Sistemas_axonométricos

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11. Sistemas axonométricos Axonometría ortogonal Punto Recta Plano Intersecciones Figuras planas Sólidos. Secciones Axonometría oblicua Punto, recta y plano Figuras planas Sólidos Créditos Índice

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Axonometría ortogonal La axonometría ortogonal consiste en una proyección cilíndrica ortogonal sobre el plano de proyección П. Se utilizan además tres planos de proyección auxiliares definidos por los ejes X, Y y Z que forman ángulos oblicuos con el plano de proyección П. El punto O' es la proyección del origen de coordenadas O y los ejes X’, Y’ y Z’ son las proyecciones de los ejes X, Y y Z. Un punto se representa por su proyección principal P’ y por sus tres proyecciones auxiliares P1’, P2’ y P3’. Posteriormente se eliminan las ‘, quedando los ejes X, Y, Z. Z X Y P1 P2 P3 O Z’ X’ Y’ P3’ P2’ P1’ P’ O’=

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Axonometría ortogonal. Triángulo de las trazas Triángulo de las trazas es la intersección de un plano paralelo al de proyección con los tres planos auxiliares definidos por los ejes X, Y y Z. Los lados del triángulo son perpendicu-lares a las prolongaciones de los ejes. A partir del triángulo de las trazas se puede determinar el coeficiente de reducción correspondiente a cada uno de los ejes abatiéndolos sobre el plano de proyección П. μX = OA / (O)A. μY = OB / (O)B. μZ = OC / (O)C. (O) (O) A B C

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Axonometría ortogonal. Tipos Según la posición de los ejes X, Y y Z respecto al plano de proyección П, la axonometría ortogonal puede ser isométrica, dimétrica y trimétrica. En la axonometría isométrica los ángulos que forman entre si los ejes son iguales. XOY = XOZ = YOZ = 120º. El coeficiente de reducción es igual para todos los ejes, μX = μY = μZ = 0,816. En la práctica se toma μX = μY = μZ = 1. En la axonometría dimétrica dos ángulos son iguales y el tercero diferente. XOY = XOZ = 132º; YOZ = 96º. Los coeficientes de reducción son μX = 1/2; μY = μZ = 1. En axonometría trimétrica los tres ángu-los son diferentes. XOY = 151º; XOZ = 108º; YOZ = 101º. Los coeficientes de reducción son μX = 2/3; μY = 5/6; μZ = 1.

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Axonometría ortogonal. Representación del punto Un punto P se representa por su proyec-ción principal y sus tres proyecciones auxiliares P1, P2 y P3. Para definir un punto son suficientes dos proyecciones. Un punto puede encontrarse en uno de los ocho octantes, en uno de los tres planos XOY, YOZ, XOZ, en uno de los tres ejes X, Y, Z o en el vértice O. P, situado en el 1er octante. Q, situado detrás de XOZ. R, situado detrás de YOZ. S, situado en XOY. T, situado en X. Un punto es visto si se encuentra en el primer octante y oculto en el resto. P3 P2 Q1 Q3 R1 R2 =S1 S2 S3 =T1=T2 =T3

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Axonometría ortogonal. Representación de la recta Una recta r se define por su proyección principal y sus tres proyecciones auxiliares r1, r2, r3. Para definir una recta son suficientes dos proyecciones. Trazas de una recta son las interseccio-nes con los tres planos de proyección Hr, Vr y Wr. Una recta es vista a su paso por el primer octante y oculta en el resto. Un punto pertenece a una recta si sus proyecciones pertenecen a las de la recta. Es suficiente que dos de las proyecciones del punto pertenezcan a las mismas proyecciones de la recta. r r1 Hr Wr Vr Wr1 Vr1 Wr2 =Wr3 =Hr1 =Vr2 Hr2 Hr3 Vr3 r2 r3 P1 P2 P3

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Axonometría ortogonal. Representación de la recta Una recta puede encontrarse en posición horizontal, frontal a XOZ, frontal a YOZ, vertical, de punta sobre XOZ, de punta sobre YOZ, o en alguno de los planos o ejes. h, horizontal. f, frontal a XOZ. g, frontal a YOZ. v, vertical. p, de punta sobre XOZ. q, de punta sobre YOZ. i, contenida en el plano XOY. l, contenida en el eje Z. v1=Hv p2=Vp q3=Wq =l1=Hl =l2=l3

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Axonometría ortogonal. Representación del plano Un plano α se representa por sus tres trazas hα, vα y wα, intersección con los tres planos de proyección. Las trazas se cortan dos a dos en los ejes. Un plano es visto a su paso por el primer octante y oculto en el resto. Una recta pertenece a un plano si sus trazas pertenecen a las del plano. r r1 Hr Wr Vr r2 r3 hα vα wα

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Axonometría ortogonal. Representación del plano Un plano puede encontrarse en posición vertical, de canto sobre XOZ, de canto sobre YOZ, horizontal, frontal a XOZ, frontal a YOZ, conteniendo un eje o conteniendo el origen. α, vertical. β, de canto sobre XOZ. γ, de canto sobre YOZ. δ, horizontal. ε, frontal a XOZ. λ, frontal a YOZ. μ, conteniendo el eje Z. ν, conteniendo el origen O. Vh Wh

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Ejercicios Dibujar el plano definido por la recta r y el punto P.

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Axonometría ortogonal. Intersecciones La intersección de dos planos es una recta cuyas trazas son las intersecciones de las trazas de los planos. La intersección de una recta con un plano es un punto. Para determinarlo se utiliza un plano auxiliar proyectante que contenga a la recta, obteniendo la recta intersección entre ambos planos. El punto común a ambas rectas es la intersección de la recta con el plano. hα vα wα Hr Wr Vr r r1 r2 r3 =hβ Ws Hs Vs =s1 P1 P

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Axonometría ortogonal. Representación de figuras planas Triángulo equilátero contenido en el pla-no XOY, con centro en O y vértice en A. Se abate el plano que contiene a la figura sobre un plano paralelo al plano de cuadro. Se dibuja la figura en verdadera magnitud. Se representa en axonometría deshaciendo el abatimiento. (O) (A)= (B) (C) (M) B C M

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Axonometría ortogonal. Representación de figuras planas Cuadrado contenido en un plano, con una lado en la traza horizontal y dos vértices en las otras trazas. Se determina la intersección con el plano de cuadro y se obtiene la verdadera magnitud de una de las distancias abatiendo el plano XOY sobre un plano paralelo al plano de cuadro. Se abate el plano que contiene a la figura tomando como eje la intersec-ción y llevando la verdadera magni-tud obtenida. Se dibuja la figura en verdadera magnitud. Se representa en axonometría deshaciendo el abatimiento. P Q R (O) (R) (R) =(Q) (hα) (vα) (wα) (P)= (A) (B) (C) (D) B A C D

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Axonometría ortogonal. Representación de figuras planas Circunferencia contenida en el plano XOY tangente a los ejes, con centro en r. La representación es una elipse tangente a lados paralelos a los ejes. Se abate el plano XOY sobre el plano del cuadro y se determinan las dimensiones sobre el otro eje. Se determinan los ejes conjugados y se realiza el trazado, por ejes proyectivos. (O) (r)

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Axonometría ortogonal. Representación de figuras planas Pentágono regular contenido en el plano XOY en axonometría isométrica. Cualquier figura puede representarse abatiendo el plano que la contiene. Se dibuja el pentágono regular de lado AB. Mediante paralelas a los ejes abatidos y a los proyectados se traza la figura en el plano XOY. C D E (C) (E) (X) (D)

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Axonometría ortogonal. Representación de figuras planas Circunferencia contenida en el plano XOY en axonometría isométrica. La representación es una elipse que puede sustituirse por un óvalo formado por cuatro arcos de circunferencia. Se trazan dos diámetros paralelos a los ejes y con su medida se traza el cuadrado circunscrito a la circunferencia. Lo centros de los lados son los puntos de tangencia T1, T2, T3 y T4 Se trazan perpendiculares a los lados por los puntos de tangencia obteniéndose los centros O1, O2, O3 y O4. =O2 O4 T1 T4 T3 T2 O1 O3

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Axonometría ortogonal. Representación de figuras planas Circunferencia contenida en un plano, tangente a sus trazas. La representación es una elipse. Se abate el plano que la contiene tomando como eje la intersección con el plano del cuadro y llevando la verdadera magnitud obtenida. Se traza la circunferencia en verdadera magnitud. Se representa en axonometría mediante horizontales, deshaciendo el abatimiento P Q R (R) (R) (hα) (O) (vα) (wα)

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Ejercicios Dibujar el cuadrado de lado AB contenido en el plano XOY.

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Axonometría ortogonal. Represen-tación de sólidos. Secciones Prisma recto de base triangular regular cortado por un plano oblicuo. Se abate el plano XOY sobre el plano del cuadro. Se traza el triángulo equilátero. Se traza el prisma en axonometría. Se determina la sección producida por un plano oblicuo. Se abate el plano oblicuo sobre el plano de cuadro. Se determina la verdadera magnitud de la sección. (O) =A =(A) (C) C (B)= P Q R S (P) (Q) (R) (S)

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Axonometría ortogonal. Represen-tación de sólidos. Secciones Pirámide recta de base cuadrada cortada por un plano oblicuo. Se abate el plano XOY sobre el plano del cuadro. Se traza el cuadrado. Se traza la pirámide en axono-metría. Se determina la sección producida por un plano oblicuo. Se abate el plano oblicuo sobre el plano de cuadro. Se determina la verdadera magnitud de la sección. (O) =A =(A) (C) C (B)= (D) D V P Q R S (P) (Q) (S) (R)

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Axonometría ortogonal. Represen-tación de sólidos. Secciones Cilindro recto cortado por un plano proyectante. Se abate el plano XOY sobre el plano del cuadro. Se traza el cuadrado circunscrito a la circunferencia. Se traza la base del cilindro que es una elipse. Se traza el cilindro en axonometría. Se determina la sección producida por un plano proyectante, con ayuda de planos frontales. (O) P Q R S T U V X

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Axonometría ortogonal. Represen-tación de sólidos. Secciones Cono recto cortado por un plano proyectante. Se abate el plano XOY sobre el plano del cuadro. Se traza el cuadrado circunscrito a la circunferencia. Se traza la base del cono que es una elipse. Se traza el cono en axonometría. Se determina la sección producida por un plano proyectante, con ayuda de planos proyectantes que pasan por el vértice. (O) P Q R S T U X Y V

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Axonometría ortogonal. Represen-tación de sólidos. Secciones Sólido complejo cortado por un plano oblicuo que pasa por tres puntos. Se gradúan los ejes mediante abati-mientos sobre el plano de cuadro. Se dibuja el paralelepípedo que contiene al sólido. Se trazan sucesivamente las aristas paralelas, oblicuas y curvas. (O) (O) C A B

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Axonometría ortogonal. Represen-tación de sólidos. Secciones Sólido complejo cortado por un plano oblicuo que pasa por tres puntos. Se determina la sección producida por un plano oblicuo. Se abate el plano oblicuo sobre el plano de cuadro. Se determina la verdadera magnitud de la sección. G M D E F H I J K L N P Q (M) (C) (H) (G) (B) (A) (I) (J) (K) (L) (N) (P) (Q) (F) (E) (D)

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Ejercicios Dibujar la figura en dibujo isométrico y determinar la verdadera magnitud de la sección producida por el plano que contiene a los puntos A, B y C.

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Axonometría oblicua La axonometría oblicua consiste en una proyección cilíndrica oblicua sobre el plano de proyección П. Se utilizan además tres planos de proyección auxiliares definidos por los ejes X, Y y Z uno de los cuales coincide con el plano de proyección П. El origen de coordenadas O y los ejes X e Z coinciden con sus proyecciones y el eje Y’ es la proyección del eje Y. Un punto se representa por su proyección principal P’ y por sus tres proyecciones auxiliares P1’, P2’ y P3’. Posteriormente se eliminan las ‘, quedando los ejes X, Y, Z. P1 P2 P3 Z’ X’ Y’ P3’ P2’ P1’ P’ O’=

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Axonometría oblicua. Elementos El eje Y forma con el eje X un ángulo α que depende de la dirección de proyec-ción de O∞ que forma un ángulo δ con el plano de cuadro. Las dimensiones sobre los ejes X y Z se representan en verdadera magnitud. El coeficiente de reducción sobre el eje Y se determina abatiendo el ángulo δ sobre el plano de cuadro. μY = cotg δ = OB / O(B). Z’ X’ Y’ O B B’ (B) B (B) (Y) (Y)

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Axonometría oblicua. Tipos Según la posición de los ejes X, Y y Z respecto al plano de proyección П, la axonometría oblicua puede ser caballera o planimétrica. En la axonometría caballera el ángulo XOZ = 90º y, habitualmente, el ángulo XOY = 45º, 135º, 225º ó 315º. En axonometría caballera normal XOY = 135º y μY = 1/2. En axonometría caballera especial XOY = 135º y μY = 1. En la axonometría planimétrica el ángulo XOY = 90º y, habitualmente, el ángulo XOZ = 45º, 135º, 225º ó 315º. En axonometría planimétrica normal el coeficiente de reducción μZ = 1. En axonometría planimétrica acortada el coeficiente de reducción μZ = 2/3.

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Axonometría oblicua. Represen-tación del punto, la recta y el plano Se realiza de la misma manera que en axonometría ortogonal. Un punto P se representa por su proyec-ción principal y sus tres proyecciones auxiliares. Para definir un punto son suficientes dos proyecciones. Una recta r se define por su proyección principal y sus tres proyecciones auxiliares. Para definir una recta son suficientes dos proyecciones. Un plano α se representa por sus tres trazas, intersección con los tres planos de proyección. Las trazas se cortan dos a dos en los ejes. P3 P2 Hr Vr Wr

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Axonometría caballera. Representación de figuras planas Pentágono contenido en el plano XOZ. Se representa en verdadera magnitud. Pentágono contenido en el plano XOY. Se representa mediante paralelas a los ejes según el coeficiente de reducción. (Y) A2 A1 B1 B2 C2 D2 E2 E1 D1 C1

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Axonometría caballera. Representación de figuras planas Circunferencia contenida en el plano XOZ. Se representa en verdadera magnitud. Circunferencia contenida en el plano XOY. Mediante paralelas a los ejes se dibuja el cuadrado circunscrito y la elipse se traza por ejes proyectivos. (Y)

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Axonometría caballera. Representación de figuras planas Circunferencia contenida en el plano XOY en caballera especial. La representación es una elipse que puede sustituirse por un óvalo formado por cuatro arcos de circunferencia, a partir del cuadrado circunscrito a la circunferencia. Se trazan perpendiculares a los lados por los puntos de tangencia T1, T2, T3 y T4, obteniéndose los centros O1, O2, O3 y O4. T1 T4 T3 T2 O2 O4 O1 O3 Oc

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Axonometría oblicua. Representación de sólidos Sólido complejo. Se gradúan los ejes X y Z el eje Y mediante abatimiento sobre el plano de cuadro. Se dibuja el paralelepípedo que contiene al sólido. Se trazan sucesivamente las aristas paralelas, oblicuas y curvas. (Y)

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Ejercicios Dibujar en axonometría oblicua con reducción de 2/3 la pirámide de base cuadrada de lado AB y altura h = 40 y la sección producida por el plano a.

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Créditos Esta presentación ha sido ideada, creada y desarrollada por José I. Álamo Martín. 2014.

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