geometria_analitica_espacial

+6

No comments posted yet

Comments

Slide 1

1ª coordenada 2ª coordenada 3ª coordenada Puntos en el ESPACIO

Slide 2

VECTORES en el ESPACIO

Slide 3

· P -El módulo, la dirección y el sentido de un vector libre serán el de uno cualquiera de sus representantes. VECTORES en el ESPACIO

Slide 4

Operaciones con vectores libres SUMA: Dados dos vectores libres, siempre podemos colocar el origen de uno de ellos en el extremo del otro. El vector que resulta de unir el origen del primero con el extremo del segundo recibe el nombre de vector suma de los anteriores. PRODUCTO POR ESCALARES (no nulos): Dado un vector libre, el vector producto por el número real no nulo k, es otro vector libre que tiene como módulo el del vector original multiplicado por el valor absoluto del nº, dirección la misma que el vector original y sentido el mismo que el vector original si el nº es positivo, y contrario si el nº es negativo. Operaciones con vECTORES

Slide 5

Se puede comprobar que (V3,+,·) es un espacio vectorial. Un vector libre depende linealmente de otro si tienen la misma dirección (son proporcionales, es decir, el primero es igual al producto de un nº por el segundo). En caso contrario se dice que son linealmente independientes: Un vector libre del espacio depende linealmente o es combinación lineal de otros dos si puede expresarse como suma de dos que sean linealmente dependientes con los dados: Cualquier vector libre del espacio es combinación lineal de otros tres que sean no nulos y no proporcionales. Así, diremos que tres vectores libres del plano que sean linealmente independientes forman una base de V3. -Si los vectores de la base tienen módulo 1, tendremos una base unitaria. -Si los vectores de la base son perpendiculares, tendremos una base ortogonal. -Si la base es unitaria y ortogonal, tendremos una base ortonormal o canónica. La base canónica de V3 está formada por Dependencia lineal. Base Análogamente se haría la definición de dependencia lineal respecto a tres vectores.

Slide 6

Ya que todos los vectores libres del espacio se pueden expresar en función de la base canónica de V3 , llamaremos coordenadas cartesianas de un vector a los tres números reales que permiten expresar ese vector como combinación lineal de los básicos: Coordenadas de un VECTOR Para obtener un vector unitario basta dividir uno cualquiera entre su módulo.

Slide 7

PUNTOS IMPORTANTES 1) Vector determinado por dos puntos del espacio: 2) Punto medio de un segmento:

Slide 8

El producto escalar de dos vectores es el número real obtenido al multiplicar sus módulos por el coseno del ángulo que forman: La interpretación geométrica sería que el valor absoluto del producto escalar de dos vectores es igual que el producto del módulo de uno de ellos por el de la proyección del otro sobre él: Producto escalar

Slide 9

El producto vectorial de dos vectores es otro vector con: -Módulo: -Dirección: perpendicular al plano que contiene a ambos vectores -Sentido: según la regla del sacacorchos, al girar hasta llegar a La interpretación geométrica sería que el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que determinan ambos: Producto vectorial

Slide 10

El producto mixto de tres vectores es el número real obtenido al hacer el producto escalar del primero por el vector obtenido al hacer el producto vectorial de los otros dos: La interpretación geométrica sería que el valor absoluto del producto mixto de tres vectores es igual que el volumen del paralelepípedo que determinan: Producto mixto

Slide 11

Elementos geométricos, dimensión y grados de libertad -Elementos geométricos fundamentales en el espacio: punto, recta, curva, plano y superficie Estos elementos pueden determinarse mediante ecuaciones paramétricas (tantas como dimensión tenga el espacio -nº de coordenadas-) o ecuaciones implícitas. -La dimensión o grados de libertad de un elemento, es el número de parámetros que aparecen en sus ecuaciones paramétricas. Las rectas y curvas tienen dimensión 1 Los planos y superficies tienen dimensión 2 -El número de ecuaciones implícitas que definen a un elemento geométrico es igual a la diferencia entre la dimensión del espacio y la dimensión del objeto. Las rectas y curvas se definen mediante 2 ecuaciones implícitas Los planos y superficies tiene dimensión 1 ecuación implícita -Las rectas se identifican porque sus ecuaciones implícitas son polinomios de primer grado. -Los planos se identifican porque su ecuación implícita es un polinomio de primer grado.

Slide 12

Rectas en el ESPACIO La ecuación de una recta es la expresión algebraica que permite decidir qué puntos del espacio pertenecen o no a la misma.

Slide 13

ECUACIoNes DE UNA Recta Despejando λ en las tres ecuaciones e igualando Coordenadas del vector obtenido a partir de los dos puntos Despejando todo e igualando a 0 (cogiendo las igualdades de dos en dos) -Para calcular un punto, se da un valor a una de las variables (un grado de libertad), y se resuelve el sistema para calcular el valor de las otras dos. -Para calcular un vector de dirección, se calculan dos puntos de la recta, y se hace el vector que determinan.

Slide 14

1º Elegimos un vector de dirección y un punto en cada recta. 2º Calculamos el vector que determinan los puntos elegidos. 3º Estudiamos lo que les pasa a dichos vectores, existiendo las siguientes posibilidades: POSICIONES RELATIVAS 2 rectas Los vectores directores de las dos rectas son proporcionales (linealmente dependientes, tienen la misma dirección). Entonces pueden ocurrir dos cosas: a.1) El vector que determinan los dos puntos también es proporcional con los anteriores: LAS RECTAS SON COINCIDENTES a.2.) El vector que determinan los dos puntos NO es proporcional con los anteriores: LAS RECTAS SON PARALELAS b) Los vectores directores de las dos rectas NO son proporcionales (linealmente independientes, tienen distinta dirección). Entonces pueden ocurrir dos cosas: b.1) El vector que determinan los dos puntos es combinación lineal de los anteriores: LAS RECTAS SON SECANTES b.2.) El vector que determinan los dos puntos NO es combinación lineal de los anteriores: LAS RECTAS SE CRUZAN Si un punto de una pertenece también a la otra, son coincidentes. En caso contrario son paralelas.

Slide 15

POSICIONES RELATIVAS 2 rectas

Slide 16

ECUACIóN DE UN plano Operando e igualando coordenadas -Para calcular un punto, se da un valor a dos de las variables (dos grados de libertad), y se calcula el valor de la otra.

Slide 17

POSICIONES RELATIVAS 2 planos 1º Elegimos un vector normal a cada plano. 2º Estudiamos lo que les pasa a dichos vectores, existiendo las siguientes posibilidades: a) Los vectores son proporcionales (módulo del producto vectorial nulo). Entonces pueden ocurrir dos cosas: a.1) PLANOS COINCIDENTES (si un punto de uno de ellos pertenece también al otro). a.2) PLANOS PARALELOS (si un punto de uno de ellos no pertenece al otro). b) Los vectores no son proporcionales (módulo del producto vectorial no nulo). b.1) PLANOS SECANTES (en una recta)

Slide 18

POSICIONES RELATIVAS 2 planos

Slide 19

POSICIONES RELATIVAS recta-plano 1º Elegimos un vector normal al plano y un vector de dirección de la recta. 2º Realizamos el producto escalar de los dos. 3º Estudiamos lo que les pasa a dichos vectores, existiendo las siguientes posibilidades: a) Los vectores son perpendiculares (producto escalar nulo). Entonces pueden ocurrir dos cosas: a.1) RECTA CONTENIDA EN EL PLANO (si un punto de la recta pertenece también al plano, o viceversa). a.2) RECTA PARALELA AL PLANO (si un punto de la recta no pertenece al plano, o viceversa). b) Los vectores no son perpendiculares (producto escalar no nulo). b.1) RECTA Y PLANO SECANTES (en un único punto)

Slide 20

POSICIONES RELATIVAS recta-plano

Slide 21

POSICIONES RELATIVAS 3 planos

Slide 22

HAZ DE PLANOS

Slide 23

ÁNGULOS Ángulo entre dos rectas -Coincidentes o paralelas: 0º -Secantes: Menor de los ángulos que determinan. Por tanto, será siempre un ángulo agudo o recto. -Se cruzan: Menor de los ángulos que forma la paralela a una de ellas que corta a la otra. Cálculo a partir de los vectores directores:

Slide 24

ÁNGULOS Ángulo entre dos planos -Coincidentes o paralelos: 0º -Secantes: Menor de los ángulos diedros que determinan. Cálculo a partir de los vectores normales:

Slide 25

ÁNGULOS Ángulo entre recta y plano -Recta contenida en el plano o paralela: 0º -Secantes: Ángulo que forma la recta con su proyección ortogonal sobre el plano (que es el complementario del ángulo que forman el vector director de la recta y el vector normal al plano). Cálculo a partir de los vectores:

Slide 26

DISTANCIAS Distancia entre dos puntos: Módulo del vector que determinan. Distancia de un punto a un plano: Mínima distancia entre dicho punto y cualquier punto del plano.

Slide 27

DISTANCIAS Distancia entre dos planos: Mínima distancia de un punto cualquiera de un plano al otro. -Si son secantes o coincidentes: 0 -Si son paralelos: Distancia de un punto a una recta: Mínima distancia entre el punto y cualquier punto de la recta.

Slide 28

DISTANCIAS Distancia entre dos rectas: Mínima distancia de un punto cualquiera de una recta a la otra. -Si son secantes o coincidentes: 0 -Si son paralelas: distancia de un punto de una de ellas a la otra. -Si se cruzan: Calcular el plano paralelo a una recta y que contiene a la otra, y reducimos el problema al cálculo de la distancia de una recta a un plano. Consideramos el vector determinado por un punto de cada recta y los vectores directores de las mismas. La distancia entre ambas es la altura del paralelepípedo que determinan dichos vectores: Distancia de una recta a un plano: Mínima distancia entre un punto de la recta y cualquier punto del plano. -Si son secantes o la recta está contenida en el plano: 0 -Si son paralelos: Distancia de un punto de la recta al plano

URL:
More by this User
Most Viewed