Los elementos de una recta como lugar geométrico

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tolentino_joto2 (3 years ago)

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Geometría Analítica I.5 Los elementos de una recta como lugar geométrico Ing. Julio Aviles R. Septiembre de 2010. Centro de Estudios Tecnológicos Industrial y de servicios No. 75

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De acuerdo con lo axiomas de Euclides, las propiedades fundamentales de la recta son: Dos rectas distintas son paralelas o se cortan en un solo punto Por dos puntos distintos pasa únicamente una recta. b y x ANGULO DE INCLINACION Y PENDIENTE DE UNA RECTA Se llama ángulo de inclinación de una recta r al menor de los ángulos que forma esa recta cuando cruza el eje x y que se mide desde ese punto a la recta r en sentido contrario a las manecillas del reloj.

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La inclinacion de una recta puede estar entre 0 y 180 grados. Si el angulo es cero grados, la recta es horizontal. Por otra parte si el angulo es 90 grados, entonces la recta es vertical. b Por otra parte, se llama pendiente de una recta a la tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación. Si se representa la pendiente de una recta con la letra m y su ángulo de inclinación con la letra b, entonces la pendiente es: m = Tang b

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La formula para obtener la pendiente de una recta esta determinada por: m = y2 – y1 x2 – x1 Ejemplo: Halle la pendiente e inclinación de la recta que pasa por los puntos A(-1,-2) y B(4,8) m = y2 – y1 x2 – x1 m = 8 – (-2) 10 m = 2 4 – (-1) 5 Tan b = m……… Tan b = 2 b = Tan-1 (2)…….. 63.43 grados

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1.- Determine la pendiente e inclinación de la recta que pasa por los puntos A(-3,0) y B(1,2) 2.- Obtén la pendiente y la inclinación de la recta que pasa por los puntos P1(-2,7) y P2(4, -1)

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RECTA DETERMINADA POR UNO DE SUS PUNTOS Y SU PENDIENTE Supongamos que una recta r, cuya ecuación queremos determinar, pasa por el punto P(x,y) y tiene una pendiente m. Si P(x,y) es un punto cualquiera de la recta y es distinto de P1, tenemos la ecuación siguiente: y – y1 = m(x – x1) Esta ecuación de la recta esta expresada en la forma punto-pendiente, ya que se emplea cuando se conocen un punto de la recta y la pendiente de esta.

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y Solución: Tenemos que y – y1 = m(x – x1), donde x1 = 4, y1 = -5 y m = 3 y – (-5) = 3(x – 4) y + 5 = 3x - 12 Esta es la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4, -5) y cuya pendiente es 3, expresada en la forma punto-pendiente.

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Ejercicios: Halla la ecuación de las rectas siguientes en la forma punto-pendiente: 1.- Pasa por los puntos P(3,7) y tiene pendiente 4. 2.- Pasa por el punto P(-2,5) y tiene pendiente – 3 3.- Pasa por el punto P(-1, -6) y tiene pendiente ¼ 4.- Pasa por el punto P(4,-9) y tiene pendiente – 1/5

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ECUACION DE LA RECTA EN LA FORMA PENDIENTE – ORDENADA EN EL ORIGEN. P(0, b) Si una recta de pendiente m corta el eje y en el punto P(0,b), como se muestra en la figura, de acuerdo con la ecuación de la forma punto-pendiente tenemos: y- y1 = m(x – x1) Donde y1 = b y x1 = 0, por consiguiente: y – b = m(x – 0) y – b = mx y = mx + b Ecuación de la recta en la forma punto-ordenada en el origen

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Ejemplo: Determina la ecuación de la recta cuya pendiente es 4 y la ordenada en el origen es – 7. Escribe la ecuación en la forma pendiente-ordenada en el origen. y = mx + b ------ y = 4(x – 7) ----- y = 4x – 7 Ejemplo: Halla la ecuación de la recta cuya ordenada es el origen es -5 y que es paralela a la recta y = - 2x + 9. Expresa la ecuación en la forma pendiente-ordenada en el origen. Solucion: Como las rectas son paralelas, entonces tienen pendiente de igual valor. Por ende, la pendiente de la recta cuya ecuación queremos determinar es -2. Así y = mx + b --- y = -2x - 5

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Ejemplo: Halla la ecuación de la recta cuya ordenada en el origen es – 2 y que es perpendicular a la recta y = 5x + 2. Expresa la ecuación en la forma pendiente-ordenada en el origen. Como las rectas son perpendiculares, entonces los valores de sus pendientes son recíprocos entre si y de signo contrario. El reciproco de 5 es 1/5, luego, el valor de la pendiente de la recta cuya ecuación queremos determinar es – 1/5. y = mx + b ---- y = -1/5(x + (-2)) ----- y = - 1/5x – 2

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Ejemplo: Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(-1,-4) y P(3,2). Expresa la ecuación en la forma pendiente-ordenada en el origen. Solución: Se deberá determinar la pendiente: m = y2 – y1 m = 2 – (-4) m = 2 + 4 m = 3/2 x2 – x1 3 – (-1) 3 + 2 Con uno de los puntos y la pendiente 3/2 se puede determinar la ecuacion de la recta. Tomemos el punto P(3,2) y – y1 = m(x – x1) ----- y – 2 = 3/2(x - 3) ---- y – 2 = 3/2x – 9/2 ----- y = 3/2x - 9/2 + 4/2 ----

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FORMAS DE LA ECUACION DE UNA RECTA DETERMINACION DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA EN EL ORIGEN A PARTIR DE LA ECUACION GENERAL La ecuación de la forma Ax + By + C = 0 se llama ecuación general de la recta, donde A, B y C son números reales y además, A y B no pueden tomar el valor de cero. Con esta ecuación es posible determinar todas las rectas posibles.

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EJEMPLO: Escribe en la forma general la ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos P(-2,-5) Q(3,5) Solución: Primero determinaremos la pendiente, para lo cual usaremos la ecuación siguiente: m = y2 – y1 x2 – x1 m = 2 Con el valor de la pendiente y tomando cualesquiera de los dos puntos, determinamos la ecuación de la recta. Si consideramos Q(3,5): y – y1 = m(x – x1) y = 2x – 6 + 5 ---- y = 2x -1 , luego 2x – y – 1 = 0

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Se resolvieron tres ejemplos en la clase

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DETERMINACION DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA EN EL ORIGEN A PARTIR DE LA ECUACION GENERAL. A partir de la ecuación general Ax + By + C = 0, si despejamos la variable y, tenemos: By = - Ax – C ------ y = - Ax – C ------ y = - Ax - C B B B La ecuación anterior es de la forma y = mx + b, por lo que podemos decir entonces que: m = - A b = - C B B Donde b es la ordenada en el origen, o sea b es la ordenada del punto P(0,b)

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Determina la pendiente y ordenada en el origen (intersección con el eje y) de la recta 2x – 5y + 8 = 0 Solución: A partir de la ecuación general Ax + By + C = 0, tenemos que A = 2, B = -5 y C = 8, por tanto: m = - A m = - 2 m = 2 ----------------- La pendiente de la recta B - 5 5 2x – 5y + 8 = 0, es m = 2/5 Ahora determinemos la ordenada en el origen b. b = - C --------------- - 8 b = 8/5 B -5 Otra forma de encontrar la pendiente y ordenada al origen es despejando la variable y de la ecuación 2x – 5y + 8 = 0

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EJEMPLO: Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4,5) y que es perpendicular a la recta 7x + 6y + 8 = 0. La pendiente de la recta 7x + 6y * 8 = 0 es m = - A m = - 7 La pendiente de la recta debe ser reciproca y de B 6 signo contrario, por lo tanto, m = 6/7 Así, con m = 6/7 y el punto P(4,5) podremos hallar la ecuacion de la recta indicada: y – y1 = m(x – x1) ------- y – 5 = 6/7 (x – 4) 7(y – 5) = 6(x – 4) ----- 7y – 35 = 6x – 24 6x – 7y + 11 = 0

Summary: Ecuación de la recta punto pendiente, pendiente ordenada en el origen, ecuación de la forma y = mx + b y ecuación de la recta a partir de la ecuación Ax + By + C = 0

Tags: geometria

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