Distribuciones de probabilidad

Distribuciones discretas Una variable discreta asume cada uno de sus valores con una cierta probabilidad. La mayoría de las veces se representan con una fórmula todas las probabilidades de una variable aleatoria. Esta fórmula debe ser una función de los valores numéricos de X, que se expresa generalmente por f(x) y se define como distribución de probabilidad de la variable aleatoria.

Distribución binomial

Ejemplo Usted es un vendedor con muchos años de experiencia. Sabe que realiza la venta en el 30% de los casos. Todos los días visita 10 prospectos de venta. Este porcentaje se ha mantenido constante a lo largo de mucho tiempo. Generalmente cada cliente no tiene contacto con los demás.

Proceso de Bernoulli Si dice que un proceso cuyos resultados sean variables aleatorias discretas y que cumple con las suposiciones presentadas a continuación, es un proceso de Bernoulli: Existen solamente dos resultados posibles en cada ensayo, llamados, arbitrariamente, éxitos y fracasos. Existe un número fijo n de intentos o ensayos. La probabilidad de un éxito, representada por p, permanece constante en todos los intentos. Todos los n intentos repetidos son independientes.

¿Es la situación del vendedor anterior un proceso de Bernoulli? ¿Variables aleatorias discretas? ¿Dos resultados posibles en cada ensayo? ¿Número fijo de intentos? ¿La probabilidad de un éxito permanece constante en todos los intentos? ¿Todos los intentos son independientes? Sí Sí Sí Sí Sí

Distribución binomial La distribución de probabilidad de la variable aleatoria X es: Donde X es el número establecido de éxitos n el número de ensayos u observaciones p la probabilidad de éxito q la probabilidad de fracaso: q = 1 – p

Distribución binomial La expresión anterior puede ser escrita como:   Para la distribución binomial, su media y su desviación estándar corresponden a: µ = np

Ejemplo Al probar una cierta clase de neumático en un terreno escabroso se encontró que el 25% de los vehículos terminaban la prueba con los neumáticos dañados. Encuentre la probabilidad de que de 10 vehículos que participan en la prueba, exactamente 3 tengan los neumáticos dañados. por lo menos 3 tengan los neumáticos dañados. menos de 6 tengan los neumáticos dañados. a lo más 5 no tengan los neumáticos dañados. más de 7 no tengan los neumáticos dañados.

Pregunta 1: Exactamente 3 tengan los neumáticos dañados Datos: n = 10 x = 3 p = 0,25 q = 0,75 Solución: Respuesta: La probabilidad de que exactamente 3 vehículos tengan los neumáticos dañados es de 25,03%.

Pregunta 2: Por lo menos 3 tengan los neumáticos dañados Datos: n = 10 x ≥ 3 p = 0,25 q = 0,75 Solución: Respuesta: La probabilidad de que por lo menos 3 vehículos tengan los neumáticos dañados es de 47,44%. P(x > 3) = 1 – 0.0563 – 0.1877 – 0.2816 = 0.4744

Pregunta 3: menos de 6 tengan los neumáticos dañados Datos: n = 10 x < 6 p = 0,25 q = 0,75 Solución: Respuesta: La probabilidad de que menos de 6 vehículos tengan los neumáticos dañados es de 98,03%. P(x < 6) = 0.0563 + 0.1877 + 0.2816 + 0.2503 + 0.1460 + 0.0584 = 0.9803

Pregunta 4: a lo más 5 no tengan los neumáticos dañados Datos: n = 10 x ≤ 5 p = 0,75 q = 0,25 Solución: Respuesta: La probabilidad de que a lo más 5 vehículos no tengan los neumáticos dañados es de 7,81%. P(x ≤ 5) = 0.0781

Pregunta 5: más de 7 no tengan los neumáticos dañados Datos: n = 10 x > 7 p = 0,75 q = 0,25 Solución: Respuesta: La probabilidad de que más 7 vehículos no tengan los neumáticos dañados es de 52,56%. P(x > 7) = 1 – P(x ≤ 7) = 1 – 0.4744 = 0.5256

Ejercicio Si la probabilidad de que cierto componente falle ante una carga axial específica es de 5%, calcule la probabilidad de que entre 16 de tales componentes: fallen entre 2 y 5 no fallen como máximo 12

En Minitab Introducir primero en una columna los valores de los X buscados. Menú Calc -> Distribuciones de probabilidad:

En Minitab Menú Calc Distribuciones de probabilidad Binomial Completar cuadro de diálogo Probabilidad Número de ensayos (n) Probabilidad del evento (p) Columna de entrada (X) Aceptar

En Minitab Resultado: Sesión Suma los valores: 0,1463 + 0,0359 + 0,0061 + 0,0007 = P(2 ≤ X ≤ 5) = 0.1891

Solución a) Se tiene que n = 16 y que éxito es fallar, así que entonces p = 0,05 y q = 0,95: P(2 ≤ X ≤ 5) = 0.1891   b) Si éxito es no fallar, entonces p = 0,95 y q = 0,05:   P(X ≤ 12) = 0.0071

Distribución hipergeométrica

Distribución hipergeométrica Se aplica a situaciones similares a aquellas en que se aplica la distribución binomial. La diferencia: en la binomial los eventos deben de ser independientes y en la hipergeométrica no. Si la binomial se aplica al muestreo de un lote, debe hacerse con reemplazo para obtener la independencia y mantener así constante la probabilidad de cada elemento. Si el muestreo se hace sin reemplazo, los eventos no son independientes y la probabilidad no es constante.

Distribución hipergeométrica La distribución de probabilidad hipergeométrica es: Muestra aleatoria n seleccionada sin reemplazo de un total de N resultados. De N pueden clasificarse como éxitos a resultados y como fracasos N – a resultados.

Ejemplo Se tiene un lote de 60 componentes electrónicos de los cuales 4 están defectuosos. Si se extrae al azar, sin reposición, una muestra de 8 de tales componentes, determine las siguientes probabilidades: Exactamente un componente salga defectuoso. Por lo menos dos componentes salgan defectuosos. Como mínimo 7 piezas salgan buenas.

Pregunta 1: Exactamente un componente salga defectuoso Datos: a = 4 x = 1 N = 60 n = 8 Solución: Respuesta: La probabilidad de que exactamente un componente salga defectuoso es de 36,26%.

Pregunta 2: Por lo menos dos componentes salgan defectuosos Datos: a = 4 x ≥ 2 N = 60 n = 8 Solución: Respuesta: La probabilidad de que por lo menos dos componentes salgan defectuosos es de 8,22%.

Pregunta 3: Como mínimo 7 piezas salgan buenas Datos: a = 56 x ≥ 7 N = 60 n = 8 Solución: Respuesta: La probabilidad de que salgan como mínimo 7 piezas buenas es de 91,78%.

Ejercicio Los lotes de 40 componentes se consideran aceptables si contienen como máximo tres defectuosos. El procedimiento de muestreo del lote consiste en seleccionar aleatoriamente 5 componentes y rechazar el lote si se encuentra un solo componente defectuoso. Determine la probabilidad de aceptación del lote.

En Minitab Introducir primero en una columna los valores de los X buscados. Menú Calc -> Distribuciones de probabilidad:

En Minitab Menú Calc Distribuciones de probabilidad Hipergeométrica Completar cuadro de diálogo Probabilidad Tamaño de población (N) Conteo de eventos en la población (M = a) Tamaño de muestra (n) Columna de entrada (X) Aceptar

En Minitab Resultado: Sesión P(X = 0) = 0.6625

Distribución de Poisson

Distribución de Poisson Representa el número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo dado o en un área o volumen específico. La probabilidad se obtiene por medio de: X: número establecido de éxitos : media e  2,7183

Ejemplo En una intersección de carreteras ocurren en promedio 3 accidentes de tránsito por mes. Calcule las siguientes probabilidades: en un mes cualquiera ocurran exactamente 6 accidentes. en 4 meses de comportamiento similar ocurran entre 5 y 15 accidentes.

Pregunta 1: ocurran exactamente 6 accidentes Datos: x = 6  = 3 Solución: Respuesta: La probabilidad de que ocurran exactamente 6 accidentes es de 5,04%.

Pregunta 1: en 4 meses ocurran entre 5 y 15 accidentes Datos: 5 ≤ x ≤ 15  = 4 * 3 = 12 Solución: Respuesta: La probabilidad de que ocurran exactamente 4 accidentes es de 83,68%.

Ejercicio El número de fallas en la superficie de un calentador de cierto tipo sigue una distribución de Poisson. El número medio de fallas por calentador es de 5. Determine la probabilidad de que al seleccionar un calentador al azar: menos de 5 fallas. tenga más de 2 fallas.

En Minitab Introducir primero en una columna los valores de los X buscados. Menú Calc -> Distribuciones de probabilidad:

En Minitab Menú Calc Distribuciones de probabilidad Poisson Completar cuadro de diálogo Probabilidad Media () Columna de entrada (X) Aceptar

En Minitab Resultado: Sesión P(x < 5) = 0.4405 Respuesta 2: P(x > 2) = 1 - P(x = 0) - P(x = 1) - P(x = 2) = 0.8753

Distribución multinomial

Distribución multinomial Cuando un experimento binomial tiene más de dos resultados posibles se convierte en un experimento multinomial. Por ejemplo: artículos que se clasifican como rechazados; no perfecto pero aceptable y perfectos. Cada uno de estos eventos es independiente y sus probabilidades se mantienen constantes al realizar los muestreos con reemplazo.

Distribución multinomial Si un ensayo puede resultar en cualquiera de k posibilidades E1, E2, ... , Ek, cada uno con probabilidades p1, p2, ... , pk, entonces la distribución multinomial dará la probabilidad de que E1 ocurra x1 veces, de que E2 ocurra x2 veces, ... , y de que Ek ocurra xk veces, en n intentos independientes, está dada por. n = x1 + x2 + ... + xk 

Ejemplo Un fabricante sabe que cierto tipo de refrigeradores tienen una probabilidad de 0,8 de clasificarse como aceptable, una probabilidad de 0,15 de ser clasificados como con defectos secundarios y de 0,05 de ser clasificados como con defectos mayores. Si se revisan seis refrigeradores, escogidos al azar, calcúlese la probabilidad de que tres sean aceptables, 2 tengan defectos menores y 1 tenga defecto mayor.

Solución Datos: p1 = P(A) = 0,80 p2 = P(S) = 0,15 p3 = P(M) = 0,05 x1 = 3 x2 = 2 x3 = 1 n = 6  Solución:

Ejercicio En una encuesta de intención de voto se obtuvo que el candidato A obtendría el 35% de los votos, el candidato C el 45% y el candidato B el restante 20%. Si se toma una muestra de 10 personas, ¿cuál es la probabilidad de que la mitad deseen votar por el candidato A, dos quintas partes por el candidato B y el resto por C?

Distribución geométrica

Distribución geométrica Cuando en una sucesión de pruebas queremos saber el número de la prueba en que ocurre el primer éxito y si se cumple que: Existen solamente dos resultados posibles en cada ensayo, llamados arbitrariamente, éxitos y fracasos. La probabilidad de un éxito, representada por p permanece constante en todos los intentos. Todos los n intentos repetidos son independientes. Se cumplen las mismas suposiciones de la distribución binomial, excepto que n no es fijo.

Distribución geométrica Si en pruebas independientes repetidas puede resultar un éxito con una probabilidad p y en un fracaso con una probabilidad q = 1 - p. Entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X (número de la prueba en la cual ocurre el primer éxito) es la distribución geométrica:

Ejemplo Si la probabilidad de que un tirador experto dé en el blanco es del 95%. ¿Cuál es la probabilidad de que falle por primera vez en su decimoquinto disparo?

Pregunta: probabilidad de que falle por primera vez en su decimoquinto disparo Datos: x = 15 p = 0,05 Solución: Respuesta: La probabilidad de que falle por primera vez en su decimoquinto disparo es 2,44%.

En Minitab Introducir primero en una columna los valores de los X buscados. Menú Calc -> Distribuciones de probabilidad:

En Minitab Menú Calc Distribuciones de probabilidad Geométrica Completar cuadro de diálogo Probabilidad del evento Columna de entrada (X) Aceptar

En Minitab Resultado: Sesión P(x = 15) = 0,0243

Ejercicios

Ejercicio Un equipo de ingenieros está probando un nuevo material en una construcción. Según el fabricante existe una probabilidad de 95% de que el material supere ciertas condiciones extremas. Los ingenieros están realizando 10 pruebas y desean saber la probabilidad de que, de las diez pruebas: Exactamente en dos casos el material no supere la prueba. En cinco casos o más casos el material supere prueba. En todos los casos el material supera la prueba.

Ejercicio Doce de los 20 ingenieros que laboran en una empresa están insatisfechos su salario. Si una muestra aleatoria de cuatro ingenieros es interrogada sobre el salario, determine la probabilidad de que exactamente dos ingenieros se muestren satisfechos con su salario.

Ejercicio El jefe de un departamento de recursos humanos de una empresa grande, estudia con frecuencia el grado de satisfacción de los trabajadores dentro de la empresa, y ha encontrado que 5 de cada 12 empleados se siente insatisfecho con su salario. Esta proporción se ha mantenido constante durante mucho tiempo. Si se seleccionan aleatoriamente 8 personas ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 de ellas se sientan insatisfechas con su salario?

Ejercicio Durante el plazo de inscripción para una actividad, la oficina encargada procesa aproximadamente 75 solicitudes por hora, en promedio, de acuerdo con un proceso de Poisson.  ¿Cuál es la probabilidad de que este proceso de más de 80 solicitudes de una hora escogidos al azar? R/ 0,0235

Ejercicio Durante el plazo de inscripción para una actividad, la oficina encargada procesa aproximadamente 75 solicitudes por hora, en promedio, de acuerdo con un proceso de Poisson.  ¿Cuál es la probabilidad de que pasen 3 minutos entre la llegada de dos solicitudes de inscripción? R/ 0,2589

Ejercicio Cuando un cliente llama a la Línea de Ayuda en ABC Informática Software, Co., la cantidad de tiempo que un cliente debe esperar en suspenso hasta que alguien responde a la línea y ayuda a que el cliente siga un distribución exponencial con media de 7,5 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente espera más de 10 minutos para recibir ayuda? R/ 0,2636

Ejercicio La distribución de probabilidad que se aplica en un experimento de acuerdo con un proceso de Bernoulli y tiene más de dos resultados posibles se llama: ( ) Binomial ( ) Hipergeométrica ( ) Multinomial ( ) Poisson R/ Multinomial

Ejercicio La distribución de probabilidad que representa el número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo dado o en un área o volumen específico se llama: ( ) Binomial ( ) Hipergeométrica ( ) Multinomial ( ) Poisson R/ Poisson

Ejercicio La distribución de probabilidad que se emplea en una sucesión de pruebas y se quiere saber el número de la prueba en que ocurre el primer éxito se llama: ( ) Binomial ( ) Hipergeométrica ( ) Geométrica ( ) Poisson

Ejercicio La distribución de probabilidad que se emplea en una situación similar a un proceso de Bernoulli, pero con un muestreo sin reemplazo, se llama: ( ) Binomial ( ) Hipergeométrica ( ) Geométrica ( ) Poisson

Ejercicio Un fabricante de medicamentos sostiene que cierta medicina cura una enfermedad para la sangre en el 80% de los casos. Para verificarlo los inspectores del gobierno utilizan una muestra de 100 individuos y deciden aceptar la afirmación si se curan por lo menos 75 de ellos. ¿Cuál es la probabilidad de que lo que dice sea rechazado, si efectivamente la probabilidad de curación es del 80%? R/ 0.0838

Ejercicio Un fabricante sabe que cierto tipo de refrigeradores tienen una probabilidad de 0,8 de clasificarse como aceptable, una probabilidad de 0,15 de ser clasificados como con defectos secundarios y de 0,05 de ser clasificados como con defectos mayores. Si se revisan seis refrigeradores, escogidos al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que tres sean aceptables, 2 tengan defectos menores y 1 tenga defecto mayor? R/ 0,0346

Ejercicio Se tiene un cargamento de 60 alarmas contra robo el cual contiene 9 defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan exactamente 2 defectuosas en una muestra de 5 alarmas? R/ 0,1373

Distribuciones continuas

Distribuciones continuas Las distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuas aparecen cuando se trabaja con cantidades que se miden en una escala continua. Ejemplos: Peso de paquetes de harina Tiempo de revelado de copias fotográficas Diámetro, la longitud o el espesor de una pieza Vida útil de un producto, etc.

Distribuciones continuas Al calcular las probabilidades de variables aleatorias continuas no se puede hablar de la probabilidad de que tome un valor en particular. Se debe hablar de la probabilidad de que la variable tome valores en un intervalo: P(a < x < b).  A las funciones de probabilidad de las variables continuas se les llama funciones densidad y se integran para obtener las probabilidades buscadas.

La distribución normal

La distribución normal La distribución continua más importante es la distribución normal. Esta distribución cuya curva tiene forma de campana, mide en forma muy aproximada muchos fenómenos que ocurren en la naturaleza, la industria y la investigación. En una fábrica, las mediciones sobre las partes manufacturadas se explican bastante acertadamente con la distribución normal.

La distribución normal La curva de la distribución es asintótica.  El área bajo la curva es igual a uno. Es simétrica con respecto a la media aritmética (). Queda perfectamente determinada si se conocen  y .

La distribución normal La función densidad de la distribución normal es: para -∞ < x < ∞ La probabilidad de que x tome valores en el intervalo entre a y b, es:

La distribución normal La curva normal queda perfectamente determinada si se conocen  y . Para cada par de valores de  y  existe una curva normal diferente. Existe una cantidad infinita de curvas normales. Para resolver este problema se emplea una curva normal que tiene µ = 0 y σ = 1, llamada distribución normal estándar. La variable aleatoria de la distribución normal estándar se denota por z.

La distribución normal La variable aleatoria de la distribución normal estándar z es: Los valores de esta distribución normal estándar se obtienen de una tabla, la cual da el valor de probabilidad para cada valor de z. La fórmula anterior se emplea para convertir de la variable x a z y viceversa, según se requiera.

Distribución normal estándar Tiene µ = 0 y σ = 1 Se usa la tabla de la distribución normal estándar. Da valor del área bajo la curva para valores de z positivos.

Distribución normal estándar P(z ≤ 1,46) = 0,9279 Si a ≥ 0, P(z ≤ a) = tabla Calcule: P(z ≤ 0,93) = P(z ≤ 2,74) = P(z ≤ 1,9) = P(z ≤ 2) = P(z ≤ 4,93) = Entero y primer decimal Segundo decimal

Distribución normal estándar acumulada

Distribución normal estándar P(z ≥ 1,46) = 1 - P(z ≤ 1,46) = 1 - 0,9279 = 0,0721 Si a ≥ 0, P(z ≥ a) = 1 - P(z ≤ a) Calcule: P(z ≥ 0,33) = P(z ≥ 2,16) = P(z ≥ 3,2) = P(z ≥ 3) = P(z ≥ 5,93) = 1,46 Área buscada Equivale a 1 menos el resto del área: P(z ≥ 1,46) = 1 - P(z ≤ 1,46)

Distribución normal estándar P(z ≥ -1,46) = P(z ≤ 1,46) = 0,9279 Si a ≥ 0, P(z ≥ -a) = P(z ≤ a) Calcule: P(z ≥ -0,73) = P(z ≥ -0,16) = P(z ≥ -3,12) = P(z ≥ -1) = P(z ≥ -3,93) = -1,46 Área buscada Equivale al resto del área: P(z ≥ -1,46) = P(z ≤ 1,46)

Distribución normal estándar P(z ≤ -1,46) = 1 - P(z ≤ 1,46) = 1 - 0,9279 = 0,0721 Si a ≥ 0, P(z ≤ -a) = 1 - P(z ≤ a) Calcule: P(z ≤ -2,75) = P(z ≤ -0,67) = P(z ≤ -3,2) = P(z ≤ -2) = P(z ≤ -4,12) = -1,46 Área buscada Equivale a uno menos el resto del área: P(z ≤ -1,46) = 1 - P(z ≤ 1,46)

Distribución normal estándar P(1,03 ≤ z ≤ 1,46) = P(z ≤ 1,46) - P(z ≤ 1,03) = 0,9279 – 0,8485 = 0,0794 Si a ≥ 0, b ≥ 0, P(a ≤ z ≤ b) = P(z ≤ b) - P(z ≤ a) Calcule: P(1,17 ≤ z ≤ 2,75) = P(-2,15 ≤ z ≤ -0,67) = P(-1,45 ≤ z ≤ 3,2) = P(-2 ≤ z ≤ -2) = 1,46 Área buscada Equivale a la diferencia de las dos áreas acumuladas: P(1,03 ≤ z ≤ 1,46) = P(z ≤ 1,46) - P(z ≤ 1,03) 1,03

El diámetro interno de un anillo de pistón está normalmente distribuido con una media de 10 centímetros y desviación estándar de 0,03 cm. Calcule las probabilidades de que un anillo de pistón tenga un diámetro interno: De menos de 10,1 cm. Mayor de 10,07 cm. Por lo menos de 9,93 cm. Como máximo de 10,09 cm. Entre 9,97 y 10,03 cm. ¿Cuál es el valor máximo del 15% de los pistones con diámetro más pequeño? ¿Cuál es el valor máximo del 55% de los pistones con diámetro más pequeño?

Respuesta 1: De menos de 10,1 cm Datos: µ = 10,00 σ = 0,03 P(x ≤ 10,1) Solución: P(z < 3,33) = 0.9996 Respuesta: La probabilidad de que un anillo de pistón tenga un diámetro interno de menos de 10,1 cm es 99,96%.

Respuesta 2: Mayor de 10,07 cm Datos: µ = 10,00 σ = 0,03 P(x ≥ 10,07) Solución: P(z ≥ 2,33) = 1 - 0.9901 = 0.0099 Respuesta: La probabilidad de que un anillo de pistón tenga un diámetro interno de más de 10,07 cm es 0,99%.

Respuesta 3: Por lo menos de 9,93 cm Datos: µ = 10,00 σ = 0,03 P(x ≥ 9,93) Solución: P(z ≥ -2,33) = 0.9901 Respuesta: La probabilidad de que un anillo de pistón tenga un diámetro interno de más de 9,93 cm es 99,01%.

Respuesta 4: Como máximo de 10,09 cm Datos: µ = 10,00 σ = 0,03 P(x ≤ 10,09) Solución: P(z ≤ 3) = 0.9987 Respuesta: La probabilidad de que un anillo de pistón tenga un diámetro interno de menos de 10,09 cm es 99,87%.

Respuesta 5: Entre 9,97 y 10,03 cm Datos: µ = 10,00 σ = 0,03 P(9,97≤ x ≤10,09) Solución: Respuesta: La probabilidad de que un anillo de pistón tenga un diámetro interno entre 9,97 y 10,03 cm es 68,26%.

Respuesta 6: Valor máximo del 15% de los pistones con diámetro más pequeño Datos: µ = 10,00 σ = 0,03 P(x ≤ ?) 15% menor, z = ? Solución: z = -1,04 Respuesta: El valor máximo del 15% de los pistones con diámetro más pequeño es 9,97 cm.

Respuesta 7: Valor máximo del 55% de los pistones con diámetro más pequeño Datos: µ = 10,00 σ = 0,03 P(x ≤ ?) 55% menor, z = ? Solución: z = 0,125 Respuesta: El valor máximo del 55% de los pistones con diámetro más pequeño es 10,004 cm.

En Minitab Para estandarizar: Introducir valores de X en una columna Menú Calc Estandarizar Completar cuadro de diálogo: Columna de entrada Almacenar resultado Aceptar

En Minitab Resultado: Aparece en la columna establecida en la hoja de trabajo

En Minitab Para calcular probabilidad: Introducir valores de X en una columna Menú Calc Distribuciones de probabilidad Normal Completar cuadro de diálogo: Columna de entrada Almacenar resultado Aceptar

En Minitab Resultado: Aparece en la columna establecida en sesión Usar resultados para obtener probabilidades deseadas

En Minitab Para calcular valores de X: Menú Calc Distribuciones de probabilidad Normal Completar cuadro de diálogo: Distribución acumulada inversa Media y desviación estándar Constante de entrada Aceptar

En Minitab Resultado: Aparece en la columna establecida en sesión

Ejercicio Una persona dura de su casa al trabajo un promedio de 26 minutos. Se puede suponer que la distribución del tiempo de los viajes es normal. La desviación estándar es de 3,5 minutos. ¿De cuánto es la probabilidad de que llegue tarde a una reunión programada para 8:50 a.m. si ese día salió de su casa a las 8:35? ¿Cuántas veces de las 120 que viajó el último semestre llegó a tiempo, si debe estar en su oficina a las 9:00 a.m. y acostumbra salir de su casa a las 8:30? Encuentre el tiempo máximo que le tomó el 62% de los viajes más rápidos.

Respuesta 1: probabilidad de que llegue tarde Datos: µ = 26 σ = 3,5 P(x ≥ 15) Solución: Usando Minitab: P(z ≥ -3,14) = 0.9992 Respuesta: La probabilidad de que llegue tarde es 99,92%.

Respuesta 2: número de veces que llegó temprano Datos: µ = 26 σ = 3,5 P(x ≤ 30) 120 viajes Solución: Usando Minitab: P(z ≤ 1,14) = 0.8729 Número de veces: 0,8729 x 120 = 104,75 Respuesta: Se espera que haya llegado a tiempo 104,75 veces.

Respuesta 3: tiempo máximo que le tomó el 62% de los viajes más rápidos Datos: µ = 26 σ = 3,5 P(x ≤ ?) 62% menor, z = ? Solución: z = 0,31 Respuesta: El tiempo máximo del 62% de los viajes más rápidos es 27,09 minutos.

Distribución Gamma

Distribución Gamma En estadística la distribución gamma es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros alfa y beta cuya función de densidad para valores x > 0 es: Aquí e es el número e y  es la función gamma. Para valores  = 1, 2, … la aquella es () = ( − 1)!

Distribución Gamma Se utilizan a menudo para modelar datos asimétricos positivamente cuando las variables aleatorias son superiores a 0. Por ejemplo, la distribución gamma puede describir el tiempo que transcurre para que un componente eléctrico falle. La mayoría de los componentes eléctricos de un tipo determinado fallará aproximadamente en el mismo momento, mientras que pocos tardarán más en fallar. La distribución gamma se utiliza comúnmente en estudios de supervivencia de confiabilidad.

Ejemplo Suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estos ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas. Obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo. Dentro de una desviación con respecto del tiempo promedio. A más de dos desviaciones por encima de la media.

Respuesta 1: Dentro de una desviación con respecto del tiempo promedio Datos: X: Lapso (hrs)  = 2  = 1/50 Solución: Respuesta: La probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo sea dentro de una desviación con respecto del tiempo promedio es 73.75%

Respuesta 2: A más de dos desviaciones por encima de la media Datos: X: Lapso (hrs)  = 2  = 1/50 Solución: Respuesta: La probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo sea a más de dos desviaciones por encima de la media es 4.66%

En Minitab Para calcular probabilidad: Introducir valores de X en una columna Menú Calc Distribuciones de probabilidad Gamma Completar cuadro de diálogo: Probabilidad acumulada Parámetro de forma: alfa Parámetro de escala: beta Columna de entrada Aceptar

En Minitab Resultado: Aparece en la columna establecida en sesión

En Minitab Para calcular probabilidad: Introducir valores de X en una columna Menú Calc Distribuciones de probabilidad Gamma Completar cuadro de diálogo: Probabilidad acumulada Parámetro de forma: alfa Parámetro de escala: beta Columna de entrada Aceptar

En Minitab Resultado: Aparece en la columna establecida en sesión

Ejercicio Suponga que el tiempo, en horas, que toma reparar una bomba es una variable aleatoria x que tiene una distribución gamma con parámetros alfa = 2 y beta = 1/2. ¿Cuál es la probabilidad de que en el siguiente servicio tome: cuando mucho 1 hora reparar la bomba? al menos se requieren 2 horas para reparar la bomba?

En Minitab Para calcular probabilidad: Introducir valores de X en una columna Menú Calc Distribuciones de probabilidad Gamma Completar cuadro de diálogo: Probabilidad acumulada Parámetro de forma: alfa Parámetro de escala: beta Columna de entrada Aceptar

En Minitab Resultado: Aparece en la columna establecida en sesión: P = 0.5934 – 0 = 0.5934

Ejercicio En cierta ciudad el consumo diario de energía eléctrica, en millones de kilovatios por hora, puede considerarse como una variable aleatoria con distribución GAMMA de parámetros alfa = 3 y beta = 2. La planta de energía de esta ciudad tiene una capacidad diaria de 10 millones de KW/hora. ¿Cuál es la probabilidad de que este abastecimientos sea: Insuficiente en un día cualquiera? Se consuman entre 3 y 8 millones de K. W./Hora?

Solución en Minitab Busca P(X > 10) = 1 – P(X ≤ 10) Para calcular probabilidad: Introducir valores de X en una columna Menú Calc Distribuciones de probabilidad Gamma Completar cuadro de diálogo: Probabilidad acumulada Parámetro de forma: alfa Parámetro de escala: beta Columna de entrada Aceptar

Solución en Minitab Resultado: Aparece en la columna establecida en sesión: P(X > 10) = 1 – P(X ≤ 10) = 1 – 0.8753 = 0.1247

Solución en Minitab Busca P(3 < X < 8) = P(X ≤ 8) – P(x ≤ 3) Para calcular probabilidad: Introducir valores de X en una columna Menú Calc Distribuciones de probabilidad Gamma Completar cuadro de diálogo: Probabilidad acumulada Parámetro de forma: alfa Parámetro de escala: beta Columna de entrada Aceptar

Solución en Minitab Resultado: Aparece en la columna establecida en sesión: P(3 < X < 8) = P(X ≤ 8) – P(x ≤ 3) = 0.7619 – 0.1912 = 0.5707

Distribución exponencial

Distribución exponencial Si un evento ocurre en el contexto de un proceso de Poisson, entonces la extensión temporal o espacial entre dos eventos sucesivos sigue una distribución exponencial de probabilidad. Esta distribución se emplea para determinar la probabilidad de ocurrencia de un evento dado en un intervalo de tiempo dado o en un área o volumen específico.

Distribución exponencial Si λ es el número promedio de ocurrencias en el plazo de interés, entonces la probabilidad exponencial de que el primer evento ocurra en el intervalo temporal o especial determinado es: Y la probabilidad exponencial de que el primer evento no ocurra en el intervalo temporal o especial determinado es:

Ejemplo Un promedio de seis personas por hora hacen uso de un cajero automático de un banco durante una hora pico: ¿Cuál es la probabilidad de que pasen al menos diez minutos entre la llegada de dos clientes? ¿Cuál es la probabilidad de que tras la salida de un cliente, llegue otro en al menos 20 minutos?

Respuesta 1: que pasen al menos diez minutos entre la llegada de dos clientes Datos: λ = 6 pers/hr. Pero como son 10 minutos: λ = 1 P(no ocurra) Solución: Respuesta: La probabilidad de que pasen al menos diez minutos entre la llegada de dos clientes es 36,79%.

En Minitab Para calcular probabilidad: Introducir valores de X en una columna Menú Calc Distribuciones de probabilidad Exponencial Completar cuadro de diálogo: Escala (1/λ = 1/1) Columna de entrada Aceptar

En Minitab Resultado: Aparece en la columna establecida en sesión Usar resultados para obtener probabilidades deseadas

Respuesta 2: Tras la salida de un cliente llegue otro en al menos 20 minutos Datos: λ = 6 pers/hr. Pero como son 20 minutos: λ = 2 P(ocurra) Solución: Respuesta: La probabilidad de que tras la salida de un cliente llegue otro en al menos 20 minutos es 86,47%.

En Minitab Para calcular probabilidad: Introducir valores de X en una columna Menú Calc Distribuciones de probabilidad Exponencial Completar cuadro de diálogo: Escala (1/λ = ½ = 0.5) Columna de entrada Aceptar

En Minitab Resultado: Aparece en la columna establecida en sesión Usar resultados para obtener probabilidades deseadas

Ejercicio Los clientes de un supermercado llegan en promedio de 1 por minuto. Halle la probabilidad de que transcurran: Por lo menos 3 minutos después de la llegada del último cliente y el próximo. Entre 2 minutos y 4 minutos. A lo más 2 minutos.

En Minitab Busca P(X > 3) = 1 – P(X ≤ 3) Para calcular probabilidad: Introducir valores de X = 1 en una columna Menú Calc Distribuciones de probabilidad Exponencial Completar cuadro de diálogo: Escala (1/λ = 1/3 = 0.3333) Columna de entrada Aceptar

En Minitab Resultado: Aparece en la columna establecida en sesión: P(X > 3) = = 1 – P(X ≤ 3) = 1 – 0,9502 = 0.0498

En Minitab Busca P(2 < X < 4) = P(X ≤ 4) – P(x ≤ 2) Para calcular probabilidad: Introducir valores de X = 1 en una columna Menú Calc Distribuciones de probabilidad Exponencial Completar cuadro de diálogo: Escala (1/λ = 1/2) Columna de entrada Aceptar

En Minitab Resultado: Aparece en la columna establecida en sesión: P(2 < X < 4) = = P(X ≤ 4) – P(x ≤ 2) = 0.9817 – 0.8647 = 0.1170

En Minitab Busca P(X ≥ 2) Para calcular probabilidad: Introducir valores de X = 1 en una columna Menú Calc Distribuciones de probabilidad Exponencial Completar cuadro de diálogo: Escala (1/λ = 1/2) Columna de entrada Aceptar

En Minitab Resultado: Aparece en la columna establecida en sesión: P(X ≥ 2) = = 0.8647

Distribución T de Student

Distribución T de Student En la generalidad de los casos, no disponemos de la desviación estándar de la población, sino de una estimación calculada a partir de una muestra extraída de la misma y por lo tanto no podemos calcular Z.  En estos casos calculamos el estadístico T: con v: grados de libertad

Ejemplo El gerente de una fábrica de cierto tipo de alimentos asegura que el peso promedio del producto que elabora es de 165,285 grs. Un inspector toma una muestra de 16 paquetes del producto y los pesa. Los resultados fueron los siguientes (en grs.): 165, 158, 153, 162, 171, 175, 173, 169, 166, 170, 164, 177, 148, 167, 152, 149 Encuentre la probabilidad de que el peso sea menor de 163,6875 grs.

En Minitab Primero hay que calcular la media y la desviación estándar de la muestra. Se introducen los datos en la hoja de trabajo.

En Minitab En el menú Estadísticas Estadística básica Mostrar estadísticas descriptivas Se selecciona la columna de los datos En el botón estadísticas se selecciona Media y Desviación Estándar

En Minitab Luego se calcula el valor de t calculado:  = 165,285, s = 9,24, n = 16 t =(163,69-165,285)/(9,24/RAIZ(16)) t = -0,6905 Luego se introduce el valor calculado en la hoja de datos. Después Menú Calc Distribuciones de probabilidad t Grados de libertad: 16 – 1 = 15

En Minitab El resultado aparece en la sesión. La probabilidad de que el peso sea menor de 163,6875 grs. es 25,02%.

Distribución Chi-cuadrada

Distribución Chi-cuadrada Es una distribución de probabilidad continua con un parámetro v, que representa los grados de libertad. La forma de 2 depende del número de grados de libertad. La función de densidad es: x > 0, n > 0 donde: v = grados de libertad = Función Gamma e = base del logaritmo natural

Ejemplo Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribución normal con una desviación estándar =1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.

Ejemplo Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue: El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s2>2) es de 1%.

En Minitab El valor calculado de 2 se introduce en la hoja de trabajo. Después Menú Calc Distribuciones de probabilidad Chi-cuadrada Probabilidad acumulada Grados de libertad: 16 Columna de entrada

En Minitab El resultado aparece en la sesión. La probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2 es 1 – 0,99 = 0,01.

Ejercicios

Ejercicio En una distribución exponencial: A. La media de la distribución equivale a uno entre lambda B. La variancia de la distribución equivale a uno entre lambda al cuadrado Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que: ( ) Son verdaderas ambas ( ) Solo B es verdadera ( ) Son falsas ambas ( ) Solo A es verdadera R/ ambas

Ejercicio ¿Cuál de las siguientes es falsa acerca de los datos que sigue la distribución normal? ( ) El promedio es el mismo que el modo ( ) La desviación estándar es la misma que la media ( ) La mediana es el mismo que el modo ( ) La mayoría de los datos está dentro de 3 desviaciones estándar con respecto a la media R/ La desviación estándar es la misma que la media

Ejercicio Cuando un cliente llama a la Línea de Ayuda en ABC Informática Software, Co., la cantidad de tiempo que un cliente debe esperar en suspenso hasta que alguien responde a la línea y ayuda a que el cliente siga un distribución exponencial con media de 7,5 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente espera más de 10 minutos para recibir ayuda? R/ 0,2636

Respuesta : que un cliente espera más de 10 minutos para recibir ayuda Datos: 7,5 min => λ = 8 pers/hr. Pero como son 10 minutos: λ = 1,3333 P(no ocurra) Solución: Respuesta: La probabilidad de que un cliente espera más de 10 minutos para recibir ayuda es 26,36%.

En Minitab Para calcular probabilidad: Introducir valores de X en una columna Menú Calc Distribuciones de probabilidad Exponencial Completar cuadro de diálogo: Escala (1/λ = 1/1,3333=0,75) Columna de entrada Aceptar

En Minitab Resultado: Aparece en la columna establecida en sesión Usar resultados para obtener probabilidades deseadas: 1 – 0,7364 = 0,2636

Ejercicio La cantidad de tiempo que los estudiantes de una universidad trabaja por semana se distribuye con una distribución normal con media de 18,17 horas y una desviación estándar de 12,92 horas. ¿Cuál es el percentil 90 para la cantidad de tiempo que los estudiantes trabajan por semana? R/ 34,7

Ejercicio La distribución que permite obtener respuesta a preguntas relacionadas con la probabilidad de que un evento ocurra en determinado plazo, el tiempo entre dos eventos sucesivos o el tiempo que transcurre desde un determinado punto temporal hasta un primer evento, se llama: ( ) Exponencial ( ) Normal ( ) Geométrica ( ) Poisson  R/ Exponencial

Ejercicio Una empresa productora de cigarrillos solicita que se realice un estudio a nivel nacional del consumo de cigarrillos. La distribución nacional del consumo de cigarrillos da una media, entre fumadores, de 15 cigarrillos diarios con una desviación estándar de 2.5 cigarrillos. Bajo el supuesto de que el consumo de cigarrillos sigue una distribución aproximadamente normal, determine para el fumador: El porcentaje que fuman más de 11 cigarrillos. Dibuje el área de interés bajo la curva. La probabilidad de que se fume entre 8 y 20 cigarrillos. Si se considera una muestra de 1.000 fumadores, ¿cuántos se espera que fumen menos de 17 cigarrillos al día?. ¿Cuál es el número mínimo de cigarrillos que fuma un fumador que está dentro del 30 % de los que más fuman? ¿Entre qué valores simétricamente opuestos a la media, se encuentra el 80% de los fumadores? R. 0.9452, 0.9746, 788.1, 16.3, entre 11.8 y 18.2

Ejercicio Un informe reciente de la revista BusinessWeek, señalaba que 20 de cada 100 de los empleados roban algún artículo de la empresa cada año. Calcule cada una de las siguientes probabilidades: Menos de 5 empleados de un total de 12, roben a la empresa. Exactamente 12 empleados de 15, no roben a la empresa. Más de 8 de un total de 14, roben a la empresa. Menos de 6 y más de 10 de un total de 12, roben a la empresa. R./ 0.9274, 0.2501, 0.0004, 0.9806

Se ha observado que en promedio 4 personas por mes solicitan vía Internet, un cierto modelo de cámara fotográfica digital, dada las ventajas tecnológicas que ofrece este medio de compra. ¿Cuál es la probabilidad de que en un periodo de: medio mes, exactamente 3 personas soliciten ese modelo de cámara? mes y medio, se soliciten menos de 4 cámaras de ese modelo?. un mes, entre 6 y 12 personas (incluyendo los extremos), soliciten ese modelo de cámara? ¿Cuántas cámaras, se espera sean solicitadas en un periodo de 3 meses?

Las comisiones anuales que percibieron los representantes de ventas de cierta empresa, siguen una distribución de probabilidad normal. El monto anual medio percibido es de $40000, y la desviación estándar de $5000. ¿Qué porcentaje de representantes de ventas percibe entre $33500 y $47700? Si se pretende premiar al 20% de los representantes de ventas que perciben mayores comisiones, ¿cuál es el monto límite entre los que obtienen el premio y los que no?