Ángulos Desde el punto de vista de la geometría, un ángulo se define como la unión de dos rayos o semirrectas, con un origen común. Las semirrectas se deno­minan lados y el origen común se denomina vértice del ángulo. En el contexto de la trigonometría, un ángulo se define como la rotación de una semirrecta sobre su origen. En posición inicial, esta semirrecta recibe el nombre de lado inicial y, en posición final, recibe el nombre de lado final. Vértice Vértice Vértice Vértice Lado inicial Lado final Lado final Lado inicial Ángulos en posición normal o canónica Un ángulo a se considera en posición normal o canónica, cuan­do, en un sistema de coordenadas, a tiene su vértice sobre el ori­gen y su lado inicial coincide con el semieje positivo x.

Si un ángulo se encuentra en posición normal (figura 1), la ubicación de su lado final, permite determinar el cuadrante al cual pertenece. En los siguien­tes planos cartesianos, se representan ángulos en posición normal ubicados en cada uno de los cuadrantes. 1º Cuadrante 2º Cuadrante 3º Cuadrante 4º Cuadrante A qué cuadrante pertenece cada ángulo?

Ángulos positivos Cuando un ángulo a ha sido generado por una rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj, se dice que a es un ángulo positivo. Si la rotación se realiza en el mismo sentido de las manecillas del reloj, a es un ángulo negativo. Ángulos negativos

El tamaño de la rotación de un ángulo no tiene restricciones; así, dos ángulos distintos en posición normal, pueden tener el mismo lado final. Los ángu­los que tienen el mismo lado final se denominan ángulos coterminales Ángulos coterminales Son coterminales los siguientes ángulos?

MEDICIÓN DE ÁNGULOS Las unidades de medición de ángulos usadas con mayor frecuencia son el grado y el radián. El grado es la unidad de medida del sistema sexagesimal y el radián es la uni­dad de medida del sistema cíclico. El ángulo generado por una rotación completa de uno de sus lados, se deno­mina ángulo giro. La medida de un ángulo giro es 360 grados y se denota 360° Medida de ángulos en el sistema sexagesimal El grado sexagesimal (1°) se define como parte de la rotación total. 1 360 El grado tiene dos submúltiplos: el minuto (1’) y el segundo (1′′) 1′= 1 60 º 1 ′′ = 1 60 ′ 1′′= 1 60 1 60 º = 1 3600 º

Ejemplo

Sea a un ángulo central de la circunferencia con centro O. De acuerdo con la siguiente figura, a determina en la circunferencia un arco . La medida del ángulo a es 1 radián si y sólo si tiene una longitud igual al radio de la circunferencia. Así, un radián (1 rad) es la medida de un ángulo central cuyo arco mide un radio. Medida de ángulos en el sistema cíclico 𝐴𝐵 𝐴𝐵 La equivalencia entre grados y radianes se obtiene a partir de la fórmula de la longitud de una circunferencia. Así, 2𝜋𝑟=𝐿𝑜𝑛𝑔 𝐶𝑖𝑟𝑐=360º de donde se deduce que 𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅=𝟑𝟔𝟎º  Equivalencia entre el sistema sexagesimal y el sistema cíclico

Ejemplos

Ejercicio - 1 Dibujar sobre el plano cartesiano los siguientes angulos en posicion normal

Ejercicio 2 - A Encontrar la medida de cada angulo en grado, luego dibujarlo en posicion normal en el plano: Cinco octavos de rotacion en el etido de las manecillas del reloj

Convertir a radianes cada uno de los angulos expresados en grado. Expresar la respuesta en multiplo de pi Ejercicio 3

Ejercicio 3 Expresar en grados los siguientes angulos