Determinar el área de la región acotada por

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EL PROBLEMA DEL ÁREA. INTEGRAL DEFINIDA En geometría elemental se deducen fórmulas para las área de muchas figuras planas, pero un poco de reflexión hace ver que raramente se da una definición aceptable de área, el área de una región se define a veces como el número de cuadrados de lado unidad que caben en una región, pero por ejemplo el círculo de radio unidad tiene por área el número irracional pero no está claro cual es el significado de cuadrados. En general se tiene la percepción intuitiva de que una región contenida dentro de una curva cerrada posee un "área" la cual mide el número de unidades cuadradas dentro de la curva. Las propiedades básicas del área que la intuición sugiere son: El área es un número (positivo, dependiente de la elección de la unidad de longitud. Este número es el mismo para figuras congruentes. Para todos los rectángulos es el producto de las longitudes de los lados adyacentes. Para una región descompuesta en secciones el área total es igual a la suma de las áreas de las secciones.. Una consecuencia inmediata es el hecho de que: para una región A que es parte de una región B el área de A no puede ser mayor que el área de B.

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Estas propiedades permiten el cálculo directo del área de cualquier figura que pueda ser descompuesta en un número finito de rectángulos. Más generalmente para asignar un valor S al área de una región R (zona azul y roja) consideramos otras dos regiones R’ (inscrita zona azul)) y R’’ (circunscrita, zona azul más roja más amarilla) de áreas S’ y S’’ respectivamente y que se pueden descomponer en rectángulos donde R’’ contiene a R y R’ está contenido en R . Se sabe al menos que S’<S<S’’. El valor de S quedará completamente determinado si se encuentran sucesiones de regiones circunscritas y regiones inscritas que puedan ambas descomponerse en rectángulos y tales que las áreas y tengan el mismo límite cuando n tiende a infinito. Esto es remontándonos a la antigüedad, el método de exhaución y el cual es usado en geometría elemental para el área de un circulo. La formulación precisa de esta idea, nos conduce ahora a la noción de integral.

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La noción analítica de integral surge cuando se asocian áreas con funciones: considérese el área de una región acotada por el eje horizontal, las rectas x =a , x = b y la gráfica de la función f tal que para todo x de [a,b]. Estas regiones las denotamos por R(f, a, b) e incluyen rectángulos (figura 2) El número que asignamos como área de R(f, a, b) lo llamamos eventualmente integral de f

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sobre [a,b]. En realidad la integral se define también para funciones que no satisfacen la condición para todo x de [a,b]. Si f es la función dibujada en la figura 3, la integral representará la diferencia entre las áreas de las regiones sombreadas en azul claro y de sombreado en amarillo (área "algebraica" de R(f, a, b)) La idea que ampara la definición que vamos a dar se indica en la figura 4. El intervalo [a,b] se ha dividido en cuatro subintervalos [t0 , t1] [t1 , t2] [t2 , t3] [t3 , t4] por medio de los números t0 , t1 , t2 , t3 , t4 con a = t0 < t1 < t2 < t3 < t4 = b (la numeración empieza por 0 de modo que subíndice más grande indica el número de subintervalos). Sobre el primer intervalo [t0 , t1] la función f tiene el valor mínimo m1 y el valor máximo M1; análogamente, sea mi el valor mínimo y Mi el valor máximo de f sobre el intervalo i-ésimo [ti-1 , ti]. La suma representa el área total de los rectángulo que quedan dentro de la región R(f, a, b) (los coloreados de azul), mientras que la suma:

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representa el área total de los rectángulo que contienen a la región R(f, a, b) (rectángulos de color azul más rojo). El principio que nos va a guiar en nuestro intento de definir el área de A R(f, a, b) será la observación de que A debe satisfacer y que esto debe ser verdad, cualquiera que sea la división que se haga del intervalo [a, b]. es de esperar que determinen A

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DEFINICIÓN DE PARTICIÓN: Sea a<b. recibe el nombre de partición del intervalo [a, b] todo conjunto finito de puntos {t0 , t1 , t2 , ........tn-1 , tn} de [a, b] de forma que uno de ellos coincide con a y otro con b, a = t0 < t1 < ......... < tn-1 < tn = b DEFINICIÓN DE SUMA INFERIOR Y SUPERIOR: Sea f una función acotada en el intervalo [a , b] y P = {t0 , t1 , t2 , ....... tn} una partición del intervalo [a , b]. Sea Se define la suma inferior de f para P como: Se define la suma superior de f para P como:

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Las sumas inferiores y superiores se corresponden con las sumas s y S, respectivamente, del ejemplo anterior; se supone que representan las totales de los rectángulo que quedan por debajo y por encima de la gráfica de f., no obstante estas sumas han sido definidas sin recurrir al concepto de área. Hay que tener en cuenta dos cosas: La condición de que f esté acotada en el intervalo [a , b] es fundamental para que los mi y Mi queden definidos. Los mi y Mi han sido definidos como ínfimos y supremos, y no como mínimos y máximos, ya que no se le ha exigido a f que sea continua. Evidentemente si P una partición cualquiera pues por la forman en que están definidas cada una de ellas se tiene que Lo que ya no es tan evidente es que si P1 y P2 son dos particiones cualesquiera de [a,b] se cumpla: ya que debería de cumplirse

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A continuación trataremos de demostrar que basándonos en el comportamiento de las sumas inferiores y superiores al añadir más puntos a una partición. En la figura 5 la partición P contiene los puntos de color rojo y la partición Q contiene los puntos de color rojo y los puntos de color verde. Según esta figura los rectángulos de la partición Q (color azul más amarillo) constituyen una aproximación mejor a la región R(f, a, b) que los correspondientes a la partición P (rectángulos de color azul).

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Determinar el área de la región acotada por las parábolas e .Contrastar el resultado mediante integrales y por el método del Trapecio

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Por integración

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Por el método del Trapecio

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Calcular el volumen del cuerpo generado rotando la región entre e alrededor del eje y .

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Por el método de la arandela

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Por el método del cascaron

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