Cuerpos Geometricos

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CUERPOS GEOMÉTRICOS

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ELIPSOIDE TOROIDE

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CUERPOS GEOMÉTRICOS Se denominan cuerpos geométricos a aquellos elementos que, ya sean reales o ideales — que existen en la realidad o pueden concebirse mentalmente — ocupan un volumen en el espacio desarrollándose por lo tanto en las tres dimensiones de alto, ancho y largo; y están compuestos por figuras geométricas. Las líneas que corresponden a los lados comunes de los diversos planos que componen los cuerpos geométricos, se denominan aristas.

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EL ESTUDIO DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS COMPRENDE: Su clasificación; Su diagrama y construcción; El cálculo de su superficie total; El cálculo de su volumen. SE DISTINGUEN DOS CLASES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS: Los poliedros Los cuerpos redondos

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POLIEDRO son cuerpos geométricos que están compuestos exclusivamente por superficies planas, que se denominan caras del poliedro. Se distinguen dos clases de poliedros: Los poliedros regulares — en los cuales todas las caras son iguales. Los poliedros irregulares — en los cuales no se trata de que todas sus caras sean distintas, sino de que tienen caras que comprenden más de un tipo de figuras planas (por ejemplo, una piedra preciosa tallada, o los caireles de una lámpara).

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La representación gráfica de los cuerpos geométricos en general, presenta la dificultad de que, teniendo tres dimensiones, solamente pueden representarse en el plano dos dimensiones; por lo cual se recurre a una técnica de dibujo, la perspectiva, que permite dar la sensación tridimensional. Observa:

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Elementos: Caras Aristas Vértices

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El cubo — que está compuesto por seis caras cuadradas; motivo por el cual se le conoce también con el nombre de exaedro regular, (exaedro = cuerpo con 6 caras). El tetraedro regular — compuesto por cuatro caras con forma de triángulos equiláteros. LOS POLIEDROS REGULARES SON CINCO

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El octaedro regular — compuesto por ocho caras con forma de triángulos equiláteros, en forma de dos pirámides unidas por sus base. El icosaedro regular — compuesto por veinte caras con forma de triángulos equiláteros, que tiene un eje plano hexagonal. El dodecaedro regular — compuesto por doce caras con forma de pentágono.

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EL PRISMA — que está compuesto por caras laterales rectangulares (que pueden ser cuadradas); y bases con forma de triángulo, cuadrado (salvo cuando las caras también lo son, en cuyo caso es un cubo), pentágono, exágono u otro polígono regular. EL PRISMA OBLICUO — que es similar al prima, pero con dos lados de forma romboidal; por lo cual solamente puede tener bases cuadradas. LOS PRINCIPALES POLIEDROS IRREGULARES SON:

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LA PIRÁMIDE RECTA — compuesto por una base con forma de polígono regular, y lados triangulares cuya base son los lados del polígono, y unen todos su vértices en un mismo punto, también llamado vértice de la pirámide; el cual se encuentra sobre la perpendicular a la base que pasa por su centro. LA PIRÁMIDE INCLINADA — similar a la anterior, pero cuyo vértice se encuentra sobre una perpendicular a la base que no pasa por su centro.

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ALGUNOS POLIEDROS SON:

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CUBO Un cubo o hexaedro regular es un poliedro de seis caras cuadradas congruentes, siendo uno de los llamados sólidos platónicos. Un cubo, además de ser un hexaedro, puede ser clasificado también como paralelepípedo, recto y rectángulo, pues todas sus caras son de cuatro lados y paralelas dos a dos, e incluso como un prisma de base cuadrangular y altura equivalente al lado de la base. El hexaedro regular, al igual que el resto de los sólidos platónicos, cumple el Teorema de poliedros de Euler, pues tiene seis caras, ocho vértices y doce aristas (8+6=12+2).

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VOLUMEN, ÁREA Y DESARROLLO: Dado un hexaedro regular de arista a, podemos calcular su volumen V mediante la siguiente fórmula: V = a3 Y el área total de sus caras A (que es 6 veces el área de una de ellas, Ac), mediante:

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TRAPECIO Un trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y otros dos no paralelos. Los lados paralelos se llaman bases del trapecio y la distancia entre ellos se llama altura. Se denomina mediana al segmento que tiene por extremos los puntos medios de los lados no paralelos.

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TIPOS DE TRAPECIO: Los trapecios respecto a sus ángulos internos, pueden ser rectángulos, isósceles o escalenos: Trapecio rectángulo o recto es el que tiene un lado perpendicular a sus bases. Tiene dos ángulos internos rectos, uno agudo y otro obtuso. Trapecio isósceles es el que posee los lados no paralelos de igual medida. Tiene dos ángulos internos agudos y dos obtusos, que son iguales entre sí. Trapecio escaleno es el que no es isósceles ni rectángulo. Tiene los cuatro ángulos internos de diferente amplitud.

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CARACTERÍSTICAS DE UN TRAPECIO La longitud de la mediana (m) de un trapecio es igual a la semisuma de la longitud sus bases (a c). En un trapecio isósceles: los ángulos adyacentes a cada base de tienen la misma amplitud, y los ángulos opuestos son suplementarios. Las diagonales son de igual longitud.

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CÁLCULO DE LA ALTURA DE UN TRAPECIO La altura (h) de un trapecio puede calcularse, en función de las dos bases (a c) y de los dos lados (b d), mediante la siguiente ecuación: En donde a es la base mayor, c es la base menor, y los lados no paralelos son b y d. El Area del (TRAPECIO) El Area del Trapecio se saca indetificando la base por altura sobre dos

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RECTÁNGULO Un rectángulo es un paralelogramo cuyos cuatro lados forman ángulos rectos entre sí. Los lados opuestos tienen la misma longitud. El perímetro, L, de un rectángulo de base b y altura h es: P= 2b + 2h La superficie, S, de un rectángulo de base b y altura h es: S = b h El cuerpo de revolución generado por un rectángulo, respecto de un eje que contenga a un lado, es un cilindro.

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RECTÁNGULOS CON NOMBRE PROPIO El cuadrado se puede considerar un caso particular del rectángulo, en el que todos sus lados tienen la misma longitud. El rectángulo áureo también denominado rectángulo de oro o rectángulo Φ, es el rectángulo cuyos lados están en razón áurea. Si b y h son los lados, b/h = Φ. Para construirlo a partir de un cuadrado de lado AB, basta con determinar el punto medio M de uno de los lados AB, y trazar, con centro en el punto M, una circunferencia que pase por uno de los vértices C del lado opuesto.

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Rectángulo (rectángulo raíz de 2), aquel cuya relación entre base y altura es igual a la raíz cuadrada de dos. Si b y h son los lados, b/h = . El interés de este rectángulo radica en que si es dividido en dos mitades, por su lado más largo, los dos nuevos rectángulos obtenidos mantienen exactamente la misma proporción que el original, o sea que son también rectángulos raíz de 2. Es por ello que, entre otros usos, es el formato utilizado para dimensionar las hojas de papel según la norma DIN. Construcción partiendo del cuadrado: de forma similar al rectángulo áureo, se traza con centro en el punto A, una circunferencia que pase por el vértice opuesto C.

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OCTAEDRO Es un poliedro de ocho caras. Con este número de caras puede ser un poliedro convexo o un poliedro cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de siete lados o menos. Si las ocho caras del octaedro son triángulos equiláteros, forzosamente iguales entre sí, el octaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos.

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VOLUMEN, ÁREA Y DESARROLLO Dado un Octaedro regular de arista a, podemos calcular su volumen V mediante la siguiente fórmula: Y el área total de sus caras A (que es 8 veces el área de una de ellas, Ac), mediante: (Aproximadamente 0,47·a³)

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SIMETRÍA Un octaedro regular tiene tres ejes de simetría de orden cuatro, las rectas que unen vértices opuestos; seis ejes de simetría de orden dos, las rectas que unen los centros de aristas opuestas y cuatro ejes de simetría de orden tres, las rectas que unen los baricentros de las caras opuestas; nueve planos de simetría, tres que contienen cada grupo de aristas coplanares, y seis perpendiculares a cada par de aristas paralelas; y un centro de simetría. Esto hace que este cuerpo tenga un orden de simetría total de 72: 2x(3x4+6x2+4x3). Los elementos de simetría anteriores definen uno de los grupos de simetría octaédricos, el denominado Oh según la notación de Schöenflies.

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PIRÁMIDES La pirámides son poliedros que tiene:  una cara que es un polígono, y  las caras restantes triángulos que se encuentran en el vértice. Las caras de la pirámide forman la superficie piramidal. En las pirámides, las caras laterales son siempre triángulos. Por tanto, para distinguirlas y nombrarlas se utiliza el polígono de la base. Pirámide triangular Pirámide cuadrangular Pirámide pentagonal Pirámide hexagonal Base: 3 lados Base: 4 lados Base: 5 lados Base: 6 lados

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Tronco de pirámide y pirámide deficiente Si se corta una pirámide por un plano paralelo a la base se obtiene un tronco de pirámide y otra pirámide más pequeña, que se llama pirámide deficiente.

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Otros elementos importantes de una pirámide.

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CUERPOS REDONDOS Sólido que contiene superficies curvas. Clasificación de los Cuerpos Redondos Los cuerpos redondos se clasifican básicamente en: sólido de revolución cono cilindro

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SÓLIDO DE REVOLUCIÓN Cuerpo redondo limitado por una generatriz (g) curva, que rota alrededor de un eje (e). Entre ellos se pueden mencionar: sólidos limitados por superficies cuadricas: esfera: la generatriz es una circunferencia, elipsoide: la generatriz es una elipse, paraboloide: la generatriz es una parábola, hiperboloide: la generatriz es una hipérbola, toro (anillo). Su superficie la genera una circunferencia ó una elipse, que gira alrededor de un eje (e), coplanar con ella, y situado fuera de ella.   sólidos de revolución

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ALGUNOS CUERPOS REDONDOS SON:

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Cuerpo redondo limitado por una superficie cónica y por una base plana. La recta que pasa por el vértice (V), de la superficie cónica y el centro geométrico de la base se denomina eje del cono (e). Los conos pueden ser: cono recto: si el eje (e), es perpendicular a la base, cono oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a la base, cono de revolución: si está limitado por una superficie cónica de revolución. Pueden a su vez ser: cono de revolución recto: si el eje (e), es perpendicular a la base, cono de revolución oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a la base. cono   CONO

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Observa: Un triángulo rectángulo que gira sobre uno de sus catetos determina en el espacio un cuerpo geométrico: el cono. El círculo que engendra el cateto AB es la base del cono, siendo su radio el valor de AB. La altura del cono es la distancia entre la base y el vértice, coincide con el cateto BC. La hipotenusa AC, en sus distintas posiciones es la generatriz del cono.

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Desarrollo de un cono Imagina que el cono está hecho de cartón. Si le quitamos la base, y lo rompemos por la línea de puntos, obtenemos su desarrollo: La superficie lateral es un sector circular, cuyas dimensiones son: Arco: la longitud de la circunferencia de la base del cono. Radio del sector: la longitud de la generatriz del cono.

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ESFERA Observa: Un semicírculo que gira sobre su diámetro describe en el espacio un cuerpo de revolución que es la esfera (bola). La parte exterior de la esfera se llama superficie esférica. En una esfera podemos distinguir: Centro. Es el centro del semicírculo. Todos los puntos de la superficie esférica están a la misma distancia del centro. Radio. Es el segmento que une el centro con un punto de la superficie. Cuerda. Es cualquier segmento que une dos puntos de la superficie. Diámetro. Es la cuerda que pasa por el centro. Polos. Son los puntos de intersección del eje de giro con la superficie esférica.

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CASQUETES DE UNA ESFERA Si tomamos una esfera y un cuchillo (como esfera puede servir una naranja), al cortar, se obtienen algunos elementos de la esfera. Observa: casquete semiesfera Circunferencia y círculo máximos Los cortes son círculos. Cada una de los partes cortadas se llama casquete. El corte mayor pasa por el centro y divide la esfera en dos partes iguales llamadas semiesferas.

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FIGURAS GEOMÉTRICAS EN LA ESFERA (I)

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FIGURAS GEOMÉTRICAS EN LA ESFERA (II) Si un plano es secante a una esfera genera: Casquete. Es cada una de las partes de la superficie esférica determinada por el plano secante, no diametral. Casquete esférico. Es cada una de las partes determinada en la esfera. Zona. Es la parte de la superficie esférica comprendida entre los dos planos. Segmento esférico. Es la parte de la esfera comprendida entre los dos planos.

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TOROIDE En geometría el toroide es la superficie de revolución generada por una curva plana cerrada que gira alrededor de una recta exterior coplanaria (el eje de rotación situado en su mismo plano). Su forma se corresponde con la superficie de los objetos que en lenguaje cotidiano se denominan argollas, anillos o aros. La palabra toroide también se usa para referirse a un poliedro toroidal, la superficie de revolución generada por un polígono que gira alrededor de un eje. Cuando la curva cerrada es una circunferencia, la superficie se denomina toro. En lenguaje cotidiano se denomina anillo al cuerpo cuya superficie exterior es un toro, lo que ilustra la diferencia entre una superficie y el volumen encerrado por ella.

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Volumen El volumen encerrado por un toroide es: donde r es la distancia del eje de rotación al isobaricentro de la figura plana generatriz y A el área limitada por dicha figura.

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Cuerpo redondo limitado por una superficie cilíndrica y dos bases planas paralelas. La recta que pasa por los centros geométricos de las bases se denomina eje del cilindro (e), y es paralela a la generatriz (g) de la superficie cilíndrica. Los cilindros pueden ser: cilindro recto: si el eje (e), es perpendicular a las bases, cilindro oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a las bases, cilindro de revolución: si está limitado por una superficie cilíndrica de revolución. Pueden a su vez ser: cilindro de revolución recto: si el eje (e), es perpendicular a las bases, cilindro de revolución oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a las bases. cilindro CILINDRO

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Observa: Eje de giro 1º. Tomamos un rectángulo y lo hacemos girar en torno al un eje. El radio de giro es AB o CD. El lado AD se llama generatriz. 2º. Se determina un cuerpo geométrico que se llama cilindro. El cilindro tiene dos bases, que son círculos; el radio de esos círculos es el radio del cilindro. La altura del cilindro es la distancia entre las bases, coincide con la generatriz.

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DESARROLLO DE UN CILINDRO Imagina que el cilindro está hecho de cartón. Si le quitamos la “tapa” y la base, y lo rompemos por la línea de puntos, obtenemos su desarrollo: El desarrollo lateral es un rectángulo, de altura la del cilindro y de base la longitud de la circunferencia de la base del cilindro Por tanto, el desarrollo de un cilindro consta de un rectángulo y de dos círculos.

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DESARROLLO DE UN CILINDRO. EJERCICIO Se quiere poner una etiqueta a un bote de modo que cubra la superficie lateral. El radio de la base es 5 cm y su altura 20 cm. Determina la forma y las dimensiones de la etiqueta. 20 cm 2 · 3,14 · 5 = 31,4 cm 2R Dimensiones: Base: 31,4 cm Altura: 20 cm La forma de la etiqueta es rectangular.

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ECLIPSOIDE Un elipsoide es una superficie curva cerrada cuyas tres secciones ortogonales principales son elípticas, es decir, son originadas por planos que contienen dos ejes cartesianos. En matemáticas, es una cuádrica análoga a la elipse, pero en tres dimensiones.

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ECUACIÓN CARTESIANA DE UN ELIPSOIDE La ecuación de un elipsoide con centro en el origen de coordenadas y ejes coincidentes con los cartesianos, es: donde a, b y c son las longitudes de los semiejes del elipsoide respecto de los ejes x, y , z; son números reales positivos y determinan la forma del elipsoide. Si dos de estos semiejes son iguales, el elipsoide es un esferoide; si los tres son iguales, se trata de una esfera.

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SUPERFICIE La superficie de un elipsoide tiene la siguiente ecuación: donde: es la excentricidad angular, , son integrales elípticas de primer y segundo orden. Una ecuación aproximada de su superficie es: Donde p ≈ 1,6075. Con esta expresión se obtiene un error máximo de ±1,061%, en función de los valores de a, b y c

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VOLUMEN El volumen de un elipsoide está dado por la ecuación:

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BIBLIOGRAFÍA www.profesorenlinea.cl/geometria/cuerposgeometricos.htm es.wikipedia.org/wiki/Cuerpos_geométricos www.escueladigital.com.uy/geometria/5_cuerpos.htm www.educarioja.org/educarioja/.../Cuerpos%20Geometricos.ppt es.wikipedia.org/wiki/Poliedro - www.ceibal.edu.uy/.../cuerposgeom/cuerpos_redondos.html Diapositiva Matemáticas 1º ESO

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VIA3 ~ PROM.2010

Summary: Definiciòn acerca de las figuras o cuerpos geometricos con ejemplos e imagenes explicativos.

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