Lógica Equivalencia Lógica -¿Qué es? -¿Cómo comprobarla? Leyes Lógicas -¿Cuáles son? -¿Cómo usarlas? Circuitos Lógicos -¿Qué son? -¿Cómo se aplican?

Introducción La Sra. Ana le escribe a su casero, el Sr. Pepe: “A menos que arregle la tubería, no pagaré la renta”. ¿Cómo expresar esta proposición mediante proposiciones más simples? Consideremos que las proposiciones simples son: p: “La Sra. Ana paga la renta”. q: “El Sr. Pepe arregla la tubería”. Respuesta 1: Usando “” q   p Respuesta 2: Usando “”  q   p Y lógicamente ¿ son la misma proposición?

Equivalencia Lógica Dos proposiciones u y v son lógicamente equivalentes cuando u es VERDADERA si y sólo si v es VERDADERA u es FALSA si y sólo si v es FALSA Y lo denotamos por u  v. Ejemplo: Comprobemos que p  q es lógicamente equivalente a q  p. Conclusión: Sí son lógicamente equivalentes ! ! !  p  q   q   p.

¿Puedes identificar otra proposición cuya tabla de verdad coincida con ésta? Equivalencia Lógica p  q  q  p  p  q Llamaremos “Equivalencia 1 ó de la implicación” a: p  q  p  q p  q

Vocabulario Determinadas proposiciones están relacionadas con una implicación; usamos términos tales como la recíproca, la inversa y la contra recíproca o contrapositiva. Para p  q, q  p es la recíproca p  q es la inversa q  p es la contrapositiva o contrarecíproca Además, p  q es equivalente a q  p Ejemplo en lenguaje común: “Si hubo un robo, algo desapareció” es equivalente a “Si nada ha desaparecido entonces no hubo robo”

Ejercicio Sean p, y q proposiciones. Asocia las proposiciones u y v que sean lógicamente equivalentes !propuesto! u v  ( p  q )  p   q  ( p  q )  p   q p  ( p  q ) q p  p

Leyes Lógicas En muchos casos, necesitamos usar una proposición equivalente a la que tenemos entre manos... Y no siempre es fácil realizar tablas de verdad si se tienen muchas proposiciones. Por eso, necesitamos conocer algunas equivalencias notables entre proposiciones, que llamaremos Leyes Lógicas

Leyes Lógicas Recuerda cómo demostrar una ley

Uso de las Leyes Ejemplo: Demuestra que (p  q  r)  (p  q  r)  p  r - Ley usada - (p  q  r )  (p  q  r) (p  r  q )  (p  r  q) Conmutativa [(p  r)  q ]  [(p  r)  q] Asociativa (p  r)  (q  q) Distributiva (p  r)  V tercio excluido p  r ley de identidad Las leyes son muy útiles para demostrar que dos proposiciones son equivalentes.

Ejercicios 1.- Utiliza las leyes para demostrar que p  (q  r)  (p   q)  r 2.- Descubre el error en la “demostración” siguiente: p  (q   r)   p  (q   r)   p  ( r  q)  ( p   r)  q   (p  r)  q  (p  r)   q Para ver las respuestas, clickea

Circuitos Lógicos Una red de conmutación o circuito está formada por cables e interruptores que conectan a dos terminales. T1 _______ ... _______T2 Si un interruptor está abierto, no fluye la corriente por él y se le asocia el valor 0 y si está cerrado, permite el paso de la corriente y se le asocia el valor 1. Hay dos tipos simples de circuitos: en serie y en paralelo. Cuando está en paralelo, la corriente fluye si alguno o ambos están cerrados y se representa por p  q. Red en paralelo p  q

En un circuito en serie, la corriente fluye de T1 a T2 si ambos interruptores están cerrados y no fluye, si alguno o ambos están abiertos. Se le asocia, entonces, la proposición p  q Red en serie p  q Circuitos Lógicos Podemos ahora, utilizar la simplificación de proposiciones para simplificar circuitos y conseguir otros que sean equivalentes y realicen la misma función más eficientemente.

Ejercicio 3.- Simplifica el circuito

Tarea 1. a) Expresa simbólicamente la proposición: “Si Juan se va de vacaciones, el se va a divertir si no le da miedo volar.” b) Niega la proposición anterior (Ayuda: la negación de una implicación no es una implicación) 2. Realiza los ejercicios 20c, 21b, 21c y 22b del libro.

Respuestas 1.- Uso de las leyes: p  (q  r)   p  (q  r) Equivalencia 1  ( p  q)  r Asociativa  (p   q)  r De Morgan  (p   q)  r Equiv. 1 2.- El error en la demostración esta en el ultimo paso. De hecho, p  (q   r)  (p  r)  q

Respuestas 3.- El circuito lógico: -Razones- [(p  q)  (q  r)]  [p  ( q  (r  q))]  [(p  q)  (r  q)]  [(p   q)  (p  r  q)] Conmut. y Distrib.  (p  q)  (p   q)  (r  q)  (p  r  q) Conmut. y Asociat.  [p  (q   q)]  [(r  q)  (p  r  q)] Distrib y Asociat.  p  [(r  q)  (p  r  q)] Inverso y Neutro  p  (r  q) Absorción El circuito simplificado es