¿Por qué los FRACTALES forman parte de las MATEMÁTICAS?

¿Qué se entiende por Fractal? Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal como por ejemplo: las montañas, los árboles, las costas ,etc…. Llamándose a éstos elementos de la naturaleza que pueden ser descritos mediante la geometría fractal: “fractal natural”. Un fractal a de tener las siguientes características a la vez: Ser demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales. Poseer detalles a cualquier escala de observación. Ser autosimilar y que su dimensión sea estrictamente mayor que su dimensión topológica.

Un poco de historia… Para encontrar los primeros ejemplos de fractales debemos remontarnos a finales del siglo XIX: en 1872 apareció la función de Weierstrass, cuyo grafo hoy en día consideraríamos fractal que con sucesivos pasos creas la curva de Koch. Posteriormente aparecieron ejemplos con propiedades similares pero una definición más geométrica. Dichos ejemplos podían construirse partiendo de una figura inicial (semilla), a la que se aplicaban una serie de construcciones geométricas sencillas. La serie de figuras obtenidas se aproximaba a una figura límite que correspondía al que hoy llamamos conjunto fractal. Construcción de la alfombra de Sierpinski:

Al principio de S.XX y mediante una serie de aplicaciones reiteradas aparecen funciones polinómicas de grado mayor que uno aplicándolo reiteradamente y tendiendo al infinito se llega al conjunto de Julia Estos conjuntos se representan mediante un algoritmo de tiempo de escape, en que cada pixel se colorea según el número de iteraciones necesarias para escapar. Suele usarse un color especial, a menudo el negro, para representar los puntos que no han escapado tras un número grande y prefijado de iteraciones.

**Cuasiautosimilitud: Exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos. Características de un fractal Autosimilitud: * Autosimilitud exacta: Este es el tipo más restrictivo de autosimilitud: exige que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. * ***Autosimilitud estadística. Es el tipo más débil de autosimilitud y se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala.

Dimensión: La dimensión fractal. Las fórmulas que la definen tienen que ver con el recuento de las bolas necesarias para recubrir el conjunto o con el de cajas de una cuadrícula que contienen parte del conjunto, cuando las dimensiones de unas y otras tienden a cero. Podemos medir la dimensión fractal de objetos reales: líneas de la costa (1.2), nubes, árboles, etc, Con estas medidas podemos comparar objetos del mundo real con fractales generados por algoritmos matemáticos.

Aportación de los fractales al campo de las matemáticas Desde tiempos inmemoriales, hemos trabajado con modelos simplificados de la realidad: órbitas elípticas, trayectorias parabólicas, tallas de pantalón... Todo lo que no funcionaba utilizando estos mecanismos era el caos. Hoy sabemos que el caos no lo es tanto como parece, y que por supuesto no es aleatorio. Los fractales están utilizándose en el estudio de procesos de este tipo: en meteorología, geología, medicina, economía...

Gastón Julia (1893-1978) Nacimiento: 3-Febero-1893 Lugar: Sidi Bel Abbes, Algeria Profesión: Matemático Muere: 19-Marzo-1978 Lugar del fallecimiento: Paris, Francia Edad: 85 años

Gaston Julia fue un precursor en lo que hoy se llama los fractales. Fue el primero en estudiar el tema, y explicar cómo a partir de cualquier función compleja se puede fabricar, por medio de una sucesión definida por inducción, un conjunto cuya frontera es imposible dibujar a pulso por ser de longitud infinita. Alcanzó la notoriedad al publicarse su artículo Memoria sobre la iteración de las funciones racionales en la famosa revista francesa de matemáticas : Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Este artículo de 199 páginas, publicado cuando contaba tan sólo 25 años, le hizo acreedor del galardón de la Academia de Ciencias de Francia. Sin embargo, en vida no conoció la fama que merecía. En efecto, murió antes de que los fractales se volvieran muy populares a inicios de los años ochenta.

Este interés tardío, que sigue vivo hoy, se debió al segundo padre de los fractales, el matemático también francés Benoit Mandelbrot, quien tuvo una ventaja enorme sobre Maurice Julia ya que pudo aprovecharse de la invención del ordenador. Todas las propiedades de los fractales que estableció Julia a fuerza de cálculos y deducciones, con papel y lápiz, las podía observar en su pantalla Mandelbrot y los millones de propietarios de ordenadores personales con modo gráfico. A finales de los ochenta los artistas se interesaron en el conjunto de Mandelbrot y en menor medida en los conjuntos de Julia, que están intrísecamente relacionados. «. . . Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, la corteza de un árbol no es suave y la luz no viaja en línea recta. » Mandelbrot

Tampoco tuvo mucha suerte Gaston Julia en su vida privada, pues tuvo que interrumpir sus prometedores estudios a los 20 años a causa de la Primera Guerra Mundial, dirante fiero combate un sombrío día de invierno, fue herido seriamente. donde perdió su nariz. Varias operaciones de cirugía no consiguieron recomponerla y tuvo que llevar una máscara el resto de su vida.