Površine četverokuta Pablo Picasso: Tvornica 1909.

U ovoj prezentaciji bavit ćemo se površinama četverokuta, ovim redosijedom: Površina paralelograma i romba - izvod formule Površina trapeza - izvod formule Općenito o površini. Površina pravokutnika i kvadrata - ponavljanje Površina četverokuta s okomitim dijagonalama - izvod formule i primjena (Kliknite na željeni link...) Sistematizacija - sve formule

Površina pravokutnika Pablo Pikaso Kuća u dvorištu 1908. Nazad na sadržaj

Prisjetimo se koja je razlika između opsega i površine. Što opisuje opseg, a što površina lika? Opseg je duljina ruba lika, a površina veličina unutrašnjosti lika. Opseg je duljina rubne crte... a površina veličina svega obojanog. Npr.

Mjerne jedinice za opseg su: Koje je veličine centimetar? Pokaži! A kvadratni centimetar, cm2 ? km, m, dm, cm, mm, ... Mjerne jedinice za površinu su: km2, m2, dm2, cm2, mm2... Procijeni kolika bi bila površina lijevog lika! P = 12 cm2 Kvadratni centimetar:

Kolike su površine sljedećih pravokutnika: P = 4 ∙ 2 = 8 cm2 P = 5 ∙ 3 = 15 cm2 P = a ∙ b FORMULA ZA POVRŠINU PRAVOKUTNIKA!

a – duljina pravokutnika b – širina pravokutnika Kut između stranica je pravi! Formula za površinu: P = a · b a b Kvadrat spada u pravokutnike. On ima jednake stranice. Njegova površina je: P = a · a a a P = duljina ∙ širina Za pravokutnik i kvadrat vrijedi:

Dinamički prikaz:

Provjerimo jesmo li dobro razumjeli: P = c ∙ d P = x ∙ y P = 4 a P = n ∙ n P = e1 ∙ f1 P = g ∙ n P = (a+b) ∙ c P = r ∙ (s+k) P = (x+y) ∙ (a+b) n

Površina paralelograma Georges Braque Žena s gitarom 1913. Nazad na sadržaj

P = ? Uočimo stranicu a. Njoj odgovarajuća visina je va . Kut između stranice i visine je pravi! Koji smo lik dobili? Kolika je njegova površina? (Pazi na oznake!) Kolika je onda površina početnog paralelograma? Pravokutnik! P = a · va a a b b

A što ako umjesto stranice a promatramo stranicu b? Visina na stranicu b je vb. Kut između njih je pravi! Koji smo lik dobili? Kolika je njegova površina? (Pazi na oznake!) P = ? Pravokutnik! P = b · vb Kolika je onda površina početnog paralelograma? a b a

Paralelogram a va P = a·va b vb P = b·vb ili Što je zajedničko tim formulama?

Paralelogram a va P = a·va b vb P = b·vb ili Ako bismo za isti paralelogram površinu računali i po jednoj i po drugoj formuli, što misliš - što bi vrijedilo za dobivene rezultate? Bili bi isti!!! Dakle, obje formule daju isti rezultat! Provjeri to za zadaću na jednom paralelogramu!

Paralelogram a va P = a·va b vb P = b·vb ili Uobičajeno je pisati i koristiti prvu formulu, P=a∙va . Druga formula nam ionako govori isto što i prva (samo s drugim oznakama).

Romb... Što misliš, koja je formula za površinu romba? Romb spada u paralelograme, pa i za njega vrijedi... va a P = a a ∙ va

Dinamički prikaz:

Uočimo i zapamtimo: Kad računamo površinu, množimo ono što je okomito! Npr. u prošlim likovima smo imali: pravokutnik P = a ∙ b P = a ∙ a kvadrat a va b vb paralelogram P = a ∙ va P = b ∙ vb a va romb P = a ∙ va a

Površina trapeza Fernand Léger Mrtva priroda s kriglom piva 1921. Nazad na sadržaj

Površina mu je (pazi na oznake) Pparal. = (a+c)·v Kakva je površina početnog trapeza u odnosu na površinu tog paralelograma? Na pola manja! Koja je onda fomula za površinu trapeza? a c c a+c Uočimo osnovice trapeza a i c ? ? Koji lik je nastao? Paralelogram! b d P = ? a ? d ? i visinu v. Opiši što se dogodilo...

Do iste formule možemo doći i na drugi način: Prerežemo trapez na pola visine... Koji smo lik dobili? Kolika je površina tog paralelograma? (Pazi na oznake!) Kolika je onda površina trapeza? a ? v P = ? Paralelogram! ? c a + c Opiši što se dogodilo... d b

Trapez d b a c v Dobili smo dvije formule za površinu: Govore li nam one isto, ili su to dvije različite formule? Iste su! U obje zbrajamo osnovice, množimo s visinom i dijelimo s 2. Stoga ćemo pamtiti samo jednu od njih.

Dinamički prikaz:

Kod pravokutnika i paralelograma uočili smo Je li i ovdje tako? Sa čime se množi visina? Sa zbrojem osnovica a i c. A u kakvom je položaju visina u odnosu na osnovice? Visina je okomita na osnovice! Trapez d b a v c Dakle, i ovdje množimo ono što je okomito! da u formulama za površinu množimo ono što je okomito.

Površina četverokuta s okomitim dijagonalama Pablo Picasso Čovjek s gitarom 1910. Nazad na sadržaj

d b a c Uočimo dijagonale... P = ? Opiši što se dogodilo. Gornji lijevi trokut se udvostručio i zarotirao. Što se sad dogodilo? Je li se time udvostručila i površina cijelog četverokuta? Je. Koji smo lik dobili? Pravokutnik. ? d1 ? d2 Koja je formula za površinu tog pravokutnika? (Pazi na oznake!) Ppravok. = d1 ∙ d2 Svi trokuti su se udvostručili. Kakva je površina početnog četverokuta u odnosu na površinu cijelog pravokutnika? Na pola manja. Koja je onda formula za površinu početnog četverokuta? Množi li se i u ovoj formuli ono što je okomito? Da, dijagonale su okomite.

Dinamički prikaz:

Uočimo za koje nama poznate četverokute vrijedi ta formula: pravokutnik Ima li pravokutnik okomite dijagonale? Nema! Onda na njega ne možemo primijeniti gornju formulu!

Uočimo za koje nama poznate četverokute vrijedi ta formula: Ima li kvadrat okomite dijagonale? Ima! Vrijedi li onda za njega gornja formula? kvadrat Vrijedi! Kako ćemo označiti dijagonale? (Jesu li jednake?) d d P= Kako za njega glasi gornja formula?

Uočimo za koje nama poznate četverokute vrijedi ta formula: Koju formulu za površinu kvadrata znamo od prije? P = a·a Koju od ovih dviju formula trebamo koristiti u zadacima? Ovisi što je zadano. Ako je zadan a, koristit ćemo formulu P= a·a , a ako je zadan d, koristit ćemo formulu P= d d P= kvadrat

Uočimo za koje nama poznate četverokute vrijedi ta formula: Koju formulu za površinu kvadrata znamo od prije? A ako su zadani i a i d ? Tada je svejedno koju ćemo formulu koristiti - obje vode do istog rješenja! Provjeri to za zadaću na jednom kvadratu! P = a·a d d P= kvadrat

Uočimo za koje nama poznate četverokute vrijedi ta formula: Ima li paralelogram okomite dijagonale? Nema! paralelogram Možemo li onda na njega primijeniti gornju formulu? Ne možemo!

Uočimo za koje nama poznate četverokute vrijedi ta formula: Ima li romb okomite dijagonale? Ima! Vrijedi li za njega gornja formula? Vrijedi! Kako ćemo označiti dijagonale? (Jesu li jednake?) Kako onda za njega glasi gornja formula? romb d2 d1 P=

Uočimo za koje nama poznate četverokute vrijedi ta formula: Koju formulu za površinu romba znamo od prije? P = Koju od ovih dviju formula trebamo koristiti u zadacima? Ovisi što nam je poznato... A ako nam je poznato sve? Onda je svejedno koju formulu koristimo - obje vode do istog rezultata. a ∙ va romb d2 d1 P=

Uočimo za koje nama poznate četverokute vrijedi ta formula: Ima li trapez okomite dijagonale? Nema! Možemo li onda na njega primijeniti gornju formulu? trapez Ne možemo!

Postoji još jedan četverokut koji ima okomite dijagonale... Deltoid - četverokut kojem su dvije i dvije susjedne stranice jednako duge Jesu li njegove dijagonale okomite? Jesu! Kako ćemo označiti dijagonale? (Jesu li jednake?) Kako glasi formula za površinu? d2 d1 P =

Dinamički prikaz:

Sistematizacija - sve formule Paul Klee Crveni balon Nazad na sadržaj

pravokutnik P = a · b kvadrat P = a · a P = paralelogram P = a · va P = P = romb a · va trapez P = deltoid P =

KRAJ Juan Gris Gitara Nazad na sadržaj

svibanj 2010.

Najtoplije zahvaljujem kolegici Jeleni Volarov na slanju početne varijante prezentacije, nakon čega smo krenule u zajedničku doradu... Ujedno zahvaljujem kolegi Manuelu Sadi na dozvoli da njegove GeoGebra datoteke priložim uz ovu prezentaciju, u neke unesem izmjene, prevedem na hrvatski i objavim na webu. Antonija Horvatek

Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima. U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama. Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima, udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima, radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autora, te vezano uz objavu materijala navesti imena autora (ako dozvolu dobijete). Ukoliko na bilo koji način koristite materijale, bit će nam drago čuti povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare... Antonija Horvatek ahorvatek@yahoo.com http://public.carnet.hr/~ahorvate