Dimensión fractal y problemas de escala Carlos Reynoso UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES http://carlosreynoso.com.ar

2 Objetivos Comprender el carácter problemático de la noción de escala Clarificar un concepto expresivo pero delicado Establecer una forma relativamente correcta de trabajar con la cuestión No meterse en cuestiones excesivamente técnicas o en problemas de camarillas de los geómetras Examinar las principales herramientas de análisis de dimensión fractal y sus aplicaciones Patrones de asentamiento, formas geométricas, series temporales, música Establecer tareas y recursos

3 Agenda Problemas de escala Dimensión fractal Conceptos esenciales Herramientas Casos en ciencias sociales, arte, diseño, arquitectura Recursos Tareas a realizar

4 Problemáticas de la escala (1/2) Presupuestos de monotonía y homogeneidad en el análisis espacial clásico Inexistencia de “longitudes” precisas independientes de la unidad de medida Falacia locacional Presupuesto de ubicación única de los actores, con impacto en análisis sanitario, etc Casa, trabajo, transporte Problema de la unidad areal modificable (MAUP) Diferentes correlaciones con distintas agrupaciones de datos De -0,99 a +0,99

5 Problemáticas de la escala (2/2) Problema del límite [boundary problem] Diferentes formas de trazar los límites producen distintos resultados en la estimación de la distribución y en diversos párámetros estadísticos Autocorrelación espacial Primera ley de la geografía (Waldo Tobler, 1970) Modelo gravitacional Imposibilidad de aplicar estadísticas convencionales Falacia ecológica Imposibilidad de inferir probabilidades individuales a partir del conjunto Múltiples distribuciones en un área Cómo pasar de lo local a lo global

6 Fractales - Conceptos Dimensión fractal Auto-repetición (homotecia) Distribución de ley de potencia – Ruido 1/f

7 Distribución normal Cerca del 68% del conjunto se encuentra a 1 desviación estándar de la media, 95 a 2 y 99,7 a 3 Regla de 68-95-99,7 Mal llamada “curva de Bell”

8 Ley de potencia Independiente de escala = No hay valores normales, ni una media, ni una escala característica La dispersión de los valores puede ser de orden astronómico

9 Dimensiones fraccionales

10 Dimensión fractal Benoît Mandelbrot Geometría fractal de la naturaleza Los objetos fractales Dimensiones geométricas no enteras ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? Lewis Fry Richardson, 1928 Log/log = Ley de potencia “Las montañas no son conos, las nubes no son esferas, las islas no son círculos, los rayos no son líneas rectas” Dimensión efectiva: depende de escala de observación No es subjetivo según el observador, sino función determinista de la escala

11 ¿Cuánto mide...?  1.24958

12 Paradoja de Steinhaus

13 Richardson-Hayes

14 Dimensión fractal Método de la cuenta de cajas Dimensión logarítmica, de entropía o de capacidad Logaritmo natural Tamaño de la caja Número de cajas en que aparece la curva Inclinación de la curva Dimensión = 1,24958

15 Conteo de cajas (box counting) Método simple de asignar una dimensión a un conjunto, tal que en ciertos casos esa dimensión no es entera Estos conjuntos son los llamados fractales Desde el punto de vista dinámico, los conjuntos con propiedades fractales se dice que están regidos por atractores extraños

16 Jerga técnica Transformada de Wavelet Método de transformación de ondas complejas Sirve, entre otras cosas, como procedimiento para calcular la dimensión fractal de un objeto Hay varias clases: continua, compleja, discreta Transformada de Fourier Método alternativo – Se usa para calcular espectro de potencia Detección o extracción de bordes Thresholding Establecer umbrales de datos a tratar Rango para pasar otros colores a blanco o a negro

17 Jerga técnica [Sliding box] lacunarity Medida de heterogeneidad de una imagen. Similar a standard box counting. Convex hull Identificación de los pixels más distantes de una imagen y trazado del círculo correspondiente. Análisis multifractal Permite establecer si la estructura se rige por un solo principio constructivo o si éste varía a distintas escalas. O también: identifica diferentes partes del atractor que poseen diferentes conductas de escala. La mayoría de los objetos complejos reales o de las series temporales es multifractal.

18 Jerga técnica Lagunaridad Cómo llena un fractal un espacio Fractales densos tienen baja lagunaridad

19 Lagunaridad

20 Jerga técnica Agregación limitada por difusión (DLA) Modelo fractal de crecimiento (urbano) Propiedades parecidas: gradiente de densidad negativa, estructuras caóticas ordenadas Algunos programas fractales incluyen un módulo de DLA Algunos programas de medición de densidad también (FracLab) Idem modelos basados en agentes Estudiado como fenómeno urbano por Batty, Longley y Fotheringham Otros geógrafos utilizan modelos de percolación Cuyo gráfico es una escalera del diablo*

21 Washington-Baltimore & DLA

22 Importancia de DLA Los formas de agregación son fractales A mayor fractalidad, mayor presunción de organicidad y auto-organización Baja probabilidad de asentarse en el centro Quizá DLA no sea un buen modelo, pero es una base para pensar en modelos de crecimiento Los modelos algorítmicos simples (en contra de las funciones analíticas, que pueden no existir) permiten una comprensión conceptual más clara.

23 Importancia de DLA Otros modelos alternativos Modelo de Eden Sólido-sobre-sólido [solid-on-solid] Deposición aleatoria Deposición balística estocástica Percolación de invasión Percolación dirigida Screened growth model Modelo polinuclear Modelos carcinogénicos DLA sigue siendo el más popular

24 Dilación

25 Preliminares Pasar a gama de grises Dilación Thresholding Extracción de bordes Pre-procesamiento de imágenes Con analizadores fractales o con programas especializados. Programa recomendado ImageJ, con propio analizador fractal

26 Programas **HarFA **FracLab Fractalyse FracTop Fractal3e Kindratenko SimuLab FracLac - Módulos (plugins) de ImageJ

27 **HarFA Versión reducida disponible – Versión completa, supeditada a posteo de un paper Análisis armónico (Transformada de Fourier), análisis de wavelet y análisis fractal Diversas técnicas de reconocimiento de bordes, eliminación de márgenes (borlas, escalas), filtrado (incluyendo Kuwahara*) El más completo en cuanto a formatos Imágenes, series temporales, videos, música en forma directa Observación: Espectros discretos y continuos dan dimensiones diferentes.

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29 **FracLab Componente de Matlab, independiente Síntesis de funciones parametrizadas DLA, secuencias 1/f, percolación, IFS, movimiento browniano, movimientos estables fBM, mBM – Se pueden simular texturas en 2D Cálculos de dimensiones de señales, imágenes o datos binarios Cálculo multifractal y de exponentes Métodos de limpieza (denoising) Insólitamente, no tiene dilación

30 **FracLab Interpolación Se pueden tomar series temporales generadas por la ecuación logística o datos de terreno Se pueden hacer interpolaciones en series cortas para analizarlas en los gráficos de recurrencia de VRA, etc Precaución Medir dimensión de archivos binarios con método binario. Si se mide por escala de grises la dimensión fractal es mucho mayor (casi una unidad) Igual precaución debe observarse con otros programas

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32 Práctica Análisis del índice Nikkei Fraclab_mcr nikkei225.txt Generación de síntesis de percolación y diffusion-limited aggregation Elegir siempre dimensión de regularización y no conteo de caja Es más exacto y menos voluble Los archivos de texto (series temporales de Excel, por ejemplo) deben estar separados por tabulaciones

33 Fractalyse Basado en Matlab, autónomo – Desarrollado por Gilles Vuidel & Pierre Frankhauser (escuela francesa) Soporta Tab, BMP, TIF (sólo B&W) Se requieren imágenes bien contrastadas Un poco inestable Algunas opciones señaladas como Testing son de resolución incierta Box counting, dilación, lagunaridad, multifractal, tentacularidad, extracción de borde No proporciona información tabular de medidas de caja Si lo hacen SimuLab y FracTop La dilación es una de las mejores en plaza Práctica de lagunaridad con mapa de Milán

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35 Fractal3e Programa de la Secretaría de Agricultura y Ganadería de Japón, prestaciones limitadas Pocos formatos gráficos (BMP) Ciertas imágenes complejas no pueden ser tratadas Buenas operaciones de preprocesamiento Problemas de foco en el form de resultados Hay una versión más nueva (3.4.6) y sigue siendo gratis, pero hay que tramitar el pedido Vigilar sobre qué color se realiza el cálculo Gráfico log/log y tabla de valores por caja

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37 ImageJ – Preparación de imágenes Open Source con innumerables módulos agregados Es el sitio por excelencia para computación de imágenes Prestaciones casi ilimitadas de tratamiento preliminar de representaciones gráficas No es para efectos bonitos (tipo Photoshop) sino para manipulación, conversión y análisis No lee BMP compactado, pero debe haber un plugin en alguna parte Incluye módulo de análisis fractal El archivo .Jar de análisis fractal debe copiarse al directorio plugins

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39 Kindratenko Fractal Analysis of Contours 1.0, ca. 2000 Básico, pero adecuado para problemas simples* que no requieren demasiada especificación No mide música, video ni series temporales – Sólo contorno de imágenes. Se controla con botón derecho. Encuentra automáticamente el contorno, pero *sólo de imágenes monocromáticas únicas. Cuando se obtiene la curva, el objetivo es trazar una línea entre dos medidas cualesquiera. Sirve para mostrar variabilidad de la dimensión conforme a la inclinación de la línea.

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49 FracTop Modelo analítico simple, ca. 2003 – Java RE Programa de la Charles Sturt University (Australia) http://www.csu.edu.au/faculty/sciagr/eis/fractop/ La visualización de las imágenes poco contrastadas es un poco sumaria Las operaciones de thresholding etc no están documentadas JPG, GIF, PNG, TIFF, pero no BMP Las tablas de pueden pasar a Excel y analizar allí como gráfico XY, con ejes logarítmicos Vale la pena comparar los gráficos built in con los de Excel, que son más controlables y profesionales

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51 SimuLab Programas de la Universidad de Bar-Ilan, Israel, ca. 2000 – Tecnología de 16 bits Sólo soporta BMP en blanco y negro, sin compactar Módulos de fractalidad de costas y de análisis fractal de formas diversas Métodos de regla y caja Permite comparar diferencias de resultados entre ambos procedimientos No funciona en Windows Vista / Windows 7

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Aplicaciones en estudios urbanos

55 Michael Batty – Pierre Frankhauser Batty & Longley, Fractal cities, 1994. Análisis de la dimensión fractal de las áreas urbanas Las ciudades planificadas tienden a ser ortogonales (no fractales) Las periferias se fractalizan Las áreas de poblamiento no planificado son fractales (de agregación) En Cardiff, proceso histórico inverso por mejoras en el sistema de transporte del centro a la periferia Frankhauser – Relación de dimensión fractal con renta, especializaciòn funcional, etc

56 Batty & Longley (cont.)

57 Análisis innovador de modelos de crecimiento (esp. Orgánico)

58 Análisis innovador de modelos de crecimiento (esp. Orgánico)

59 Relación entre jerarquía y distribuciones de Pareto / Zipf Autosimilitud en diversas escalas Distribuciones de ley de potencia Vinculación con la ley de Zipf de rango/frecuencia para las ciudades

60 Aplicaciones Geografía urbana – Ejemplo Investigaciones de Frankhauser

61 Investigaciones de Frankhauser

62 Aplicaciones Rodina, Rodin, Dumachev – Optimización de patrullaje policial en Moscú Zonas residencias sub-patrulladas: mayor D

63 Analogía entre neoplasmas malignos y crecimiento urbano (1/2) Warren Hern, U. Colorado (2008)

64 Baltimore-Washington (Masek & al 2006)

65 Analogía entre neoplasmas malignos y crecimiento urbano (2/2) Rasgos propios de procesos de criticalidad auto-organizada http://carlosreynoso.com.ar/criticalidad-auto-organizada-y-dinamicas-complejas/ Metástasis (colonización distante) Crecimiento rápido Progresión (tasa creciente de expansión en nuevas colonias) Invariancia de escala Topofagia (devora los espacios disponibles) Falta de mecanismos antagónicos inhibitorios Apoptosis (resistencia a la extinción normal) Semejanza con muerte celular programada de Penelas

66 Sitios arqueológicos fractales, etc Maschner & Bentley – Asentamientos en Aleutianas Brown & Witschey – Mayas. Burkle Elizondo – Estelas y calendarios mexicanos.

Otras aplicaciones

68 Ron Eglash – Dimensión fractal de la música

69 Shakespeare – Eli Eftekhari

70 Relacionado: Ley de Zipf

71 Artistas fractales Patrones de Mandelbrot en arte escita, vikingo, avar-onogurio, parto, sogdiano, chino, japonés Espirales complejos en arte indígena colombiano y en tallas de madera Maori Jackson Pollock František Kupka (Amorpha, 1912) Arte psicodélico Percepciones narcóticas, estados alterados de conciencia Materiales en DVDs de Ciencia Cognitiva y en curso de CC y antropología del conocimiento en http://carlosreynoso.com.ar

72 Aplicaciones Richard Taylor y el Pollockizer

73 Aplicaciones Richard Taylor Las pinturas de Jackson Pollock tienen una dimensión fractal característica a dos escalas diferentes, que se acentúa con los años Se pudo hacer un peritaje de 6 (sobre 32) pinturas sospechosas encontradas en Long Island (1999) Taylor encontró desviaciones significativas Otros expertos disienten, argumentando que en ese lote Pollock estaba experimentando variantes estilísticas

74 Aplicaciones Richard Taylor sobre Pollock

75 www.jacksonpollock.org Go...

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78 Consecuencias Arte Neen Miltos Manetas, ca 2000 Andreas Angelidakis, Steven Schkolne, Amy Franceschini, Erik Loyer, Jon Wine, Mai Ueda Uso oportunista de la tecnología, intrascendencia deliberada, temporario, cool “Splatter” de Michael Migurski. Se volvió Neen cuando Manetas se lo apropió http://www.neen.org/demo.html

79 Más aplicaciones Mureika, Dyer, Cupchik Estructura multifractal de arte abstracto “Huellas digitales” multifractales “Firmas” (signatures) fractales de estilos, artistas, períodos, series, épocas, pigmentos...

80 Gerl, Schönlieb, Wang (2004) Dimensión fractal entre los mejores índices, con 75 a 80% de efectividad

81 ¿Podría un arqueólogo o historiador de arte especializarse en peritaje fractal y encontrar las signaturas de los estilos a autenticar?

Análisis basado en ondículas [wavelets] Sección en preparación

83 Acentuación de diferencias y clasificación L. A. Ruiz & al

84 Combinación con gramática de patrones para diseño arquitectónico Sariyildiz & al

85 Detección de edificios Thui & al

86 Combinación con gramática de patrones para diseño arquitectónico Sariyildiz & al

87 Conclusiones (1/2) Elemento de juicio fundamental Análisis geográfico, patrones de asentamiento, uso de la tierra, ecología, diseños, música, peritaje artístico Se debe vincular con otros factores: Comparación con otros sitios/períodos/géneros Hipótesis sobre la significación de los valores diferenciales Especificación puntual de los procedimientos y de los programas empleados, incluyendo métodos de thresholding, etcétera

88 Conclusiones (2/2) Tema apto para realizar experiencias de trabajo en el contexto del seminario Encontrar dimensiones fractales características de barrio, periferia, zona planificada, zona auto-organizada, época, clase social Comprobar mediciones contra juegos de prueba en más de un entorno de análisis No sólo distintos programas de DF, sino otras medidas multiescalares [wavelets, lagunaridad] Vincular con otras herramientas analíticas que se verán más adelante

89 Recursos Batty M. and Longley P. (1994), Fractal Cities. A Geometry of Form and Function, London: Academic Press, 394 p. Frankhauser P. (1994), La fractalité des structures urbaines. Collection Villes, Anthropos, Paris. Frankhauser P. (1998): The Fractal approach: a new tool for the spatial analysis of urban agglomerations, Population: An English Selection, 205-240.

90 Referencias (1/2) Reynoso, Carlos – Complejidad y caos: Una exploración antropológica. Buenos Aires, SB Ediciones, 2006 Grupo Anthropokaos – Exploraciones en antropología de la complejidad. Idem. Eglash, Ron – African fractals. New Brunswick, Rutgers University Press, 1999. Eve, Raymond, Sara Horsfall & Mary Lee. Chaos, complexity and sociology. Myth, models, and theories. Thousand Oaks, Sage, 1997. Watts, Duncan. Six degrees. The science of a connected age. Londres, Random House, 2004.

91 Referencias Reynoso, Carlos. 2010. Análisis y diseño de la ciudad compleja. Perspectivas desde la antropología urbana. Buenos Aires, Editorial Sb

92 Ejercicios de práctica Generar matriz a partir de imagen con PASSaGE 2 Create > Surface from image, etc Análisis de wavelet

¿Preguntas? http://carlosreynoso.com.ar