Problemas Clásicos de Grecia Duplicado del Cubo

Problema de la duplicación del cubo Si el volumen del cubo original es a3, el problema equivale a construir un segmento de longitud x, tal que x3=2 a3. X X

Historia del problema En el año 429 a. C., Pericles, gobernador de Atenas muere víctima de la peste que atacaba muy severamente la ciudad. Pobladores van al oráculo de Delos para saber como detener esa epidemia

Historia del problema El oráculo responde que debían realizar un altar cuyo volumen duplicara al ya existente. Lo intentaron, pero no lograron evitar el desastre por este medio. La pandemia se disipó con el tiempo, pero el problema matemático planteado permaneció.

Los orígenes del problema Los griegos sabían desde mucho antes cómo resolver el problema de duplicar el cuadrado. Así, tomar un cuadrado ABCD y dibujar la diagonal DB. Construir un cuadrado BDEF usando BD. De ahí es fácil ver que BDEF es el doble de ABCD.

¿Un problema sin solución? Aunque el objetivo original de la construcción se ha demostrado imposible, el problema ha dado lugar a interesantes construcciones y los griegos introdujeron numerosas curvas como instrumento para su solución.

Los primeros intentos El primero en abordar el problema sin éxito fue el griego Hipócrates de Quíos. Basándose en el mismo planteamiento lo intentaron otros matemáticos posteriores, tales como Arquitas de Tarento, Menecmo y Eratóstenes de Cirene, pero todos ellos presentan soluciones aproximadas, en ninguna de las cuales puede resolverse el problema en forma exacta.

Hipócrates de Quíos Fue un matemático griego del siglo V a. C. Nació en la isla de Quíos, enfrente de las costas de la actual Turquía. Fue comerciante hasta que los recaudadores de la Aduana ateniense que residían en el Quersoneso lo despojaron de sus bienes y, para reclamarlos, se trasladó a Atenas.

Hipócrates de Quíos

Hipócrates de Quíos Asistió a las lecciones de los filósofos y abrió una escuela de Geometría que fue la que echó las bases del método de reducción que, consiste en trasformar un problema en otro ya resuelto.

Solución de Hipócrates Demostró que el problema de duplicar el volumen de un cubo puede reducirse a encontrar dos medias proporcionales entre la arista dada y el doble de la misma. y a partir de ellas x2 = a y ; y2 = 2a x Si consideramos a =1 podemos obtener el valor de la arista del cubo buscado mediante la intersección de las parábolas x2 = y e y2 = 2 x tal como aparece en la gráfica

Euclides Su vida es poco conocida, salvo que vivió en Alejandría, Egipto. Existen tres hipótesis acerca de este personaje. Euclides fue un personaje histórico que escribió Los Elementos y otras obras atribuidas a él. Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandría. Todos ellos contribuyeron a escribir las obras completas de Euclides. Las obras completas de Euclides fueron escritas por un equipo de matemáticos de Alejandría quienes tomaron el nombre Euclides del personaje histórico Euclides de Megara, que había vivido unos cien años antes.

Euclides En los Elementos demuestra que los siguientes dos problemas son equivalentes: 1. Encontrar un cuadrado cuya razón a un cuadrado dado sea igual a la razón entre dos líneas dadas. a 2 : x 2 = a : b Dadas dos líneas, encontrar una media proporcional entre ellas, es decir, dadas las líneas a, b encontrar x tal que a : x = x : b. De nuevo, un argumento moderno dice a 2 : x 2 = (a : x) 2 =(a : x)(x : b)= a : b

Menecmo (Proconeso, c. 375- id., c. 325 a.J.C.) Matemático griego Fue discípulo de Eudoxio y amigo de Platón.

Menecmo Su resolución se reduce a hallar la intersección de la curva x2=ay con xy=ab y es así como aparecen lo que nosotros llamamos parábola e hipérbola equilátera

Arquitas (428 a. C. en Tarento, Magna Grecia (hoy Italia)—347 a. C.) fue un filósofo, matemático, astrónomo, estadista y general contemporáneo de Platón. Arquitas perteneció a la escuela pitagórica. Fue amigo de Platón

Arquitas Fue el primero en usar el cubo en la geometría y a acotar las matemáticas a las disciplinas técnicas como la geometría, aritmética, astronomía y acústica. El proceso iterativo para el cálculo de raíces cuadradas que se conoce a veces con el nombre de Arquitas había sido utilizado mucho antes en Mesopotamia.

Solución de Arquitas La solución de Arquitas es la más notable de todas, ya que no es una construcción plana sino una construcción en tres dimensiones la cual determina un cierto punto como la intersección de tres superficies de revolución: un cono, un cilindro y un toro.

Solución de Arquitas

Solución de Arquitas

EUDOXO Nacido en Cnido, vivió entre el 408 y el 355 a. C. Fue discípulo de Platón y se convirtió en el matemático y astrónomo más importante de su época. Aprendió también matemáticas de Arquitas Fundó en Cícico una escuela de Filosofía, Matemáticas y Astronomía

EUDOXO Su trabajo sobre la teoría de la proporción denota una amplia comprensión de los números y permite el tratamiento de las cantidades continuas. Demostró que el volumen de una pirámide es la tercera parte del de un prisma de su misma base y altura; y que el volumen de un cono es la tercera parte del de un cilindro de su misma base y altura. Crea el método de exhausción, un procedimiento geométrico-matemático de aproximación a un resultado, con el cual, al avanzar el cálculo, aumenta el grado de precisión.

Solución de Eudoxo Otro problema importante que supo resolver Eudoxo fue el de la comparación de figuras curvilíneas y rectilíneas. Que también uso en la solución del problema de la duplicación del cubo. La solución del problema de la duplicación del cubo desgraciadamente se pierde. En una de las obras de Eratóstenes aparece una explicación de tal solución

Solución de Eudoxo Eratóstenes nos da a entender que la solución del problema de la duplicación del cubo expuesta por Eudoxo es de alguna manera incorrecta. Esto parece imposible. Donde realmente se pudo dar el error es cuando su solución fue copiada por alguien que no disponía de conocimientos suficientes y cometió algún error.

Eratóstenes (Cirene, 276 a. C.1 - Alejandría, 194 a. C.), fue un célebre matemático, astrónomo y geógrafo griego, de origen probablemente caldeo. Estudió en Alejandría y, durante algún tiempo, en Atenas

Eratóstenes En 236 a. C. Ptolomeo Evergetes le llamó a Egipto para que se hiciera cargo de la Biblioteca de Alejandría. Vivió aproximadamente 82 años.

Solución de Eratóstenes Una fuente de información bastante sorprendente respecto de Eratóstenes proviene de una carta falsificada que describe la historia del problema de la duplicación del cubo y en particular, describe el objeto mecánico inventado por Eratóstenes para encontrar los segmentos de línea x e y para unos segmentos dados de a y b, a : x = x : y = y : b.

Solución de Eratóstenes Su contribución a la duplicación del cubo se basó en el empleo de un método de triángulos El dispositivo consiste en un marco rectangular a lo largo del cual deslizan tres paralelogramos o los triángulos en los cuales se dividen los paralelogramos

Solución de Eratóstenes La figura muestra el resultado de deslizar todos los triángulos exceptuando el primero (que permanece estacionario) a lo largo de sus posiciones originales. Entonces lo que ocurre es la superposición de los 3 triángulos como AMF, M'NG, N'QH. Por lo tanto: AE, BF,CG, DH están en proporción continua y BF,CG son las medias proporcionales buscadas.

Nicomedes Vivió entre 280 - 210 a.C. en Grecia. Se sabe muy poco de la vida de Nicomedes, Criticó la duplicación del cubo de Eratóstenes

Solución de Nicómedes La forma con que Nicómedes resuelve el problema de la duplicación del cubo es por medio del uso de una curva llamada concoide.

Solución de Nicómedes Para dibujar la Concoide de Nicomedes necesitamos los siguientes elementos: Dibujamos una recta r (la directriz). Un punto exterior a la recta O (origen o polo). Un segmento con una longitud determinada k (constante).

Solución de Nicómedes

Solución de Nicómedes El lugar geométrico de los puntos Q1 y Q2 cuando P recorre la recta r es la concoide de r con respecto al polo O y constante k. Su fórmula implícita es la siguiente, donde la directriz es y=b y la constante (radio de la circunferencia es r=k): 

Apolonio de Pérgamo Nació : Alrededor del 262 A.C. en Perga, Grecia Ionia (Ahora Turquía)  Falleció : Alrededor del 190 A.C en alejandría, Egipto. Apolonio fue conocido como "El gran geómetra", su famoso libro "Secciones Cónicas" introdujo los términos: parábola, elipse e hipérbola espiral.

Solución de Apolonio Tenemos dos segmentos de línea recta que forman ángulo recto, son AB y AC. Completamos el rectángulo ABCD obtenemos E que es el punto en que se cruzan las diagonales del rectángulo

Solución de Apolonio Entonces traza un círculo de radio AB y de centro E el cual circunscribe el rectángulo ABCD. Este círculo corta a las líneas AB y AC produciendo dos puntos F y G respectivamente. Entonces podremos unir con una línea recta los puntos F, D, G.

Solución de Apolonio Lo primero que tenemos que probar es que AF * FB = AG * GC Con la construcción de Apolonio tenemos que si K es la mitad de AB: AF * FB + BK = FK2 Si añadimos KE 2 a ambos: AF * FE + BE 2 = EF Tenemos una expresión similar: AG * GC + CE 2 = EG 2 Pero: EG = EG BE= CE Entonces: AF * FG = AG * GC

Herón (aproximadamente año 10 dC. - alrededor del año 70) fue un ingeniero griego, que destacó en Alejandría Como matemático, escribió la obra La Métrica, donde estudia las áreas y volúmenes de distintas superficies y cuerpos. Desarrolla también técnicas de cálculo, tomadas de los babilonios y egipcios, como el cálculo de raíces cuadradas mediante iteraciones. Su logro más famoso en el campo de la geometría es la conocida como la fórmula de Herón, que relaciona el área de un triángulo con la longitud de sus lados.

Solución de Herón Con la construcción de Heron GH = FD HF * FD = DG * GH Pero el circulo BDHC pasa a través de A, entonces: HF * FD = AF * FB DG * GH = AG * GC Por lo que: AF * FB = AG * GC

Solución de Herón El resto del desarrollo se halla por semejanza de triángulos: Entonces: Por lo tanto:

PHILON Filón de Bizancio vivió en el siglo III a.C., y fue discípulo de Ctesibio de Alejandría (h. 310-240 a.C.) Las investigaciones de Filón sirvieron sin duda como punto de partida para las elaboraciones teóricas más ricas y complejas de Herón de Alejandría (siglo I a.C.)

Solución de Philon Dado un punto P y un ángulo RCS, tendremos una línea AB que pasa por P, siendo A el punto en que la línea corta al lado CR del ángulo y B el punto en que la línea corta al lado CS, esta línea será la línea de Philon cuando cumpla unas propiedades.

Solución de Philon Exista un punto Q que sea la base de una perpendicular a AB que pase por C. Que este punto Q tenga la cualidad de dividir la línea AB en unas determinadas proporciones: AP = QB Ahora considerar el rectángulo CGPH mostrado en el dibujo y suponer que la línea AP ha sido desplazada teniendo presente que AP = QB

Solución de Philon Donde Q es la intersección de AB con su perpendicular que pasa por C. Se observa que C, G, P, Q y H están situados en la línea de un círculo y además: AP.AQ = BQ.BP Pero: También: Por semejanza de triángulos BCA, PGA y BHP:

Solución de Philon O también: BH, AG son las dos medias proporcionales entre GC, HC Para el caso particular de la solución del problema de la duplicación del cubo: GF = 2(HC) Entonces: AG = 2(HC)2

Diocles Diocles (~250-~100 aC) inventó esta curva para solucionar el problema de la duplicación del cubo (problema de Delian). El nombre de cisoide (forma de hiedra) proviene de la forma de la curva

Solución de Diocles La cisoide es el lugar geométrico de los puntos M, tal que OM = PQ. Su ecuación, en coordenadas polares es: Y en cartesianas:

Consecuencias del problema de la duplicación del cubo La historia sobre la resolución del problema de la duplicación del cubo está llena de anécdotas, pero lo cierto es que como consecuencia de ello surgió: ➪ Sección de cónicas. ➪ Descubrimiento de los inconmensurables. Números irracionales ➪ Método de exhaución. Cálculo aproximado del número π

La solución Desgraciadamente, lo único que se pudo comprobar al cabo del tiempo y ya en 1837 fue que el problema no tiene solución, hecho demostrado gracias a los trabajos del geómetra francés Pierre Wantzel.