Casos de factorizaciòn

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Durante la presentación, que los alumnos respondan en cada uno de los ejemplos cuál es el término común

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El primer ejemplo se hace con todo detalle, explicando de dónde sale el segundo factor y haciendo énfasis en la expresión final. Los siguientes ejemplos son ejercicios que los alumnos resuelven.

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Igual que el Caso I, sólo identificar a quiénes agrupar

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Que el grupo resuelva cada paso siguiendo el procedimiento y regresar a él cuando es necesario

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Igual al anterior

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Si es necesario ir a la descripción de un tcp. En los ejemplos preguntar si son tcp y por qué

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Llevar paso a paso el procedimiento, el grupo responde si es tcp, las raíces cuadradas ... El signo del doble producto, el resultado. Si es necesario regresar al procedimiento.

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Dar tiempo para que los alumnos lo resuelvan individualmente, alguien explicará el procedimiento y resultado

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Si es necesario describir o recordar de dónde vienen estos trinomios. Evaluar si los ejemplos son o no tcp. Si cumplen la forma descrita.

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Explicar el procedimiento paso a paso, que el grupo calcule los valores.

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Dar tiempo para que los alumnos lo resuelvan individualmente, alguien explicará el procedimiento y resultado

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Si es necesario describir o recordar de dónde viene la diferencia de cuadrados. Evaluar si los ejemplos son diferencia de los cuadrados de quién

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Explicar el procedimiento paso a paso, que el grupo calcule los valores.

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Dar tiempo para que los alumnos lo resuelvan individualmente, alguien explicará el procedimiento y resultado

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Si es necesario describir o recordar de dónde viene la diferencia o suma de cubos. Evaluar si los ejemplos son diferencia o suma de los cubos de quién

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Explicar el procedimiento paso a paso, que el grupo calcule los valores

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Dar tiempo para que los alumnos lo resuelvan individualmente, alguien explicará el procedimiento y resultado

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Tener listos un par de ejemplos para seguir la estrategia general.

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Factor Factorización Operación necesaria para re-escribir una expresión algebraica como producto de factores simples ma2 – mb2 = m(a+b)(a-b)

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Caso I. Factor Común Aparece en todos los términos de la expresión algebraica, un término común Identificar el máximo término común Dividir la expresión algebraica original entre el máximo término común

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Caso I. Factor Común Resolviendo los ejemplos:

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PRÁCTICA a2 + ab R: / a (a +b). 2a2 x + 6ax2 R: / 2ax (a + 3x). 15y3 + 20y2 – 5y R: / 5y (3y2 + 4y – 1). a3 – a2x + ax2 R: / a (a2 – ax + x2). 12m2n+24m3n2–36m4n3+48m5n4 R: / 12m2n (1+2mn- 3m2n2+4m3n3). 3x(x-2) – 2y(x-2) R: / (x-2) (3x-2y). 2x(n-1) – 3y(n-1) R: / (n-1) (2x- 3y). a(x-1) – (a+2)(x-1) R: / -2(x-1). (x2+2)(m-n) + 2(m-n) R: / (m-n) (x2+4). a2+1 - b(a2+1) R: / (a2+1) (1-b). procedimiento

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Caso II . Factor común polinomio Es un monomio que es divisor de todos los términos de un polinomio. Ejemplos: Descomponer x (a+b) + m (a+b). Los dos términos de esta expresión tienen de factor común el binomio (a+b). escribo (a+b) como coeficiente de un paréntesis y dentro de un paréntesis escribo los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a+b), o sea:

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x (a+b) = x (a+b) Y m (a+b) = m (a+b) y tendremos: x (a+b) + m (a+b) = (a+b) (x+m).

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PRÁCTICA 3x(x-2) – 2y(x-2) R: / (x-2) (3x-2y). 2x(n-1) – 3y(n-1) R: / (n-1) (2x- 3y). a(x-1) – (a+2)(x-1) R: / -2(x-1). (x2+2)(m-n) + 2(m-n) R: / (m-n) (x2+4). a2+1 - b(a2+1) R: / (a2+1) (1-b). procedimiento

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Caso III. Factor Común por Agrupación de Términos Aparece un término común compuesto después de agrupar términos con factores comunes simples Agrupar términos con factores comunes, usando la propiedad asociativa Factorizar (Caso I) en cada grupo, los factores comunes Identificar el máximo término común Dividir la expresión algebraica entre el máximo término común

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Resolviendo los ejemplos: procedimiento Ejemplos Se agrupan los términos que tienen las variables iguales. Factor común Resultado.

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Resolviendo los ejemplos: procedimiento Se agrupan los términos de variables iguales o que puedan factorizarse. Factorizar Resultado

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PRÁCTICA 3ax+12ab+6xy+24by R: / (a+2y)(3x+12b) 2gw-15st-10gt+3sw R: / (w-5t)(2g+3s) 21x2-42xy+28x-56y R: / (x-2y)(21x+28) 6ax+3a+1+2x R: / (2x+1)(3a+1) 2x2y+2xz2+y2z2+xy3 R: / (2x+y2)(xy+z2) 6m-9n+21nx-14mx R: / ( 2m-3n)(3-7x) 2am-2an+2a-m+n-1 R: / (2 a-1)(m-n+1) Am-bm+an-bn R: /(a-b)(m+n) 3a-b2 +2b2 x-6ax R:/ ( 1-2x)(3 a-b2 ). 20ax-5bx-2by+8ay R: / (4 a-b)(5x+2y). procedimiento

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Determinar si es tcp Obtener la raíz cuadrada del primer y tercer términos Observar el signo del segundo término Escribir el binomio al cuadrado Caso iv. Trinomio cuadrado perfecto

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    Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto: Es cuadrado perfecto cuando el primer y el tercer término son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y positivos. Y el segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas. Ejemplos: procedimiento

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Resolviendo ejemplos: ¿ es tcp ? Sí procedimiento Buscar la raíz cuadrada del primer y el segundo término, se coloca el signo del segundo término. Resultado

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Resolviendo ejemplos: ¿ es tcp ? Sí procedimiento Buscar la raíz cuadrada del primer y el segundo término, se coloca el signo del segundo término. Resultado

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PRÁCTICA 169b2+144c2+312bc R: / (13b+12c)2 225y3+180xy2+36x2y R: / y (15y+6x)2 9b2-30a2b+25a4 R: / (3b-5a2)2 400x10+40x5+1 R: / (20x5+1)2 4m2-4m (n-m) + (n-m)2 R: / (3m-n)2 procedimiento

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Obtener la raíz cuadrada del primer término. Determinar dos números que sumados o restados sean igual a c y que multiplicados sean igual a d. Escribir el producto de binomios. Caso v. Trinomio de la forma X2 +cx + d

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Regla para factorizar el Trinomio. El trinomio se descompone en dos factores binomios, cuyo primer termino es la raíz cuadrada del primer término del trinomio. El signo del primer factor es el que lleva el segundo término y el signo del segundo factor es el resulta de multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercero. Si los binomios tienen en el medio signo iguales se buscan dos números cuya suma sea el valor del segundo término y cuyo producto sea el valor del tercero. Si los signos son diferentes se buscan dos números cuya diferencia sea el valor del segundo término y cuyo producto sea el valor del tercero.

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Buscar la raíz cuadrada del primer término, dos números que al multiplicarlos el resultado sea el tercer término y sumados o restados den como resultado el segundo término . Resolviendo ejemplos: procedimiento Resultado

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Resolviendo ejemplos: procedimiento Buscar la raíz cuadrada del primer término, dos números que al multiplicarlos el resultado sea el tercer término y sumados o restados den como resultado el segundo término . Resultado

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PRÁCTICA 20+ a2 – 21 a R: / (a-20)(a-1) y2 + 50y + 336 R: / (y+42) ( y+8) x2 +7x + 10 R: / (x+5) ( x+2) m2 -20m-300 R: / ( m-30) (m+10) c2 +5c -24 R: / ( c+8) ( c-3) r2 -12r +27 R: / ( r+3) ( r-9) y2 -27y +50 R: / ( y-2) ( y-25) h2 -14h + 33 R: / ( y-11) (y-3) n2 -6n -40 R: / ( n-10) ( n+4) k2 +4k -21 R: / ( k+3) ( k-7) procedimiento

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Características: El primer término debe ser positivo, tener un coeficiente diferente de uno (1)y la parte literal debe ser raíz cuadrada exacta. La variable que está acompañando el segundo término debe ser la raíz cuadrada de la variable del primer término. Cumpliendo con esto se procede a factorizar transformando el trinomio dado de la siguiente forma: Caso vi. Trinomio de la forma ax2 + bx + c

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Se multiplica y divide por el coeficiente que acompaña el primer término. ax2 + bx + c = a ( ax2 + bx + c) a 2. Se opera, dando como resultado: ( ax)2 + b (ax) + ac a 3. Lo que nos queda en el numerador es un trinomio de la forma anterior y luego se procede a factorizar como en el caso anterior. procedimiento

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Ejemplo: 6x2 -25x + 14 6 (6x2 -25x + 14) 6 (6x-4) (6x-21) 6 (6x) 2 – 25(6x) + 84 6 6 ( x-4) 6 (x-21) 6 ( x-4) (x-21) Resultado Siguiendo los pasos anteriores obtenemos estos resultados. procedimiento

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Trinomio Cuadrado Perfecto Resultado del siguiente producto notable: o, procedimiento

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Trinomio de la forma Resultado del siguiente producto notable: Donde: y procedimiento

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PRÁCTICA procedimiento 24x2 +24x+6 R: / (2x+1)(2x+1) 8x2 -14x+3 R: / ( x-2) ( x-12) 4x2 +7x+3 R: / ( 4x+3) ( x+1) 20y2 +y-1 R: / ( 4y+1) ( 5y-1) 30x2 +13x-10 R: / ( 6x+5) ( 5x-2)

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Identificar la diferencia de cuadrados Obtener la raíz cuadrada del primer y segundo términos Escribir el producto de binomios conjugados Caso VII. Factorización de la diferencia de Cuadrados

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Resolviendo ejemplos: procedimiento Buscar la raíz cuadrada del primer y segundo término Representar el resultado con signos contrarios. Resultado

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Resolviendo ejemplos: procedimiento Buscar la raíz cuadrada del primer y segundo término Representar el resultado con signos contrarios. Resultado

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procedimiento PRÁCTICA 4x2 -81y4 R: / (2x+9y2) (2x-9y2) 25-36x4 R: / (5+6x2) (5-6x2) 100m2n4–169y6 R: / (10mn2 +13y3) (10mn2 -13y3) 4 a2 -9 R: / (2 a+3) ( 2 a-3) 16-n2 R: / (4+n) (4-n)

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Caso VIII. Cubos Perfectos Condiciones para que una expresión sea un cubo perfecto: Tiene cuatro términos. Que el primero y el último término sean cubos perfectos. Que el 2do término sea más o menos el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del 1er término multiplicado por la raíz cúbica del último término. Que el 3er término sea más el triplo de la raíz cúbica del 1er término por el cuadrado de la raíz cúbica del último.

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Ejemplo: Factorar 8x3 + 12x2 + 6x + 1 , si cumple las condiciones tenemos: La raíz cúbica de 8x3 es 2x. La raíz cúbica de 1 es 1. El 2do término resulta de multiplicar: 3(2x) 2 (1) = 12x2 El 3er término resulta de multiplicar: 3(2x) (1) 2 = 6x RESULTADO: la expresión dada es el cubo de (2x+1). procedimiento

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PRÁCTICA 8+36x+54x2 27x3 R: / (2x+3) 3 1+12 a2 b -6ab -8 a3b3 R: / (no es) 125x3 +1+75x2 +15x R: / (5x+1) 3 8 – 12 a2 -6 a4 –a6 R: / (no es) 125 a3 +150 a2 b+60ab2 +8b3 R: / (5 a +2b) 3 procedimiento

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Identificar si es suma o diferencia de cubos Obtener la raíz cúbica del primer y segundo términos Escribir el producto del binomios por trinomio correspondiente Caso ix. Suma o diferencia De cubos

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Buscar la raíz cúbica de ambos términos. Resolviendo ejemplos: a3 +b3 (a+b) (a2 –ab+b2) procedimiento Formula del trinomio

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Resolviendo ejemplos: procedimiento diferencia Buscar la raíz cúbica de ambos términos. Resultado

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Resolviendo ejemplos: procedimiento suma Resultado Buscar la raíz cúbica de ambos términos.

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Diferencia de Cuadrados Resultado del siguiente producto notable: procedimiento

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Suma y Diferencia de Cubos Resultado del siguiente producto notable: o bien, procedimiento

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PRÁCTICA 27x3 – 8y3 0.008x3 - 0.216y3 27x3 – 279 a3 216 a3 + 27b3 1000x6 + 125y3 8x3 -27y3 a 3 + 27 procedimiento

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Caso X. Suma o diferencia de dos Potencias iguales Factorar: m5 + n5 dividiendo entre m+n tenemos que; m5 + n5 m + n m4 – m3 n+ m2n2 -mn3 +n4 (m+n) (m4 – m3 n+ m2n2 -mn3 +n4 )

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procedimiento PRÁCTICA a7+ b7 32+m5 M5 + 1 243 -32 b5 a7 + 2187 x7 + 128 1 + x7

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Estrategia General Factorizar todos los factores comunes. Observar el número de términos entre paréntesis (o en la expresión original). Si hay: Cuatro o seis términos: factorizar por agrupación. Tres términos: probar si es tcp y factorizar así; si no es tcp, emplear el caso general. cuadrados: buscar la diferencia de cuadrados y factorizarla. cubos: buscar la suma o diferencia de cubos y factorizar. Asegurarse de que la expresión está factorizada completamente.

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Bibliografía WWW.GOOGLE.COM (WIKIPEDIA). Algebra de baldor.

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Casos de Factorización Profesor: Roberto De Obaldía By: Kevin Córdoba Evoly Pérez Benigno Saldaña XII A3

Summary: Todos los casos de factorizaciòn, explicados detalladamente y con ejemplos, practicas y sus soluciones.

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