series cronologicas

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SERIES CRONOLOGICAS PROCESO ESTOCASTICO.- Es una colección de variables aleatorias X = { Xt / t Є T} donde T denota el conjunto de tiempos en los cuales el proceso está definido. Denotamos la variable aleatoria en el momento t por X (t) si t es continuo (-∞< t< ∞ ), y por Xt si t es discreto ( t = 0, ±1, ±2 ......), entonces un proceso estocástico es una colección de variables aleatorias que estan ordenadas en el tiempo. Xt: Ω → R talque W Є Ω → Xt(W) Є R

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TRAYECTORIA DE UN PROCESO ESTOCASTICO Para un mismo proceso estocástico existen diferentes trayectorias según cada W

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SERIE CRONOLOGICA O SERIE DE TIEMPO.- Es una realización (finita) de una trayectoria de un proceso estocástico para un determinado W elegido de las múltiples trayectorias. Eligiéndose primero la trayectoria y después del tramo. CLASIFICACION: 1° Clasificacion : i) Si T = Z diremos que la serie es discreta a pesar de que el fenómeno puede ser continuo ii) Si T= R+ diremos que la serie es continua a pesar que el fenómeno puede ser discreto

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2° Clasificación : Diremos que una serie Xt es equiespaciada si Xti+1 - Xti = k , constante para todo i OBSERVACIÓN . En el presente estudio supondremos que las series son equiespaciadas

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EJEMPLO : En un proceso productivo industrial se está efectuando el control de calidad de los productos defectuosos y no defectuosos (D y B) durante 3 horas al día; para lo cual se toma una muestra de 2 lotes cada hora y se registra el número de productos defectuosos por lote. Sí existe más 5% de productos defectuosos por lote se considera defectuoso; en caso contrario el lote es no defectuoso (bueno). Representar mediante un proceso estocástico el fenómeno y luego elegir una serie de tiempo de estudio

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OBJETIVOS DEL ESTUDIO DE UNA SERIE DE TIEMPO 1) MODELACION: Consiste en encontrar un modelo matemático que explique el comportamiento de la serie (y del fenómeno que lo origino) 2) PREDICCION: Dado una muestra de valores de la serie se desea predecir valores futuros en lo posible dando márgenes de error (intervalos de confianza) talque la predicción estará ligado al modelo elegido

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FORMULACION DEL PROBLEMA DE PREDICCION Dado una serie de tiempo X1, X2, X3.........Xn se desea predecir lo mejor posible la observación X n + k y se dice que se esta haciendo una predicción a k pasos, adelante donde el estante t = n se denomina origen de la predicción. la predicción correspondiente a Xn + k se denominará por (k). Si n es fijo entonces puede considerarse como una función Xn : N → R k ~ Xn(k) = Xn+ k análogamente el error de predicción en en(k) es e(n) : N → R k → e(n) (k) es tal que e(n) (k) = Xn(k) – Xn + k

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TECNICAS DESCRIPTIVAS SIMPLES En esta sección analizaremos algunas técnicas simples para analizar series de tiempo que nos permitan describir los componentes más relevantes de la serie tales como: - Tendencia - Componentes cíclicas o variación estacional - Variaciones irregulares PASOS PARA ANALIZAR UNA SERIE DE TIEMPO Para analizar una serie de tiempo se debe graficar la serie usando un sistema de coordenadas cuya avcisa es el tiempo y cuya ordenada son los valores de la serie en cada instante y luego se unen los puntos mediante trazos

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El gráfico de una serie de tiempo nos permite observar: a) PRESENCIA DE "OUTLIERS": OUTLIERS.- Son puntos de la serie que se comportan en forma Anormal

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FORMAS DE ANALIZAR LOS OUTLIERS i) Eliminando de la serie ii) Reemplazando por un promedio de los valores restantes o interpolando iii) Considerarlo y estudiando el porque de su comportamiento b) DETECTAR LA TENDENCIA La tendencia lo podemos definir en forma vaga como los cambios de la media en un período dado o a lo largo de un período

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c) DETECTAR VARIACIONES ESTACIONALES Definición: Sea Xt / t ε T una serie de tiempo diremos que la serie presenta variaciones estacionales o de estacionalidad si existe S ε R tal que Xt y Xt+kS, k ε N presentan comportamiento similares.

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OBSERVACION: Si los datos son mensuales S = 12 Si los datos son semestrales S = 6 Si los datos son trimestrales S = 4 donde S es el número de períodos. d) VARIACIONES CICLICAS.- Muy similares a las variaciones estacionales, pero no siempre presentan un periodo fijo. e) VARIACIONES IRREGULARES O ACCIDENTALES Una vez removida la tendencia y las variaciones estacionales, se produce una serie de residuos que puede ser o no ser aleatoria en los modelos simples las variaciones irregulares se supondrán cero, pero en los modelos probabilísticos serán estimados mediante procesos estocásticos. (Modelos de BOX- JENKINS)

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e) VARIACIONES IRREGULARES O ACCIDENTALES Una vez removida la tendencia y las variaciones estacionales, se produce una serie de residuos que puede ser o no ser aleatoria en los modelos simples las variaciones irregulares se supondrán cero, pero en los modelos probabilísticos serán estimados mediante procesos estocásticos. (Modelos de BOX- JENKINS

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MODELOS DE SERIES DE TIEMPO I.-MODELOS CLÁSICOS Modelos básicos Modelos de suavizamiento exponencial Modelos de Holtz- Winters MODELOS BASICOS a1 ) Xt = Tt +Et+At Modelo Aditivo

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Donde: Xt : Observación en el instante t Tt : Valor de la tendencia en el instante t E t : Estacionalidad en el Instante t At : Variación Irregular en el instante t OBSERVACIÓN: Solo consideraremos a1) y a3) pues a2 ) es un caso particular de a1 ) aplicando logaritmos .

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ESTIMACIÓN DE LA TENDENCIA Para estimar la tendencia es necesario renovar la variación estacional mediante el uso de filtros lineales. Un tipo de filtro es el llamado Medias Móviles y consiste en ajustar un polinomio de grado p a los datos de la serie Xt en otra serie Sea = a + at + at2 + at3 + ........a ( 1 ) Consideremos los 2m+1 primeros términos de la serie donde m є N y m es elegido arbitrariamente y el origen será el término central m +1 .

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CASOS PARTICULARES a)Si la serie es periódica De periodo S = 2m+1 ( impar ) m = (1/2m+1) Σ X t +.j j = - m De periodo par S = 2m (par) m-1 = (1/4m) X t - m + ( 1/2m) Σ X t +.j + (1/4m)X t+m j = - m +1

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CASOS ESPECIALES i) Si la serie es mensual periodo S = 12 luego m = 6 entonces 2m = 12 . 5 = (1/24) X t - 6 + ( 1/12) Σ X t +j + (1/24) X t +6 j = -5 ii) Si la serie es trimestral de periodo S = 4 entonces m = 2 1 = (1/8) X t – 2 + (1/4) Σ X t +j + (1/8 ) X t + 2 j=-1

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iii) Si la serie es semestral periodo S = 2 entonces m = 1 = (1/4) X t - 1. + ( 1/2) X t + ( 1/4) X t + 1 id) Si la serie es bimensual periodo 6 entonces m = 3 luego 2m = 6 = S 2 = ( 1/12) X t – 3 + (1/6) Σ X t + 2 + ( 1/12) X t +3 j = 2 En todos los casos se pierden 2m observaciones

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ESTIMACION DE LA TENDENCIA Una vez removida la variación estacional mediante medias móviles o filtros se procede a estimar la tendencia mediante los siguientes modelos : i) = a + bt MODELO LINEAL ii) = a +b + c t 2 MODELO CUADRATICO iii) = a MODELOEXPONENCIAL Iv) = exp{ a +brt } CURVA DE GOMPERTZ Los parámetros se estiman por el método de los mínimos cuadrados.

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ESTIMACION DE LA VARIACION ESTACIONAL Una vez estimada la tendencia se trabaja con una nueva serie llamada la serie de residuos. que denotamos por Rt , luego : PARA EL MODELO ADITIVO Xt = Tt +Et+At Rt = Xt – Zt si solo si Rt´ = Xt- Tt

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PARA EL MODELO MIXTO Xt = Tt * Et + At Rt = Xt / si y solo si R´= X / Para calcular Et , calculamos el promedio de los residuos eh para cada periodo : para h = 1, 2, ........,2m o h = 1,2, .......2m+1 Luego calculamos el promedio de los eh S = 1/s Σ e h ; S = 2m o S = 2m +1 h = 1

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COMENTARIOS i) Para efectos de calculo de la serie de residuos trabajamos con R´t pues tiene menos restricciones que Rt. ii) Para elegir entre un modelo aditivo o mixto se observa la serie de residuos en ambos casos y nos quedamos con aquella que varié menos en torno al valor promedio (menor error estándar ) iii) Si la serie tiene un periodo S entonces: Entonces basta estimar . iv) Si no existe factor estacional entonces podemos suponer Eh = 0 para el caso aditivo y Eh = 1 para el caso mixto , luego se desearía que el efecto estacional promedio a lo largo del periodo no exista o sea nulo, en en el caso aditivo y 1 en el caso mixto es decir: caso aditivo

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Para el caso mixto Luego podemos calcular el promedio de los residuos Eh para cada valor del periodo y continuación el promedio de los residuos Para estimar el factor estacional = E = ............ E h = - [ ė – 0 ] caso aditivo h = - [ ė – 1 ] caso mixto

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FORMULACION DEL PROBLEMA DE PREDICCION Si deseamos predecir la observación X( k +1) , se utiliza el modelo elegido y la predicción será : (k) = (n +k) + E(n+k) caso Aditivo (k) = (n +k) * E(n+k) caso Mixto donde k es el horizonte de la predicción en ambos casos el error de predicción esta dado por ê n(k) = X (n + k) - (k)

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Ejemplo A continuación se registra los índices de precios al consumidor de Lima Metropolitana por trimestre durante los años 1995 a 1999 base 1995 = 100%

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Serie de datos aplicando filtros lineales ( Medias móviles

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Calculo de la tendencia mediante un modelo de regresión lineal simple Tt = a + bt Tt = 94.063 + 4.74 t Se calcula la serie de residuos de acuerdo al modelo mixto Rt = Xt / si y solo si Rt= Xt /

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THE END

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Cálculo de la estacionalidad según la serie de residuos es decir de los e h PREDICION se hace mediante el modelo mixto calculado por (k) = (n +k) * E(n+k) caso Mixto INDICES DE PRECIOS ESTIMADOS PARA EL AÑO 2000

Summary: series cronologica

Tags: realidad social

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