GRECIA ANTIGUA

Índice: Grecia, historia y ubicación Alejandría, historia y ubicación Siracusa, historia y ubicación Tales de Mileto Euclides Diofanto Arquímedes de Siracusa Pitágoras de Samos Los tres problemas clásicos de la matemática griega Referencias

Algunos pueblos primitivos del Mediterráneo, estrechamente ligados a las culturas del norte de África, habitaron las regiones meridionales del Egeo hasta bien entrado el periodo neolítico, antes del 4000 a.C. La civilización de la edad del bronce en el Egeo se dividía en dos culturas. Una, la civilización de Creta o minoica, ubicada en el centro de la isla de Creta, al noroeste de Egipto y directamente relacionada con las rutas marinas hacia los antiguos países del Oriente Próximo. La otra civilización, la Heládica, florecía al mismo tiempo en la porción continental de Grecia, concretamente en el Peloponeso. Sus grandes centros estaban en Micenas, Tirinto y Pilos, la cultura y el comercio cretense dominaron el Mediterráneo hasta después del año 1500 a.C. GRECIA

A finales del III milenio a.C. comenzaron una serie de invasiones de tribus del norte, estos pueblos del norte vivieron en la cuenca del río Danubio, al sureste de Europa. De los primeros pueblos invasores, los más destacados, los aqueos, invadieron el sur de Grecia y se establecieron en el Peloponeso, un segundo pueblo, los jonios, se asentó principalmente en Ática, la zona central del este de Grecia y en las islas Cicladas, donde asimilaron la cultura de los pueblos heládicos. Los Eolios, un tercer pueblo de características poco definidas, se asentaron en un principio en Tesalia.

Por cada una de las tres divisiones étnicas griegas se creó una gran confederación. La parte norte de la costa de Asia Menor y la isla de Lesbos formaban la Confederación Éslica. La Confederación Jónica ocupaba el distrito medio, llamado Jonia, y las islas de Quíos y Samos. Al sur de las islas de Rodas y Cos se estableció una Confederación Dórica. Una vez finalizadas las grandes migraciones al Egeo, los griegos desarrollaron una orgullosa conciencia racial. Se llamaban a sí mismos ´helenos´ y desarrollaron una genealogía que remontaba sus orígenes a héroes con carácter semi-divino.

Antigua GRECIA

Grecia (nombre oficial, Hellenike Demokratía, República Helénica)

La Acrópolis, ciudadela fortificada, posee alguno de los edificios clásicos más famosos del mundo.

El templo de Atenea Niké está en la Acrópolis de Atenas. Erigido hacia el año 420 a.C. es un excelente ejemplo de templo clásico en estilo jónico

ALEJANDRIA

En árabe, al-Iskandarīyah, ciudad y principal puerto del norte de Egipto, una loma que separa el lago Mareotis del mar Mediterráneosituada en el delta del río Nilo, en.

Fue fundada en el 332 a.C. por Alejandro III el Magno, rey de Macedonia, y se convirtió en la ciudad portuaria más importante del mundo antiguo. El puerto fue construido con un imponente rompeolas de grandes bloques de piedra de casi 1,6 km de longitud. En la isla también fue levantado el famoso faro conocido como una de las siete maravillas del mundo.

Faro de Alejandría Se alzaba en una isla de la bahía de Alejandría y alcanzaba una altura de 134 metros.

UN TÍTULO EGIPCIO La ciudad antigua, de unos 6,4 km de longitud, presentaba un trazado simétrico con calles que formaban ángulos rectos y columnatas que adornaban las calles principales. El barrio más importante era el Brucheium, en el puerto oriental. Más al oeste se ubicaban: el Serapeion, un templo dedicado a una deidad egipcia, Serapis; el Soma, o mausoleo de Alejandro y la dinastía Tolemaica; el Poseidonium, templo dedicado a Poseidón, dios del mar; el museo; el gran teatro y el Emporium o lonja. La ciudad, que se convirtió en la capital de Egipto, los Tolomeos construyeron numerosos palacios, además de la famosa Biblioteca de Alejandría y del Museo. Surgieron también las escuelas de filosofía, retórica y otras ramas del saber. A principios del siglo III a.C., la Biblioteca contaba con casi 750.000 volúmenes, la mayor colección de libros del mundo antiguo, que desapareció en el transcurso de los siglos siguientes

DECLIVE Sin embargo, la ciudad entró en un periodo de decadencia. Una rebelión judía en el año 116 d.C. tuvo como consecuencia la aniquilación de la población judía y la destrucción de una gran parte de la ciudad. En el 215, el emperador romano Marco Aurelio Antonino Caracalla ordenó la masacre de casi la totalidad de la población masculina de la ciudad, por razones que aún se desconocen, pero que al parecer se produjo como castigo por alguna clase de conducta sediciosa. Se aceleró la decadencia de Alejandría, sobre todo por el auge que adquirió la ciudad de El Cairo, poco después del 968, y el hallazgo de una ruta marítima a la India durante el siglo XV.

SIRACUSA Antigua Syracusa, ciudad y puerto de Italia, La parte antigua de la ciudad se sitúa en la isla de Ortygia, separada del resto por un canal. Es un importante centro turístico, cuenta con un puerto pesquero, y un mercado central para productos agrícolas, especialmente aceite de oliva y cítricos. En la antigüedad Siracusa fue la mayor y más importante ciudad de Sicilia. Entre los restos de la ciudad antigua hay un teatro griego, erigido en una zona rocosa y diseñado para atender una audiencia de 15.000 espectadores, un anfiteatro romano, el altar mayor de Hierón II y la ciudadela, construida por Dionisio II el Joven a principios del siglo IV a.C.

SIRACUSA

TEATRO GRIGO DE SIRACUSA

MONEDA DE SIRACUSA En la antigua ciudad siciliana de Siracusa se produjeron gran cantidad de monedas famosas por la belleza de sus diseños. La moneda de la fotografía, que data de alrededor del 480 a.C., muestra a la diosa Victoria sobrevolando una cuadriga. Los siracusanos imprimían el mismo diseño en el reverso de sus dracmas. Además de su uso como moneda de cambio, servían como trofeos en los juegos que conmemoraban la victoria en la batalla entre Atenas y Esparta, en el 413 a.C., durante las guerras del Peloponeso.

MUSEION Se trataba de un centro de enseñanza, investigación y extensión de la cultura, ahí se daban cita científicos y estudiantes de todas partes del mundo. La biblioteca principal constaba de 700 mil textos de toda índole, posteriormente se construyo una menor llamada Serapeum, con 45 mil volúmenes. Se realizaban tareas de traducción de culturas de la antigüedad. Se contaba con una colección completa y clasificada de la literatura helénica, había varias copias de las principales obras de los autores griegos. Aquella universidad estaba constituida por el Museo y su biblioteca: la Biblioteca de Alejandría. Museion, el museo o el nuevo templo de las musas. Un espacio dedicado a la ciencia en el que hay personas que investigan, enseñan, discuten, publican sus resultados, se dedican a estudiar otras disciplinas, cuidan los libros, los analizan, los clasifican, experimentan y viven ahí de día y de noche con el fin de poseer una cultura universal y enriquecerla.

LIBRO vs. PAPIRO Los libros de la biblioteca eran cilindros de 12 a 30 cm de largo y 5 o 6 de base en los que se enrollaba un largo papiro, los cuales se guardaban en cajas o jarrones para ser conservados.

LA ESCRITURA. Para escribir se utilizaba una cañita cortada transversalmente y una tinta hecha de carbón vegetal u hollín mezclados con agua y goma. Los escribas cobraban su trabajo por línea escrita, los textos estaban escritos con letras mayúsculas, las minúsculas no se conocían. No había separación entre las palabras. La biblioteca y el museo de Alejandría dejaron de existir entre los años 270-275, durante el imperio de Aurelio, y el Serapeum se convirtió en la biblioteca principal. Una versión es que en el año 391 el obispo Teófilo de Antoquia destruyo lo que quedaba de la biblioteca. Otra versión responsabiliza a los musulmanes de su saqueo ocurrido en el año 642.

En la época de Arquímedes se empezó a utilizar otra materia, hecha de piel de cordero, ternera o cabra; el pergamino, que era más durable, se podía raspar o lavar y volver a escribir sobre él. Palimpsesto

Tales de Mileto Biografía Teoremas

Tales de Mileto hijo de Examio y Cleobulina, pero fenicio según Heródoto, nació antes de Creso durante la Olimpíada 35 (640-637 a.C.). Según Flegonte, murió viejo, mientras presenciaba un certamen gimnástico, aplastado por la multitud y agotado por el calor. Filósofo griego nacido en Mileto (Asia Menor). Fue el fundador de la filosofía griega, y está considerado como uno de los Siete Sabios de Grecia. Tales llegó a ser famoso por sus conocimientos de astronomía después de predecir el eclipse de sol que ocurrió el 28 de mayo del 585 a.C. Se dice también que introdujo la geometría en Grecia. Según Tales, el principio original de todas las cosas es el agua, de la que todo procede y a la que todo vuelve otra vez. Antes de Tales, las explicaciones del universo eran mitológicas, y su interés por la sustancia física básica del mundo marca el nacimiento del pensamiento científico.

Tales no dejó escritos; el conocimiento que se tiene de él procede de lo que se cuenta en la Metafísica de Aristóteles. Hay dos obras atribuidas a Tales (una, denominada Astrología Náutica, y otra Sobre los solsticios y los equinoccios), sin embargo, los propios testimonios conceden escaso valor a estas informaciones. Tales visitó Egipto, y se le atribuye una teoría sobre las crecidas del Nilo y descubrió la forma de conocer la altura de las pirámides.

A Tales se le atribuyen 5 teoremas de la geometría elemental: 1.-Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales

2.-Un círculo es bisectado por algún diámetro 3.-Los ángulos entre dos líneas rectas que se cortan son iguales

4.-Dos triángulos son congruentes si ellos tienen dos ángulos y un lado igual.

5.-Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto

Euclides Biografía Geometría Euclidiana Postulados “Los Elementos” Libros Anécdota

Euclides Euclides (en griego ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ, Eukleides) fue un matemático griego, que vivió alrededor del año 300 a.C, ~(325 adC) - (265 adC). Sobre la vida de Euclides sólo sabemos dos cosas ciertas: que fue contemporáneo de Tolomeo Sóter (367-283 a.d.C), mayor que Arquímedes (nacido hacia el 287 a.d.C) y que enseñó en Alejandría.

Todo lo que sabemos de su vida nos ha llegado a través de los comentarios de un historiador griego llamado Proclo. Sabemos que vivió en Alejandría (Egipto), al parecer en torno al año 300 a.c. Allí fundó una escuela de estudios matemáticos. Por otra parte también se dice que estudió en la escuela fundada por Platón.

GEOMETRÍA EUCLIDIANA La geometría euclidiana (Llamamos asi al sistema de axiomas de Euclides) fue la recopilada por el matemático griego clásico Euclides. La geometría euclidiana es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional. Sin embargo, con frecuencia, geometría euclidiana es sinónimo de geometría plana.

CINCO POSTULADOS PRIMER POSTULADO SEGUNDO POSTULADO TERCER POSTULADO CUARTO POSTULADO QUINTO POSTULADO

"Los Elementos" consta de trece libros sobre geometría y aritmética. LIBROS del I al VI : Geometría plana.   El libro I trata de triángulos, paralelas, incluye postulados, etc. El libro II trata del álgebra geométrica. El libro III trata de la geometría del circulo. El libro IV de los polígonos regulares. El libro V incluye una nueva teoría de las proporciones, aplicable tanto a las cantidades conmensurables (racionales) como a las inconmensurables (irracionales). El libro VI es una aplicación de la teoría a la geometría plana.

LIBROS del VII al X :    Del VII al IX :Tratan de la teoría de los números (aritmética), se discuten relaciones como números primos, (Euclides prueba ya en un teorema que no hay una cantidad finita de números primos), mínimo común múltiplo, progresiones geométricas, etc. El libro X trata de los segmentos irracionales, es decir, de aquellos que pueden representarse por raíz cuadrada.

LIBROS del XI al XIII : Geometría espacial.   En el libro XII aplica un método que abarca la medida de los círculos, esferas etc. En la práctica totalidad de su obra, que consta de 465 proposiciones, 93 problemas y 372 teoremas, ¡no aparecen números! Euclides, además, escribió sobre música y óptica.

Limitaciones Para que el sistema de euclides fuera completo habría que añadir al menos dos postulados mas: Dos circunferencias separadas menos de 2R se cortan en dos puntos. Dos triángulos con dos lados iguales y sus ángulos igual son iguales.

Anécdota Uno de sus estudiantes preguntó a Euclides qué ganaba con lo que había aprendido de la geometría: El maestro ordenó a su esclavo que le entregase una moneda (óbolo) a aquel estudiante, para que "ganara" algo con lo que aprendía de geometría, dando a entender que aquel muchacho no había entendido nada de la grandeza de la geometría y de lo desinteresado de ésta.

Diofanto Biografía Ecuación Diofántica

Diofanto Diofanto de Alejandría fue el más importante de todos los algebristas griegos. Nació sobre el año 200 d.C. y murió alrededor del 284 d.C.

Su vida se desconoce por completo; sin embargo ha llegado hasta nosotros un texto escrito por él llamado "La Aritmética" en el que se plantean y resuelven 189 problemas de álgebra que hoy resolveríamos utilizando ecuaciones de primero y segundo grado y sistemas de ecuaciones. Por este hecho se le conoce como el padre del Álgebra y a las ecuaciones de primer grado se les llama, también, "ecuaciones diofantinas"

La Arithmetica no es propiamente un texto de álgebra sino una colección de problemas. No se sabe cuantos de ellos son originales o tomados de otros tratados de la época; Diofanto presenta en todos ellos una solución única y no establece distinción entre problemas determinados e indeterminados. Tampoco existe ningún orden en cuanto a la naturaleza de los problemas o los métodos de resolución.

Se llama ecuación diofántica a cualquier ecuación, generalmente de varias variables, que aparece en un problema en el que las soluciones deben ser números enteros. Un ejemplo de ecuación diofántica es: x + y = 5 Por ejemplo, en nuestra ecuación, si restringimos los posibles valores de x e y a los enteros positivos, tenemos 6 soluciones: (0,5) (1,4) (2,3) (3,2) (4,1) (5,0).

Sobre su tumba, a manera de epitafio uno de sus alumnos escribió el siguiente problema: "Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad."

ARQUÍMEDES DE SIRACUSA Biografía Una obra “grafiteada” Las guerras y Arquímedes Tornillo sin fin Otros Inventos Su muerte Su tumba

ARQUÍMEDES DE SIRACUSA 287 a. C. – 212 a. C

LA VIDA DE UN GRAN MATEMÁTICO Arquímedes nació en el año 287 a.C. en la ciudad griega de Siracusa, su padre llamado Fidias tenía interés por la astronomía. Así que decidió enviar a Arquímedes a Alejandría a estudiar.

Una obra de Arquímedes “grafiteada” Un monje de la Edad Media entre los siglos XI y XIV se dedicó a transcribir su libro de oraciones, sobre algunos textos escritos en griego. Entre otras obras se encontró El método escrito por Arquímedes, el cual permaneció perdido cuando menos seis siglos. Cuando a principios del siglo XX en 1960 el historiador de la ciencia J. L. Heiberg lo descubrió en uno de sus viajes a Constantinopla para analizar un manuscrito de 180 hojas encontrado en 1899 en Jerusalén y como fue lavado en vez de raspado pudo rescatarse una nueva versión de las obras de Arquímedes escrita en griego durante el siglo X.

LAS GUERRAS Y ARQUÍMEDES Arquímedes tenía 17 años cuando Hieron fue proclamado rey de los siracusanos. Al sufrir varias derrotas Hieron prefirió aliarse a los romanos. Arquímedes tenía 23 años cuando se dio la primer guerra punica, que duro 20 años, los romanos ganaron y Siracusa no fue tocada por estar aliados a los vencedores. El rey Hieron así como su hijo Gelón eran amigos o tal vez parientes de Arquímedes. Debido a esta relación y a la inteligencia del geómetra, empezó a escribir encargos del rey . Cuenta Plutarco que Arquímedes le escribió al rey para decirle que “con una potencia dada, se puede mover un peso igualmente dado”. Con la fuerza de la demostración le aseguro que si le dieran otra tierra movería esta después de pasar a aquella.

“DADME UN PUNTO DE APOYO Y MOVERE AL MUNDO”

Para llevar el agua del Nilo a las tierras de cultivo el geómetra inventó un mecanismo para elevar el agua de un deposito inferior a uno superior. Deodoro hace referencia al tornillo de Arquímedes pero con el uso de extraer agua de las minas. TORNILLO SIN FIN.

Sobre Arquímedes, el rey Hieron opinaba “MOSTRADME UN HOMBRE QUE HAGA CRECER DOS ESPIGAS DE TRIGO DONDE SÓLO CRECE UNA Y LE CONCEDERE MÁS HONORES QUE AL PROPIO ARQUÍMEDES.” En el año 218. a.C. empezó la segunda guerra punica, cuando Arquímedes tenia 69 años. En el año 215. a.C. murió el rey Hieron, su hijo Gelón había muerto poco tiempo antes y quedo como heredero Hierónimo que se unió a los cartagineses al ver su superioridad. Durante tres años Siracusa estuvo sitiada y se libró una batalla en la que Arquímedes desarrollo un papel importante.

MAQUINA PARA VOLTEAR BARCOS

Entre los inventos de Arquímedes se mencionan catapultas de corto y largo alcance.

Otra contribución fue la de los espejos incendiarios que quemaron las naves romanas utilizando la energía solar.

UNA TERRIBLE MUERTE Arquímedes murió a manos de un soldado romano en el año 212. a.C., a la edad de 75 años.

LA TUMBA DE ARQUÍMEDES La belleza y la simplicidad de algunos resultados matemáticos hicieron que Arquímedes pidiera que en su tumba quedara grabada una esfera inscrita en un cilindro, que mantiene la relación de 2 a 3 tanto en superficie como en volumen.

VOLUMEN CILINDRO ESFERA

ÁREA CILINDRO ESFERA

Pitágoras de Samos Biografía Viajes Aportaciones Escuela Pitagórica El Pentáculo místico Número Áureo Juramento Doctrinas Básicas Teoría de los Números Números Pitagóricos Números… Teorema de Pitágoras Demostración del Teorema de Pitágoras Números irracionales

Pitágoras de Samos (Πυθαγόρας ο Σάμιος ) “El Padre de los Números” 572 a. C. – 500 a. C

Filosofo y Matemático griego nacido en la Isla de Samos, a mediados del siglo VI a. C. y Murió en Metapontum, Lucania; hoy desaparecida, actual Italia. Fue hijo de Mnesarco.

Familia … Poco se sabe de la niñez de Pitágoras. Todas las pistas de su aspecto físico probablemente sean ficticias excepto la descripción de un marca de nacimiento llamativa que Pitágoras tenía en su muslo. Era ciertamente instruido, aprendiendo a tocar la lira, poesía y a recitar Homero. Había tres filósofos, entre sus profesores, que debieron de haber influenciado a Pitágoras en su juventud. Uno de ellos, el más importante, era Perékydes que muchos describen como el profesor de Pitágoras.

Viajes … Se piensa que fue discípulo de Tales. Se pueden distinguir tres etapas en su vida: la primera en el mundo griego, la segunda de viajes a Babilonia y Egipto y la tercera en lo que más tarde se llamó la Magna Grecia (Sur de Italia), con un intermedio en Samos entre la segunda y la tercera etapas. Algunos relatos hacen pensar que llegó hasta Inglaterra y la India.

Aportaciones Pitágoras puede ser considerado la persona más influyente de la historia universal, pasa por ser el introductor de pesos y medidas, descubridor de la teoría musical, inventor de la geometría y la aritmética teórica; el primero en sostener la forma esférica de la tierra, en hablar de "teoría" y de "filósofos", en postular el vacío, en canalizar el fervor religioso en fervor intelectual, en usar el racionamiento y la definición, en considerar que el universo era una obra sólo descifrable por medios matemáticos.

Escuela Pitagórica “Todo es Número” Pitágoras fundó la Escuela en Crotana, al sur de Italia. En aquel centro de estudios se discutía filosofía, matemáticas y ciencias naturales, pero la escuela tenía también influencia política y religiosa, lo que provocó su destrucción a principios del siglo V. Las enseñanzas de los pitagóricos se transmitían por vía oral y todo se atribuía al venerado fundador de la escuela. Además, la escuela se fue transformando en una hermandad con ritos y ceremonias secretas de los cuales se sabe muy poco.

Escuela Pitagórica Esta escuela pitagórica ha sido la primera en dibujar la imagen del maestro. Podía ingresar cualquier persona, ¡hasta mujeres!. En ese entonces, y durante mucho tiempo y en muchos pueblos, las mujeres no eran admitidas en la escuelas. La escuela se encontraba dividida en miembros parcialmente iniciados (los "acusmáticos") y totalmente iniciados (los "matemáticos"),

El Pentáculo Místico Este Pentáculo, también llamado “Triple triángulo”, era la insignia de los pitagóricos. Se consideraba un símbolo universal de salud, belleza y amor. Uno de los juegos grabados en las pizarras del tejado del templo de Kurma, en la India (1700 a. C), es un Pentáculo.

Número Áureo La figura contiene 25 triángulos áureos tales como ADC, AGF, AEB, AEG, DHC, … (triángulos áureos son triángulos isósceles con un ángulo de 36°). Contiene también 20 secciones áureas, una proporción muy utilizada en la estética clásica que consiste en dividir un segmento en dos partes, de manera que la parte mayor sea a la menor como el segmento total a la parte mayor. Ejemplo: En EGF, se tiene:

Juramento Los números 1, 2, 3 y 4 constituyeron el TETRACTUS. El juramento pitagórico era, al parecer: Juro en el nombre del tetractus que ha sido conferido a nuestras almas. La fuente y las raíces de la naturaleza eternamente fluyente están contenidas en él Los cuatro números del tetractus suman 10 que era el número ideal y simbolizaba al universo.

Doctrinas Básicas Los pitagóricos asumieron ciertos misterios, similares en muchos puntos a los enigmas del orfismo. Aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia de consumir alimentos, la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hábito del autoanálisis. Los pitagóricos creían en la inmortalidad y en la transmigración del alma. Se dice que el propio Pitágoras proclamaba que él había sido Euphorbus, y combatido durante la guerra de Troya, y que le había sido permitido traer a su vida terrenal la memoria de todas sus existencias previas.

Teoría de los números Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números. Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos estudios, establecieron una base científica para las matemáticas.

“Los Números Gobiernan el Universo” También se atribuye a los pitagóricos el conocimiento de las tres medias: aritmética, geométrica y armónica así como la llamada proporción musical que, según el propio Pitágoras había descubierto en Babilonia. Igualmente conocían lo números perfectos (iguales a la suma de sus divisores propios) y los números amigos (cada uno de ellos es igual a la suma de los divisores propios del otro).

Los números del mundo pitagórico Representación gráfica de los números triangulares, cuadrados y pentagonales Se denomina Gnomon la cantidad que es necesario añadir a un número para que se convierta en el siguiente de la misma familia.

Números … Naturales: 1, 2, 3, 4, ...; Gnomon: 1, 1, 1, 1, ... Triangulares: 1, 3, 6, 10, 15 ...; Gnomon: 2, 3, 4, 5, ... Cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25 ...; Gnomon: 3, 5, 7, 9, ... Pentagonales: 1, 5, 12, 22, 35 ...; Gnomon: 4, 7, 10, 13, ... Hexagonales: 1, 6, 15, 28, 45 ...; Gnomon: 5, 9, 13, 17, ...

Astronomía La astronomía de los pitagóricos marcó un importante avance en el pensamiento científico clásico, ya que fueron los primeros en considerar la tierra como un globo que gira junto a otros planetas alrededor de un fuego central. Explicaron el orden armonioso de todas las cosas como cuerpos moviéndose de acuerdo a un esquema numérico, en una esfera de la realidad sencilla y omnicomprensiva. Como los pitagóricos pensaban que los cuerpos celestes estaban separados unos de otros por intervalos correspondientes a longitudes de cuerdas armónicas, mantenían que el movimiento de las esferas da origen a un sonido musical, la llamada armonía de las esferas. Pitágoras observó que con una cuerda (unidad) reducida a la mitad y haciéndola vibrar se obtenía la octava (do natural); si lo hacía en sus 3/4 partes la cuarta (fa) y en sus 2/3 partes daba la quinta (sol).

Teorema de Pitágoras

Un poco de Historia … La era de los babilonios data del año 2000 a. C., ellos estaban muy interesados en los números cuadrados, sabían que el área de un terreno rectangular se calculaba al multiplicar el largo por el ancho del terreno, por lo tanto, si ambas longitudes median lo mismo, digamos a, entonces el terreno tenía una área igual a a2. Ellos querían saber cuando un número cuadrado podía ser descompuesto como la suma de dos números cuadrados, por ejemplo, un terreno de (5x5)u2 lo podía cubrir con dos terrenos uno de (4x4)u2 y otro de (3x3)u2. es decir 52= 32+42. (Ternas Pitagóricas)

Hipotenusa: fijar, sujetar fuertemente una cosa a otra. Cateto: perpendicular, línea que cae a plomo.

“En todo Triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos” c2 = a2 + b2

Manuscrito del Teorema de Pitágoras

Demostración Teorema de Pitágoras

Demostración Una de las demostraciones más antiguas e intuitivas sobre el teorema de Pitágoras es la siguiente, que puede seguirse fácilmente a partir de la construcción gráfica que se muestra Partimos del triángulo rectángulo R cuya área es 1/2 a b. A continuación construimos un cuadrado cuyo proceso se describe en el gráfico anterior El lado del cuadrado así obtenido es a + b y su área (a + b)2. Dicho cuadrado consta de cuatro triángulos rectángulos cuya área es : 4 ( 1/2 a b) = 2 a b y un cuadrado interior de lado c y área c2. Igualando ambas áreas tendremos: (a + b)2 = c2+2ab de donde a2 + b2=c2

Números Irracionales La tradición le atribuye a la escuela pitagórica la demostración del Teorema de Pitágoras y, como consecuencia, el descubrimiento de los números irracionales que contradecían la doctrina básica de la escuela: habían descubierto que existían números “inexpresables”, como raíz de 2, que no eran ni enteros ni fraccionarios. Se cuenta que ellos trataron de guardar el secreto de tan grave asunto y que Hipasus, uno de los miembros de la escuela, murió, al ser arrojado al mar, por divulgarlo.

LOS TRES PROBLEMAS CLÁSICOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA. La Trisección de un Ángulo Cuadratura del Círculo Duplicación del cubo.

“Se habían puesto restricciones arbitrarias para que la geometría se conservara simple, armoniosa y estéticamente atractiva” Se trata de construcciones que debían hacerse mediante intersecciones de rectas y circunferencias, utilizando solamente la regla sin marcas y el compás; estos eran según Platón los instrumentos divinos.

La Trisección de un Ángulo Se pretendía, sólo con regla (no graduada) y compás, trisecar un ángulo. Esto no es posible y los matemáticos introdujeron curvas auxiliares que le sirvieran de ayuda

CUADRATURA DEL CÍRCULO El problema consiste en construir un cuadrado de área igual a la de un círculo dado.

El por qué Ferdinand Lindeman (Alemania, 1852-1939) demostró en 1882, que era imposible construir “exactamente” con regla y compás. Los segmentos construíos con regla y compás se expresan por raíces cuadradas, pi no es expresable por raíces cuadradas.

Duplicación del cubo. Dice la leyenda griega que Minos, rey de Creta, había quedado muy descontento con el tamaño de la tumba, de forma cúbica, erigida a su hijo Glaucus, y ordenó que se duplicara su volumen. Otra leyenda cuenta que el oráculo informó a los habitantes de Delos que si querían eliminar la plaga que castigaba a su ciudad tenían que duplicar el altar cúbico de Apolo. Por lo tanto, los habitantes de Delos enviaron algunos emisores a la academia de Platón para ver cómo se resolvía el problema. (de ahí el otro nombre: problema de Delos)

El problema consiste en construir el lado de un cubo cuyo volumen sea el doble del volumen del cubo inicial.

Referencias Boyer C. Historia de la matemática. Alianza Universidad. 1987 Dunham W. El universo de las matemáticas. Pirámide. 1995 Microsoft. (2010) Enciclopedia Encarta 2010. Recuperado el 15 de marzo de 2010, de http://www.microsoft.com/spain/encarta/default.mspx

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