Teorema del Seno y del Coseno Prof. Guillermina E. Vosahlo ISFD Aguilares Tucumán

Se desea cambiar los cables que sostienen una antena. No se conoce sus longitudes. Las únicas medidas que se pueden tomar son los ángulos que forman los cables con el piso, que son de 65º y 48º, y la distancia entre los puntos donde están sujetos los cables al piso, que es de 20m. ¿Cuánto miden los cables? A C B c a Situación 1

A C B c a Igualando ambas expresiones: c.sen67º = b.sen48º De manera análoga se determina que a = 19,69m

Igualando (1) y (2): c.senA = a.senC Dividiendo ambos miembros por senA.senC: De manera análoga se obtienen las otras igualdades.

A C B c a Situación 1 El conocimiento del teorema, facilita el proceso de cálculo.

Del faro al centro de la ciudad hay una distancia de 3km y del faro al puerto 4km. Los caminos forman un ángulo de 70º. Se desea construir un camino directo del centro al puerto, ¿qué longitud tendrá? Situación 2

70º 3 km 4 km F C P x x2 = (3.sen70º)2 + (4-3.cos70º)2 x2 = 32 + 42 -2.3.4.cos70º x = 4,1km Desarrollando el cuadrado de binomio y usando identidad fundamental: sen270º+cos270º =1

Teorema del coseno: a2 = b2 + c2 – 2b.c.cosA En todo triángulo oblicuángulo, el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de los dos lados por el coseno del ángulo comprendido entre éstos. Caso: Triángulo acutángulo. Se traza la altura h. a2= c2sen2A + b2+ c2cos2A –2bc.cosA = b2+c2-2bc.cosA . .

70º 3 km 4 km F C P x Usando Teorema del Coseno: x2 = (3km)2+(4km)2-2.3km.4km.cos70º x2 = 16,79 km2 x = 4,1 km El conocimiento del teorema, facilita el proceso de cálculo. Situación 2

Situación 3 5km 6km Juan caminó 5km desde la iglesia hasta el monumento del parque. Luego caminó 6km desde el monumento hasta el centro. El ángulo que forman estas trayectorias es de 120º. Si hubiera caminado directamente desde la iglesia al centro, ¿qué distancia hubiera recorrido?

120º 5km 6km x I C M x2 = (5km.sen60º)2 + (6km+ 5km.cos60º)2 Desarrollando cuadrado de binomio, usando identidad fundamental trigonométrica, y que cos60º = -cos120º, se obtiene: x2 = (5km)2+ (6km)2 - 2.5km.6km.cos120º  x = 9,5km

Teorema del coseno: a2 = b2 + c2 – 2b.c.cosA Caso: Triángulo obtusángulo Se traza la altura h. a2= c2sen2a + b2+ c2cos2a +2bc.cosa (cuadrado binomio) a2=b2+c2-2bc.cosA (identidad fundamental y cosa=-cosA) A B C H h a = 180º - A  a b c . . .

Situación 3 5km 6km Usando Teorema del Coseno: x2 = (5km)2+(6km)2-2.5km.6km.cos120º x2 = 91 km2 x = 9,5 km

Resolución de triángulos oblicuángulos Si se conoce los tres lados: Usando Teorema del Coseno se determina un ángulo. Luego se puede usar Teorema del Seno o del Coseno para determinar otro ángulo. El tercer ángulo se determina por suma de ángulos interiores de un triángulo.

Si se conoce dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos: Usando Teorema del Seno se determina el ángulo opuesto al otro lado dado. El tercer ángulo se determina por suma de ángulos interiores de un triángulo. El tercer lado se determina por Teorema del Seno o del Coseno. Si se conoce dos lados y el ángulo comprendido: Usando Teorema del Coseno se determina el tercer lado. Luego se puede usar Teorema del Seno o del Coseno para determinar otro ángulo. El tercer ángulo se determina por suma de ángulos interiores de un triángulo.

Si se conoce dos ángulos y el lado común a ambos: El tercer ángulo se determina por suma de ángulos interiores de un triángulo. Usando Teorema del Seno se determina otro lado. El tercer lado se determina por Teorema del Seno o del Coseno. Si se conoce dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos: Usando Teorema del Seno se determina el lado opuesto al otro ángulo dado. El tercer ángulo se determina por suma de ángulos interiores de un triángulo. El tercer lado se determina por Teorema del Seno o del Coseno.

FIN