Conceptos básicos de probabilidad Por Lic. Gabriel Leandro, MBA www.auladeeconomia.com

incertidumbre

Caja con 50 bolas de colores: 40 bolas rojas 10 bolas azules Se seleccionará una bola al azar: ¿Probabilidad de que la bola sea roja? ¿Probabilidad de que la bola sea azul? ¿Cuál probabilidad será mayor: que sea roja o que sea azul?

Definición clásica de probabilidad: P(A) = Número de casos favorables al evento A Número de casos posibles P(A) = n(A) N

Caja con 50 bolas de colores: 40 bolas rojas 10 bolas azules Se seleccionará una bola al azar: ¿Probabilidad de que la bola sea roja? P(R) = n(R) N = 40 50 = 0,8 = 80%

Caja con 50 bolas de colores: 40 bolas rojas 10 bolas azules Se seleccionará una bola al azar: ¿Probabilidad de que la bola sea azul? P(A) = n(A) N = 10 50 = 0,2 = 20%

Otro ejemplo Se lanza un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que salga el número 5? Evento: X = 5 Evento: Posible resultado de un experimento aleatorio. Eventos posibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Espacio muestral: Conjunto de todos los eventos simples posibles. Probabilidad buscada: P(X = 5) = 1 6

Otro ejemplo Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos sea 4? Evento: X = 4 Número de eventos posibles = 6 x 6 = 36 Eventos en que la suma es 4: 1 y 3 2 y 2 3 y 1 P(X = 4) = 3 36

Definición clásica de probabilidad: algunas limitaciones No es posible conocer el número de resultados posibles (espacio muestral) Espacio muestral es infinito Eventos no son mutuamente excluyentes ni igualmente posibles Los eventos no se pueden repetir bajo las mismas condiciones

Frecuencia relativa como probabilidad P(A) = Frecuencia relativa de ocurrencia del evento A P(A) = f (A) N Fr(A) =

Frecuencia relativa como probabilidad En un lote de 3.000 piezas producidas en una máquina se encontraron 96 piezas defectuosas. Si se selecciona al azar una pieza, ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuosa? P(A) = f (A) N Fr(A) = = 96 3.000 = 0,032 = 3,2%

Concepto subjetivo de probabilidad Poca o ninguna información numérica. Juicio sobre la ocurrencia se basa en un profundo conocimiento de la situación. Ejemplo: Probabilidad de que la economía entre en recesión el próximo año.

Análisis combinatorio - repaso -

Ejemplo Un restaurante ofrece las siguientes opciones para almorzar: Tres tipos de plato fuerte: pollo, res, chuleta Dos tipos de refrescos: frutas, cola Dos tipos de postre: flan, helado ¿Cuántas órdenes distintas pueden efectuarse?

Plato fuerte P R C Refresco F C F C F C F H Postre F H F H F H F H F H 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 x 2 x 2 = 12

Principio de multiplicación de conteo Si una actividad requiere una primera elección que se puede hacer de n1 formas distintas, una segunda elección que se puede hacer de n2 formas diferentes, hasta una k-ésima elección que se puede hacer de nk formas distintas, entonces la actividad puede ser realizada de n1 ⋅ n2 ⋅ … ⋅ nk formas diferentes.

Ocho personas van a comer. ¿De cuántas maneras pueden sentarse a la mesa? Opciones: 64 80 40.320 8 Otra…?

Mesa Primero 8 Segundo 7 Tercero 6 Cuarto 5 Quinto 4 Sexto 3 Sétimo 2 Octavo 1 x x x x x x x = 40.320

Factorial El factorial de un número n, que se denota n!, se define como: n! = n ⋅ (n-1) (n-2) ⋅ … ⋅ 2 ⋅ 1 Es importante señalar que se define: 1! = 1 0! = 1

Permutaciones Una permutación es un arreglo ordenado de n elementos distintos tomados r a la vez sin repetición. A B C D Cuatro objetos: Se toman de 3 en 3 n = 4 r = 3 A B C A B C A B C D A C A B C A C D A C D A D B A D B A B C B C D B C D B D A B D A A B C B C D B C D C D A C D A D A C D A B D A B D B C D B C 24 permutaciones

Permutaciones El número de permutaciones, que se denota P(n, r), se calcula como: Ejemplo: Calcule el número de permutaciones de 4 elementos tomados de 3 en 3. Se tiene que n = 4 y r = 3:

Combinaciones Una combinación es un arreglo no ordenado de n elementos distintos tomados r a la vez sin repetición. A B C D Cuatro objetos: Se toman de 3 en 3 n = 4 r = 3 A B C D A C A B C A D B D B C 4 combinaciones

Combinaciones El número de combinaciones, que se denota C(n, r), se calcula como: Ejemplo: Calcule el número de permutaciones de 4 elementos tomados de 3 en 3. Se tiene que n = 4 y r = 3:

Axiomas y teoremas de probabilidad

Considere la siguiente situación Proveedor Sonyco (S) Panasound (P) Televisores (T) Reproductores video (V) 250 750 150 350

Considere la siguiente situación Proveedor S P T V 250 750 150 350 Total 400 1.100 Total 1.000 500 1.500 Si se selecciona al azar un aparato, ¿Cuál es la probabilidad de que sea una cámara digital (C)? Si sólo se compran televisores y reproductores de video, es imposible seleccionar una cámara digital. Este es un evento imposible: P(C) = 0

Conclusión La probabilidad de un evento imposible es cero

Considere la siguiente situación Proveedor S P T V 250 750 150 350 Total 400 1.100 Total 1.000 500 1.500 Si se seleccionarán varios televisores, ¿Es posible seleccionar 1.200 televisores? Si sólo hay un total de 1.000 televisores, es imposible seleccionar 1.200 televisores, el número máximo es 1.000. Es decir, la probabilidad no puede ser mayor que UNO: P(A) = n(A) N 1.000 1.000 = 1 =

Conclusión La probabilidad de un evento que ocurre con toda certeza es uno

Axioma Para cualquier evento A, la probabilidad no puede ser menor de 0, ni mayor de 1: 0 ≤ P(A) ≤ 1

Considere la siguiente situación Proveedor S P T V 250 750 150 350 Total 400 1.100 Total 1.000 500 1.500 Si se seleccionará un aparato, ¿Cuál es la probabilidad de que sea televisor o reproductor de video? Si sólo hay televisores y reproductores de video, entonces tenemos lo siguiente: P(T o V) = 1.000 1.500 500 1.500 = + = 1 1.500 1.500

Axioma La suma de todos los eventos Ai contenidos en el espacio muestral S es 1 P(S) = 1

Considere la siguiente situación Proveedor S P T V 250 750 150 350 Total 400 1.100 Total 1.000 500 1.500 Si se seleccionará un aparato, ¿Es posible que el aparato provenga del proveedor Sonyco y de Panasound al mismo tiempo? Esto no posible, pues el aparato solo puede provenir de un proveedor y no de dos al mismo tiempo. Decimos que estos son eventos excluyentes.

Considere la siguiente situación Proveedor S P T V 250 750 150 350 Total 400 1.100 Total 1.000 500 1.500 Si se seleccionará un aparato, ¿Es posible que el aparato provenga del proveedor Sonyco y que sea televisor al mismo tiempo? Esto sí posible, pues el aparato puede provenir del proveedor Sonyco y ser televisor al mismo tiempo. Decimos que estos son eventos no excluyentes.

Considere la siguiente situación Proveedor S P T V 250 750 150 350 Total 400 1.100 Total 1.000 500 1.500 Si se seleccionará un aparato, ¿Cuál es la probabilidad de que sea fabricado por Sonyco o por Panasound? Dado que estos son eventos excluyentes, entonces vamos a sumar las respectivas probabilidades: P(S o P) = 400 1.500 1.100 1.500 = + = 1 1.500 1.500 P(S) + P(P) =

Axioma Si A y B son eventos mutuamente excluyentes en el espacio muestral S, entonces P(A o B) = P(A) + P(B) Regla especial de adición de probabilidades

Considere la siguiente situación Proveedor S P T V 250 750 150 350 Total 400 1.100 Total 1.000 500 1.500 Si se seleccionará un aparato, ¿Cuál es la probabilidad de que sea fabricado por Sonyco o sea un televisor? Dado que estos son eventos no excluyentes, entonces vamos a sumar las respectivas probabilidades y a restar la probabilidad de que ocurran simultáneamente: P(S o T) = 400 1.500 1.000 1.500 = + 1.150 1.500 P(S) + P(T) – P(ST) = 250 1.500 –

Teorema Si A y B son eventos cualesquiera en el espacio muestral S, entonces P(A o B) = P(A) + P(B) – P(AB) Regla general de adición de probabilidades

Considere la siguiente situación Proveedor S P T V 250 750 150 350 Total 400 1.100 Total 1.000 500 1.500 Supongamos que no conocemos toda la información, y Si se seleccionará un aparato, ¿Cuál es la probabilidad de que sea reproductor de video? Dado que estos son eventos excluyentes y solo hay dos posibilidades (que sea televisor o reproductor de video), y que la probabilidad total es UNO, entonces: P(V) = 1 1.000 1.500 = – 500 1.500 1 – P(T) =

Teorema Si E es un evento cualquiera en el espacio muestral S y Ec es su complementario, entonces:

Caja con 10 bolas de colores: 6 bolas rojas 4 bolas azules Se seleccionarán dos bolas al azar: 1. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera bola sea roja y la segunda azul, si la primera bola se regresa a la caja antes de sacar la segunda? 2. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera bola sea roja y la segunda azul, si la primera bola no se regresa a la caja antes de sacar la segunda?

Caja con 10 bolas de colores: 6 bolas rojas 4 bolas azules Se seleccionarán dos bolas al azar: 1. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera bola sea roja y la segunda azul, si la primera bola se regresa a la caja antes de sacar la segunda? P(R y A) = 6 10 4 10 = x 24 100 P(R) x P(A) = Eventos independientes

Caja con 10 bolas de colores: 6 bolas rojas 4 bolas azules Se seleccionarán dos bolas al azar: 2. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera bola sea roja y la segunda azul, si la primera bola no se regresa a la caja antes de sacar la segunda? P(R y A) = 6 10 4 9 = x 24 90 P(R) x P(A ) = /R Probabilidad condicional Eventos dependientes

Probabilidad condicional Probabilidad de que ocurra un evento B cuando se sabe que algún otro evento A ha ocurrido (P(A) > 0) Se denota: P(B/A) Se lee: La probabilidad de que ocurra B dado que ocurrió A o la probabilidad de B dado A.

Probabilidad condicional Si A y B son dos eventos en el espacio muestral S, P(A) > 0, P(B) > 0. La probabilidad condicional de B dado A es: P(B/A) = donde P(AB) = P(A y B) P(AB) P(A)

Considere la siguiente situación Aparato T V P A 250 750 100 310 Total 400 1.100 Total 1.000 410 1.500 Si se seleccionará un aparato, ¿Cuál es la probabilidad de que esté defectuoso, si debe ser un televisor? Dado que el aparato debe ser televisor, entonces se calcula la probabilidad condicional: P(D/T) = 50 1.500 400 1.500 = / 50 400 P(D y T) / P(T) = D 50 40 90

Teorema Si A y B son eventos cualesquiera en el espacio muestral S, entonces P(A y B) = P(A) x P(B/A) Regla general de multiplicación

Teorema Si A y B son eventos independientes en el espacio muestral S, entonces P(A y B) = P(A) x P(B) Regla especial de multiplicación

Conclusión Si A y B son eventos independientes en el espacio muestral S, es decir, la ocurrencia de A no depende de B, ni la de B depende de A, entonces P(B/A) = P(B) P(A/B) = P(A)

Otra situación El 75% del material de construcción recibido del proveedor SMX es de alta calidad, y el resto es apenas aceptable, mientras que sólo 45% del material del proveedor HLC es de excepcional calidad, y el resto aceptable. Sin embargo, la capacidad industrial del proveedor SMX es limitada, razón por la cual sólo el 40% del material adquirido proviene del él. El 60% restante procede del proveedor HLC. Al inspeccionar un cargamento de material recibido recientemente se encuentra que es de alta calidad, ¿cuál es la probabilidad de que provenga del proveedor SMX?

Proveedor SMX HLC Alta calidad Aceptable Alta calidad Aceptable Calidad 0,75 0,25 0,45 0,55 0,40 0,60 P(SMX) = ?

Teorema de Bayes Dados dos eventos A y B, el teorema de Bayes consiste en la determinación de la probabilidad condicional del evento B dada la ocurrencia del evento A. Este teorema se aplica generalmente en el contexto de eventos secuenciales.

Teorema El teorema de Bayes se expresaría la probabilidad de ocurrencia del evento B dada la ocurrencia del evento A como: P(B/A) = donde B´ es el evento complementario de B P(B) P(A/B) P(B) P(A/B) + P(B´) P(A/B´)

S H C A C A 0,75 0,25 0,45 0,55 0,40 0,60 P(S/C) = P(B) P(A/B) P(B) P(A/B) + P(B´) P(A/B´) P(B/A) = P(S) P(C/S) P(S)P(C/S) + P(H) P(C/H) P(S/C) = 0,40 x 0,75 0,40 x 0,75 + 0,60 x 0,45 = 0,5263

Teorema de Bayes Si B1, B2, ... , Bk son eventos mutuamente excluyentes, uno de los cuales debe ocurrir, que tienen intersección con el evento A, entonces:

En una fábrica las líneas de ensamblaje L1, L2 y L3 produjeron respectivamente 3600, 6000 y 2400 piezas de un lote. La línea L1 produce un 8% de piezas defectuosas. La línea L2 produce 45 piezas buenas de cada 50. La línea L3 produce 12 defectuosas de cada 300 piezas. Si del lote se sacan piezas aleatoriamente, calcule: La probabilidad de obtener una pieza buena. Si al tomar una pieza sale buena, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producida en L1? Otro ejemplo

La probabilidad de obtener una pieza buena Total: 3600 + 6000 + 2400 = 12000 piezas b: pieza buena, d: pieza defectuosa  P(L1) = 3600/12000 = 0,30 => P(d/L1) = 0,08 => P(b/L1) = 1 - 0,08 = 0,92 P(L2) = 6000/12000 = 0,50 => P(b/L2) = 45/50 = 0,90 => P(d/B) = 1 - 0,90 = 0,10 P(L3) = 2400/12000 = 0,20 => P(d/L3) = 12/300 = 0,04 P(b/C) = 1 - 0,04 = 0,96  P(b) = 0,30 x 0,92 + 0,5 x 0,9 + 0,2 x 0,96 = 0.9180

Si al tomar una pieza sale buena, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producida en L1? Aplicación del teorema de Bayes: hay un hecho dado, que es la pieza sale buena: P(L1) = 3600/12000 = 0,30 => P(d/L1) = 0,08 => P(b/L1) = 1 - 0,08 = 0,92 P(b) = 0.9180

Variables aleatorias Una variable aleatoria es una cantidad numérica cuyo valor es determinado por el resultado de un experimento aleatorio. Variables aleatorias discretas: se puede contar su conjunto de resultados posibles. Por ejemplo: número de artículos defectuosos, número de personas en una fila, números de datos procesados etc. Variable aleatoria continua: Cuando la variable aleatoria puede tomar valores en una escala continua se llama. Por ejemplo: velocidades, estaturas, longitud, temperaturas, diámetros, espesor, intensidad del ruido, etc.

Distribuciones de probabilidad Una distribución de probabilidades permite determinar el valor de la probabilidad para todos y cada uno de los eventos del espacio muestral. La distribución de probabilidad puede expresarse empleando: Una tabla Un gráfico Una función algebraica.

Una rifa 100 números Premio: $1.000 Compra 1 número Precio del número: $20 Datos de la rifa: Tabla de la distribución de probabilidad: Resultados posibles Ganar Perder X $ 980 Premio – costo = 1.000 – 20 – 20 P(X) 1/100 99/100 Total 100/100 = 1

Valor esperado Resultados posibles Ganar Perder X $ 980 – 20 P(X) 1/100 99/100 Total 1 = 980 x 1 100 + – 20 x 99 100 = –10

Varianza y desviación estándar Resultados posibles Ganar Perder X $ 980 – 20 P(X) 1/100 99/100 Total 1 = 980 x 1 100 + – 20 x 99 100 = –10 (980 – –10)2 1 100 + (–20 – –10)2 99 100 = 9900 = 99,50