Los puntos F1 y F2, simétricos de F’ respecto a las tangentes, son las intersecciones de la circunferencia de centro P y que pasa por F’ con la focal de centro F. Las mediatrices de los segmentos F’F1 y F’F2 son las rectas t1 y t2, tangentes a la elipse. Los puntos de tangencia T1 y T2 son la intersección de las rectas FF1 y FF2 con las tangentes.

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Tangentes a una cónica desde un punto exterior: Hipérbola Los puntos F1 y F2, simétricos de F’ respecto a las tangentes, son las intersecciones de la circunferencia de centro P y que pasa por F’ con la focal de centro F. Las mediatrices de los segmentos F’F1 y F’F2 son las rectas t1 y t2, tangentes a la elipse. Los puntos de tangencia T1 y T2 son la intersección de las rectas FF1 y FF2 con las tangentes.

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Tangentes a una cónica desde un punto exterior: Parábola Los puntos F1 y F2, simétricos de F respecto a las tangentes, son las intersecciones de la circunferencia de centro P y que pasa por F con la directriz d. Las mediatrices de los segmentos FF1 y FF2 son las rectas t1 y t2, tangentes a la elipse. Los puntos de tangencia T1 y T2 son la intersección de las perpendiculares a la directriz trazadas por F1 y F2 con las tangentes.

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Circunferencia principal de una cónica: Elipse Circunferencia principal de una cónica es la semejante a la focal con centro en un foco F respecto al otro foco F’ y razón de semejanza K = 1/2. La circunferencia principal de la elipse tiene centro en O y radio igual a AB/2. F F’ AB/2 Es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde un foco a las tangentes. La elipse es la envolvente de las perpendiculares trazadas por el punto de intersección con la circunferencia principal a las rectas trazadas por un foco.

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Circunferencia principal de una cónica: Hipérbola La circunferencia principal de la hipérbola tiene centro en O y radio igual a AB/2. Es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde un foco a las tangentes. La hipérbola es la envolvente de las perpendiculares trazadas por el punto de intersección con la circunferencia principal a las rectas trazadas por un foco. F F’ P F’’ t

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Circunferencia principal de una cónica: Parábola La circunferencia principal de la parábola es la perpendicular al eje trazada por el vértice V. Es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde el foco a las tangentes. La parábola es la envolvente de las perpendiculares trazadas por el punto de intersección con la perpendicular al eje por el vértice a las rectas trazadas por el foco. P

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Ejercicios Dibujar las tangentes en la dirección r a la hipérbola de eje real AB y que es tangente a la recta t.

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Créditos Esta presentación ha sido ideada, creada y desarrollada por José I. Álamo Martín. 2014.

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