Geometria analitica

Un sistema di coordinate cartesiano ortogonale in due dimensioni viene chiamato piano cartesiano ed è costituito semplicemente da: l'asse delle ascisse, cioè la retta orizzontale (indicata dalla lettera x); l'asse delle ordinate, cioè la retta verticale, (indicata dalla lettera y); l'origine, cioè il punto nel quale le due rette si incontrano. X Y O

La geometria analitica, chiamata anche geometria cartesiana, è lo studio della geometria attraverso il sistema di coordinate oggi dette cartesiane Il sistema costituito dalla coppia dei due assi (e implicitamente dall'origine) consente di individuare ogni punto del piano con una coppia di numeri reali chiamati rispettivamente ascissa e ordinata del punto; le coordinate di un punto generico del piano si denotano con x e y.

Il piano cartesiano viene suddiviso in quattro regioni denominate quadranti, indicate mediante numeri romani progressivi in senso antiorario: I quadrante: comprende i punti aventi ascissa ed ordinata positive; II quadrante: comprende i punti aventi ascissa negativa ed ordinata positiva; III quadrante: simmetrico al primo rispetto all'origine; IV quadrante: simmetrico al secondo rispetto all'origine.

La distanza tra due punti è molto semplice da calcolare, si misura lungo la retta passante per i due punti; nel piano cartesiano con coordinate dei due punti P(x2, y2) e Q (x1, y1) basta applicare il teorema di Pitagora Distanza tra due punti nel piano

In geometria, il punto medio è il punto equidistante da due altri punti presi a riferimento e allineato con essi; solitamente lo si associa a un segmento, i cui punti di riferimento sono gli estremi, che divide in due parti congruenti M Punto medio di un segmento

La retta è uno dei tre enti geometrici fondamentali della geometria euclidea. Viene definita da Euclide come un concetto primitivo. Un filo di cotone o di spago ben teso tra due punti è un modello materiale che ci può aiutare a capire cosa sia la retta, un ente geometrico immateriale senza spessore e con una sola dimensione. La retta è inoltre illimitata in entrambe le direzioni, cioè è infinita. Viene contrassegnata con una lettera minuscola dell'alfabeto. La retta r s t

Rette nel piano Due o più rette distinte nello stesso piano sono parallele se e solo se non hanno alcun punto in comune, cioè se non si incontrano mai. Due o più segmenti sono paralleli se lo sono le rette che li contengono. L’ espressione r//s si legge “r è parallela a s. Due rette si dicono incidenti se si intersecano in uno e un solo punto. Nel piano due rette incidenti si dicono perpendicolari, o ortogonali, se si incontrano formando angoli uguali (che si dicono retti) Due segmenti si dicono perpendicolari se tali sono le rette cui essi appartengono. Due rette nel piano possono essere: incidenti parallele coincidenti Due rette si dicono coincidenti quando hanno almeno due punti in comune (e quindi tutti)

Nel piano cartesiano, come già ricordato, ogni punto ha due coordinate (x, y), ed una retta può essere scritta come l'insieme dei punti le cui coordinate (x, y) soddisfano una equazione del tipo (forma implicita della retta): ax + by + c = 0 dove i coefficienti a, b e c sono dei numeri reali fissati, con a e b non contemporaneamente nulli. In pratica un punto appartiene alla retta data se e solo se i valori delle coordinate sostituiti alla x (ascissa) e alla y (ordinata) rendono l’equazione uguale a zero. Forma cartesiana della retta

Retta passante per due punti La retta passante per due punti distinti P = (x1,y1) e Q = (x2,y2) del piano è descritta in forma cartesiana implicita dalla seguente equazione: che può essere riscritta nel modo seguente: Oppure dall’equazione seguente:

x y 0 ax + by + c = 0 Equazione lineare o implicita della retta generica

x y 0 Y = mx + q Equazione esplicita della retta generica m si chiama coefficiente angolare e rappresenta la pendenza della retta q si chiama ordinata all'origine e rappresenta il punto di passaggio della retta per l'asse delle ordinate q

x y 0 ax + by = 0 Equazione lineare o implicita della retta generica passante per l’origine

x y 0 Y = mx Equazione esplicita della retta generica passante per l’origine

Condizione di parallelismo fra rette Due rette parallele formano, con l'asse delle ascisse, due angoli uguali. Ne consegue che hanno il medesimo coefficiente angolare. I loro coefficienti angolari devono essere uguali m1 = m2 Nel grafico sono rappresentate le rette parallele r : y = m1 x + q1 e s : y = m2 x + q2   Due rette sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare.

Condizione di perpendicolarità fra rette   Nel grafico sono rappresentate le rette perpendicolari r : y = m1 x e s : y = m2 x I loro coefficienti angolari devono essere uguali m1 = - 1/m2 Due rette sono perpendicolari se e solo se i loro coefficienti angolari sono uno il reciproco e opposto dell'altro.

x y 0 Y = k k Equazione del fascio di rette parallele all’asse delle ascisse o delle X Quando il valore di k è nullo la retta coincide con l’asse delle ascisse

x y 0 x = k k Equazione del fascio di rette parallele all’asse delle ordinate o delle Y Quando il valore di k è nullo la retta coincide con l’asse delle ordinate

Le coniche

Parabola Ellisse e circonferenza Iperbole Queste curve si chiamano coniche perché sono ottenute tramite l’intersezione di una superficie conica con un piano. Si possono definire tutte come luoghi geometrici e, di conseguenza, ricavarne l'equazione algebrica che le rappresenta nel piano cartesiano

Una parabola è come già ricordato una sezione conica, ovvero una figura che si ottiene come intersezione fra un cono circolare ed un piano. Può essere definita come il luogo dei punti equidistanti da una retta L (detta direttrice) e da un punto F (detto fuoco) non appartenente alla retta. La parabola è un concetto importante in matematica e rappresenta la legge di dipendenza quadratica. Parabola Y = kx2

Ellisse L’ellisse può essere definita come il luogo geometrico dei punti, in un piano, la cui somma delle distanze da due punti fissi dati (detti fuochi) è costante, cioè sempre uguale. Nel 1600, Keplero  scoprì che le orbite dei pianeti erano delle ellissi con il sole in uno dei fuochi. In effetti fu Keplero che per primo utilizzò la parola Fuochi pubblicando le sue scoperte nel 1609.

Iperbole Si chiama iperbole il luogo dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti  fissi  F1 ed F2 (detti fuochi). XY = K o Y = K/X Il ramo di questa funzione nel primo quadrante rappresenta il grafico della proporzionalità inversa

Circonferenza Una circonferenza è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, detto centro. La distanza di questi punti dal centro si definisce raggio. In un sistema di assi cartesiani la circonferenza di centro C=(a, b) e raggio r è il luogo dei punti caratterizzati dall'equazione: (x − a)2 + (y − b)2 = r2,

LUOGO GEOMETRICO Definizione Si dice luogo geometrico dei punti del piano l'insieme di tutti e soli i punti di un piano che godono di una determinata proprietà geometrica P. Una figura geometrica F è dunque un luogo geometrico se tutti i suoi punti , e solo essi, soddisfano quella proprietà P.