Mecânica Quântica e o átomo de hidrogênio marisac@pucsp.br

Equação de Schröendinger independente do tempo Para uma onda que se propaga no espaço temos a seguinte equação obedecida: Supondo que a função de onda seja dada por: ? marisac@pucsp.br

Sabemos que w = 2pn e que E = h n , portanto podemos dizer que: ü      Agora vamos considerar a velocidade da partícula: v=ln ? ONDA marisac@pucsp.br

Operador Hamiltoniano H(p,x) marisac@pucsp.br

GENERALIZANDO Esta equação permite que possamos encontrar para uma partícula submetida a um dado potencial (Ep) independente do tempo os seus possíveis valores de energia (ou autovalores) – teremos estados estacionários – ondas estacionárias Partículas confinadas sendo refletidas elasticamente entre duas paredes. 2. Para partículas livres em um campo conservativo Ep é independente do tempo o operador Hamiltoniano é constante (ET = constante). Mas para sistemas em que amplitude da onda decai com o tempo, por exemplo. marisac@pucsp.br

Para uma onda - informação sobre energia, mas para uma partícula a energia esta concentrada onde ela estiver. Portanto fornece a probabilidade de encontrar a partícula em algum lugar – representa a densidade de probabilidade. Em primeiro lugar temos que normalizar a função de onda ou seja Informações que normalmente buscamos: O módulo ao quadrado de uma função de onda marisac@pucsp.br

Átomo do hidrogênio : números Quânticos O elétron está submetido a um potencial Coloumbiano Y(r, q, f) = R (r)Q(q)F(f). R ( r )................... componente radial Q(q)........................... componente Polar F(f)...................... componente azimutal Trabalharemos com coordenadas polares x = r sen q cos f y = r sen q sen f z = r cos q

Soluções parciais A equação azimutal: a solução desta equação nos dará informações sobre a rotação do nosso sistema ao redor do eixo z. Como se comporta a função de onda a medida que este sistema gira ao redor deste eixo. Solução onde ml corresponde ao número quântico magnético Esta é uma solução típica de um sistema harmônico simples que tem soluções periódicas, assim ml deve ser inteiro, incluindo o zero e rotações em dois sentidos Estes são estados degenerados, ou seja, tem a mesma energia e sua degenerescência é retirada somente na aplicação de um campo externo chamado; Efeito Zeemann. marisac@pucsp.br

A equação Polar: Esta equação também descreve o comportamento da função de onda ao redor da origem. O estudo dos harmônicos esféricos apresentam uma classe de soluções classificadas como polinômios de Legendre, representados por: Soluções parciais O angulo polar só pode assumir valores de 0 a p , portanto ml e l podem devem ser inteiros. Uma condição ainda imposta é que e sempre positivo EX: Para l=0, ml=0 e    Para l=1, ml = -1, 0, +1 ml=-l...,0,..+l l é chamado de número quântico orbital.   (Este número quântico traz como informação a forma do orbital onde podemos encontrar o elétron). marisac@pucsp.br

A equação radial: Esta equação especifica o comportamento da função de onda e sua dependência com relação à distância r do núcleo. A solução pode ser obtida através dos polinômios de Laguerre L n,,l (r). As funções radiais são dadas por: Soluções parciais Onde n é o número quântico total e deve ser maior que zero. n..... ..Numero quântico total ou principal....... 1,2,3,..... l.........Numero quântico orbital....................... varia de 0 a (n -1) ml .... Numero quântico magnético ..............varia de -l, 0 a +l Temos então que: marisac@pucsp.br

Soluções parciais n..... ..Numero quântico total ou principal....... 1,2,3,..... l.........Numero quântico orbital....................... varia de 0 a (n -1) ml .... Numero quântico magnético ..............varia de -l, 0 a Auto funções Na tabela ao lado as autofunções estão degeneradas, pois a energia depende apenas de n. Para retirar a degenerescência em l utiliza-se o principio da relatividade e obtemos para a Energia de cada nível que: a é a constante de estrutura fina e é igual à 1/137. marisac@pucsp.br

Valores de ml Para l=0 Para l=1 Para l=2 Agora só falta as setinhas Você reconhece isso? Já viu algo semelhante? marisac@pucsp.br

Soluções parciais Com esta correção relativística retira-se a degenerescência em l. Assim passamos a ter o que chamamos termo de energia para cada valor de l. Para cada termo de energia temos uma forma para o orbital: Para o calculo da probabilidade radial temos que resolver R*R , ou seja o modulo da função de onda ao quadrado Pr = R*R dV = 4pr2 R2dr A representação ao lado é o resultado da probabilidade radial em função da distancia em unidades do raio de Bohr = 0.53 A0. A escala vertical é arbitrária. marisac@pucsp.br

Probabilidade máxima raio de Bohr termo de energia 1s Probabilidade pequena de se encontrar elétron em um raio menor que o raio de Bohr. Probabilidade máxima para o orbital 2s de se encontrar o elétron Probabilidade pequena de se encontrar elétron em um raio menor que o raio de Bohr. Probabilidade pequena de se encontrar o elétron para um raio igual a 5 vezes o raio de Bohr. Probabilidade máxima de se encontrar o elétron no orbital 3s com raio próximo a 15 vezes o raio de Bohr. Representação espacial marisac@pucsp.br

Para as geometrias esféricas a distribuição angular da função de onda assume o mesmo valor para qualquer intervalo de angulo. No entanto para as demais distribuições teremos que fazer um estudo mais cauteloso sobre a distribuição angular da função de onda.

Diagrama Polar Tabela obtida para l=3 e ml =

l=1 ml=0 l=0,ml=0; l=1 ml=+1 e-1 e l=2 ml= +2 e -2 marisac@pucsp.br

Bohr Bohr Bohr marisac@pucsp.br

Modelo Espacial tridimensional para l diferente de zero marisac@pucsp.br

Esquema Feyman MQ V III marisac@pucsp.br

Bohr-Sommerfeld marisac@pucsp.br

3d m=0 marisac@pucsp.br

Quantos estados degenerados você encontra para n=3? n=3 l=0.. termo s.... ml=0 ...................... (1 estado) l=1.. termo p.. ml=0,+1,-1 ...............(3 estados)* l=2.. termo d... ml=0,+1,-1,+2,-2 ......(5estados)* marisac@pucsp.br

Retirando a degenerescência em ml Explorando a parte magnética do átomo de Hidrogênio. dipolo magnético w= 2p/T dois vetores opostos marisac@pucsp.br

mB = 9,27 x10-24 A/m2 magneton de Bohr unidade natural de momento de dipolo magnético. marisac@pucsp.br

Aplicando B externo O que ocorre com um pião que colocamos a girar? A energia potencial de um dipolo magnético orientado a qualquer angulo q com relação ao campo externo aplicado é dada por: a orientação espacial é fixada pelo valor de ml. q marisac@pucsp.br

Ex: Para l=1 e n=2 Projeções para L: ml=0,+1,-1 Lz=0 cos q= Lz/L LZ=mlL marisac@pucsp.br

"nível de energia" é, agora desdobrado e a sua energia será dada por: Energia devido ao número quantico principal energia devido a ação do campo B (em eV) (em eV) marisac@pucsp.br

Supondo os possíveis níveis de energia para n=4    marisac@pucsp.br

Transições Possíveis Regras de seleção:   Somente serão possíveis as transições onde: e marisac@pucsp.br

Transições para o hidrogênio Sem campo B Efeito Zeeman Normal. marisac@pucsp.br

Espaçamento das linhas Para a linha vermelha quando a ampola de hidrogênio é submetida ao campo magnético de 0,5 T qual o espaçamento que deve ser obtido. Applet que fornece os espectros discretos Comp. de onda 656nm marisac@pucsp.br

O Spin do elétron marisac@pucsp.br

marisac@pucsp.br simulação

Elementos com l=0 Para os orbitais s e ml=0 (como orientar uma esfera no espaço?). Esperava-se obter, portanto uma mancha se definição específica na tela Esquema da ampola de Stern - Gerlach simulação marisac@pucsp.br Texto explicativo sobre a simulação

Resultados Obtidos Para o Lítio Para o hidrogenio marisac@pucsp.br

Deve existir outra contribuição magnética que até agora foi desprezada Momento angular de spin ASSIM O ÚNICO VALOR POSSIVEL PARA LS SERÁ DADO POR S=1/2 marisac@pucsp.br

Para a orientação espacial poderemos ter com relação ao eixo z as orientações que correspondem aos vetores: Lz= ms quando ms = +1/2 temos spin-up, para ms = -1/2 temos spin-down marisac@pucsp.br

Para átomos com elétrons no termo s de energia Aplicando B externo Energia magnética

gsmBohr B DES= gs* mBohr B onde gs é razão giromagnética de spin) -ms gs* mBohr B (ms=1/2) +ms gs* mBohr B (ms=1/2)

Experimento ESR

Amostra A amostra utilizada Difenil-Picril-Hidrazil (DPPH), ela apresenta um momento angular orbital igual a zero l=0 (termo s de energia) e um único elétron desemparelhado. Isso facilita a obtenção da ressonância, já que apresenta uma única frequência e se comporta como se fosse um elétron livre

Bobina de Helmholtz (Bext) Separa os dois estados (+1/2 , -1/2) gsmBohr Bext

Para levar o átomo de um estado de mais baixa energia, para o estado de maior energia hF=gsmBohr Bext Região de radiofrequencia (Mhz)

Gerador de radiofrequência

hF=gsmBohr Bext Fixar B e variar F para obter a ressonância. Muito difícil! Uma saída aplicar B continuo e jogar uma componente AC que flutua o valor de B em torno da media

Sinal na espira menor é alterado quando ocorre ressonância, mudança na indutância. Linha de zero AC Sinal bobina de Helmholtz Sinal na bobina de radiofrequência

Efetuar ajustes: Linha de zero do sinal da bobina de Helmholtz Fixar frequência na região de alcance da cada bobina Variar a corrente DC nas bobinas até observar a ressonância Altere a fase do sinal para que eles fiquem equidistantes em tempo e se inicie em torno do ponto em que a componente AC se anula

Momento Angular Total

Momento Angular Total j = l+s e l-s Numero quântico total marisac@pucsp.br

Determinar os valores do momento angular total para um elétron 3d marisac@pucsp.br

3d corresponde a l=2 e n=2 ü      j= l+s = 2 +1/2 = 5/2 ü      ou j= l-s = 2-1/2 = 3/2 O vetor J pode ser dado por Para j=5/2 = Para j=3/2 = marisac@pucsp.br

3d... L=2 vetor momento angular orbital para Ls temos: como s=1/2 temos marisac@pucsp.br

Acoplamento LS Sem campo B Com campo B marisac@pucsp.br

Nomenclatura espectral: l = 0 1 2 3 4 5 S P D F G H ü      n.... número quântico principal ü      2s+1 representa a multiplicidade em spin ü      D..... o termo de energia neste caso l=2 ü      j... número quântico total marisac@pucsp.br

Exemplo: Um eletron 3d  ü      n=3 ü      2s+1=2 ü      l=2 termo D ü      j=2+1/2=5/2 ü      j=2-1/2= 3/2   ou marisac@pucsp.br

Dubleto do Sódio  Z=11 , 1 elétron no termo 3s. marisac@pucsp.br

Regra de seleção para as transições Dj= 0, Dl= As transições observadas no esquema do sódio dão origem ao que chamamos de estrutura fina, ou ainda dubleto do sódio, cuja explicação está associada a existência de estados duplos para os termos p, d, f devido ao spin do elétron. marisac@pucsp.br

Para o átomo de hidrogênio a energia total de cada subnível de energia é dada pela teoria de Dirac por: marisac@pucsp.br

Introdução a tabela periódica     Para átomos com mais elétrons, temos que considerar a blindagem eletrostática que cada elétron começa a oferecer aos demais elétrons com relação a atração colombiana do núcleo. Esta influencia alterara a distribuição energética de alguns átomos que acabam por divergirem da distribuição de Linus Pauli.   marisac@pucsp.br

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Se seguirmos a regra de Linus Pauli teremos:     1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f 5s 5p 5d 5f     em ordem crescente teríamos: 1s22s22p63s23p64s23d10 Valido para Z pequeno marisac@pucsp.br 1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f 5s 5p 5d 5f

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