TERNAS PITAGORICAS

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TERNAS PITAGORICAS

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El problema de las ternas pitagóricas es: Como encontrar todos los triángulos rectángulos con lados  A, B y C todos ellos números enteros?                               

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Este problema fue resuelto por Diofanto aunque parece que la solución ya era conocida por los babilonios mucho antes. Recordemos que el teorema de Pitágoras nos dice que para que exista un triángulo de esta forma se tiene que cumplir que: O sea que la pregunta se transforma en: ¿que números A y B enteros cumplen que la suma de sus cuadrados es un cuadrado? 

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Por ejemplo A=1 B=2 La suma de sus cuadrados no es un cuadrado Ahora, A=3 B=4 La suma de sus cuadrados es 25 que es 5 al cuadrado

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A una solución (A,B,C) se la llama una terna pitagórica. Muchos ejemplos de ternas pitagóricas ya eran conocidos por los babilonios: (3,4,5) , (6,8,10) , (5,12,13), ......................, (4961,6480,8161),........

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Una terna pitagórica primitiva es aquella cuyo m.c.d de los tres elementos es 1.

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Supongamos que (A,B,C) es primitiva Entonces no puede ser que exista un número D>1 que divida a A y B y no divida a C, ya que si D divide a A y B, entonces D divide a  , y por lo tanto D divide a C.

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Es suficiente buscar que en (A,B,C) sus elementos son primos relativos dos a dos. Por lo tanto, No pueden ser pares los tres elementos, ni siquiera dos de ellos. si A y B son pares entonces C también seria par y la terna no seria primitiva. A y B no pueden ser ambos impares pues sus cuadrados serian de la forma 2k+1 y la suma de ambos seria de la forma 2j con j impar, lo cual es imposible para el cuadrado de C que debería ser múltiplo de 4.(2 dividiría a C y 4 dividiría a C) Debe haber dos impares y uno par.

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Sean (A,B,C) supongamos que A es par y B es impar Existen m,n,q talque A=2m, C-B=2n, C+B=2q

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Entonces n y q son cuadrados, por tanto existen s, r talque

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s>r s y r distinta paridad ya que B y C son impares Ahora podemos expresar A en términos de s y r , ósea

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Conclusión Cada terna pitagórica primitiva puede construirse a partir de dos enteros positivos p y q primos relativos de distinta paridad y con p>q de la forma Ejemplo: (5,2)

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Diofanto Nacido alrededor del 200/214 alejandria - fallecido alrededor de 284/298, fue un antiguo matemático griego. Se considera a Diofanto el padre del álgebra. "Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad."

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Las ternas pitagóricas primitivas que podemos obtener con p menor o igual que 6 son las siguientes:

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Algunas ternas pitagóricas primitivas y derivadas

Summary: *·* Ternas Pitagoricas *·*

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