¿Cómo osamos hablar de leyes del azar? ¿No es, acaso, el azar la antítesis de cualquier ley? Bertrand Rusell PROBABILIDAD La probabilidad de tener un accidente de tráfico aumenta con el tiempo que pasas en la calle. Por tanto, cuanto mas rápido circules, menor es la probabilidad de que tengas un accidente. El 33 % de los accidentes mortales involucran a alguien que ha bebido. Por tanto, el 67 % restante ha sido causado por alguien que no había bebido. A la vista de esto y de lo anterior, esta claro que la forma más segura de conducir es ir borracho y a gran velocidad.

Experimento determinista Un experimento determinista es cualquier situación que, realizada en las mismas condiciones, proporciona un único resultado, conocido antes de hacerlo (a priori). Ejemplos: * Calentar agua a 100º = Vapor de agua * Soltar un objeto = El objeto se cae * Trióxido de Azufre + Agua = Ácido Sulfúrico: SO3 + H2O =H2SO4 Los experimentos deterministas son modelizados mediante ecuaciones que relacionan la respuesta con las causas.

Experimento aleatorio Un experimento aleatorio es cualquier situación que, realizada en las mismas condiciones, puede tener diferentes resultados, que además son imposibles de predecir a priori. Ejemplos: * Lanzar un dado * Extraer una carta de una baraja * Se lanza una moneda. Si sale cara, se extrae una bola de una urna con una determinada composición de bolas de colores. Si sale cruz, se extrae una bola de otra urna con otra composición de bolas de colores ¿Existe algún modelo para describir estas situaciones?

Espacio muestral El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se llama espacio muestral (E). El espacio muestral puede ser finito o infinito. Ejemplos: Experimento aleatorio: “Lanzar un dado y observar el resultado” Espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Experimento aleatorio: “Resultado de un partido de fútbol” Espacio muestral E = {1, X, 2} Experimento aleatorio: “Lanzar una moneda y contar el número de lanzamientos realizados hasta obtener una cruz” Espacio muestral E = {1, 2, 3, 4,…} (infinito)

Ejemplo de experimento compuesto: Se considera el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda. Si sale cara, se extrae de una urna que contiene bolas azules y rojas una bola, y si sale cruz, se extrae una bola de otra urna que contiene bolas rojas y verdes. ¿Cuál es el espacio muestral E de dicho experimento aleatorio? E = {(C,R), (C,A), (+,R), (+,V)}

Algunos factores que hay que tener en cuenta para determinar los sucesos que forman parte del espacio muestral son: 1º Si el experimento es simple, esto es, se realiza en un solo paso y utilizando un único objeto: lanzar un dado, extraer una carta de la baraja,… 2º Si el experimento es compuesto, esto es, se realiza en varios pasos y/o utilizando varios objetos: lanzar tres monedas, extraer dos cartas de la baraja, lanzar una moneda y en función de lo que salga extraer una bola de una determinada urna,… En este caso hay que tener en cuenta: a) los objetos con los que realizamos el experimento son indistinguibles (no se pueden distinguir): monedas iguales, extraemos las dos cartas a la vez,… b) los objetos con los que realizamos el experimento son distinguibles (se pueden distinguir). Esto puede ser porque: -los objetos son diferentes: los dados son de colores o tamaños diferentes,… -realizamos el experimento en distintas fases: lanzamos una moneda dos veces, extraemos primero una bola de una urna y después la otra,… En este caso puede ser importante si realizamos el experimento: Con reemplazamiento: sacamos una carta, miramos lo que sale, la devolvemos al mazo y sacamos otra para volver a mirar lo que sale. Sin reemplazamiento: sacamos una bola de la urna, miramos su color y, sin devolverla, sacamos otra y volvemos a mirar su color. Determinación del espacio muestral

Sucesos Cada uno de los elementos que forman el espacio muestral se llama suceso elemental (o indivisible). Un suceso compuesto (o divisible) es un subconjunto cualquiera del espacio muestral, o sea, es la unión de al menos dos sucesos elementales. Ejemplo: Experimento aleatorio: “Lanzar un dado y observar el resultado” Espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Suceso A = “El resultado es par” = {2, 4, 6} (compuesto) Suceso B= “Sale un múltiplo de 6” = {6} (elemental) El espacio muestral es la unión disjunta de todos los sucesos elementales y, si es finito, tiene 2Card(E) elementos.

Sucesos especiales Un suceso A ocurre si, al realizar el experimento, el resultado es un elemento que pertenece a A. El suceso seguro es aquel que ocurre siempre. Correspondería con el espacio muestral E. El suceso imposible es aquel que no puede ocurrir en el experimento. Correspondería con el conjunto vacío Ø. Ejemplo: Resultado en un partido de fútbol. A=“Algún equipo obtiene puntos” → Seguro B=“Ningún equipo obtiene puntos” → Imposible C=“Gana el equipo de casa” → Suceso cualquiera

El suceso complementario o contrario de un suceso A, Ac, es el que está formado por los elementos del espacio muestral que no están en A (ocurre cuando NO ocurre A). Ejemplo: Experimento: Lanzar dos monedas distinguibles Espacio muestral: E = {(c,c) ; (c,+) ; (+,c) ; (+,+)} Suceso A = “obtener una cara” = {(c,+) ; (+,c)} Suceso Ac = {(c,c) ; (+,+)} Suceso B = “obtener dos cruces” = {(+,+)} Suceso Bc = {(c,c) ; (c,+) ; (+,c)} Operaciones con sucesos: COMPLEMENTARIO

Operaciones con sucesos: UNIÓN Ejemplo: Experimento: Lanzar dos dados de quinielas iguales a la vez Espacio muestral: E = {(1,1);(1,X);(1,2);(X,X);(X,2);(2,2)} Suceso A = “obtener sólo un 2” = {(1,2);(X,2)} Suceso B = “obtener al menos una X” = {(1,X);(X,X);(X,2)} Suceso A  B = {(1,X);(1,2);(X,X);(X,2)} El suceso unión de A y B, A  B, es el formado por los resultados que están en A o en B (ocurre cuando ocurre, al menos, uno de los dos).

Operaciones con sucesos: INTERSECCIÓN Ejemplo: Experimento: Lanzar dos dados de quinielas iguales a la vez Espacio muestral: E = {(1,1);(1,X);(1,2);(X,X);(X,2);(2,2)} Suceso A = “obtener sólo un 1” = {(1,X);(1,2)} Suceso B = “obtener al menos un 2” = {(1,2);(X,2);(2,2)} Suceso A  B = {(1,2)} El suceso intersección de A y B, A  B, es el formado por los resultados que están simultáneamente en A y en B (ocurre cuando ocurren los dos a la vez). A  B

Propiedades de las operaciones con sucesos UNIÓN: Conmutativa: A  B = B  A Asociativa: (A  B )  C = A  (B  C ) El. Neutro: A  Ø = A A  E = E Idempotente: A  A = A A  Ac = E INTERSECCIÓN: Conmutativa: A  B = B  A Asociativa: (A  B )  C = A  (B  C ) El. Neutro: A  E = A A  Ø = Ø Idempotente: A  A = A A  Ac = Ø Distributiva: * A(BC) = (AB)(AC) * A(BC) = (AB)(AC) COMPLEMENTARIO: Øc = E y Ec = Ø Involución: (Ac)c = A Leyes de MORGAN: (A  B)c = Ac  Bc (A  B)c = Ac  Bc

Operaciones con sucesos: Ejemplo Experimento: Lanzar un dado octaédrico Espacio muestral: E = {1,2,3,4,5,6,7,8} Suceso A = “obtener un número impar” = {1,3,5,7} Suceso B = “obtener un número mayor que 6” = {7,8} Entonces: * A  B ={1, 3, 5, 7, 8} y A  B = {7} * (A  B)c ={2, 4, 6} (A  B)c = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} * Ac ={2, 4, 6, 8} y Bc ={1, 2, 3, 4, 5, 6} * Ac  Bc = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} y Ac  Bc = {2, 4, 6} Leyes de MORGAN

Otras definiciones importantes -Dos sucesos incompatibles son aquellos que no pueden ocurrir a la vez, es decir, A  B = Ø. En caso contrario diremos que son sucesos compatibles. -Un sistema completo de sucesos o partición del espacio muestral es un conjunto de sucesos incompatibles dos a dos y cuya unión es el espacio muestral: -El suceso diferencia de A y B, A - B, es el formado por los resultados que están en A y no están en B: A-B = A  Bc.

Ejemplo Experimento: Lanzar tres monedas indistinguibles Espacio muestral: E = {(c,c,c) ; (c,c,+) ; (c,+,+) ; (+,+,+)} A = “obtener al menos dos caras” = {(c,c,+) ; (c,c,c)} Ac = {(c,+,+) ; (+,+,+)} B = “obtener tres cruces” = {(+,+,+)} C = “obtener exactamente una cara” = {(c,+,+)} Entonces: 1. A y Ac forman un sistema completo de sucesos: A  Ac = E y A  Ac = Ø 2. A, B y C forman otro sistema completo de sucesos: A  B  C = E y A  B = Ø A  C = Ø y B  C = Ø 3. Ac-B = Ac  Bc = {(c,+,+)}

Técnicas para contar -Exhaustivas: Escribir todos los resultados posibles (como en el ejemplo anterior). A veces son útiles las tablas de contingencia y los diagramas de árbol para ordenarlos. Tablas de contingencia: Diagramas en árbol:

Técnicas para contar -No exhaustivas: Contar los resultados sabiendo las características que cumplen. A veces es muy útil la combinatoria. * Permutaciones: ordenaciones de TODOS los elementos Sin repetición Con repetición * Variaciones: ordenaciones de NO TODOS los elementos donde importa el ORDEN Sin repetición Con repetición * Combinaciones: ordenaciones de NO TODOS los elementos donde NO importa el ORDEN Sin repetición Con repetición

Cuando se repite un experimento n veces y un suceso A ocurre k veces, la proporción k/n representa la frecuencia relativa de A. Probabilidad empírica Ley de la estabilidad de las frecuencias relativas o Ley del azar o Ley de los grandes números de Bernoulli: "Cuando realizamos un experimento aleatorio un número suficientemente elevado de veces, la frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en torno a un número (que se llama probabilidad de ocurrencia de dicho suceso)". Esta ley es tanto más fiable cuanto mayor es el número de experiencias realizadas.

Ejemplo y propiedades: La frecuencia relativa del suceso seguro es 1. La frecuencia relativa de cualquier suceso es no negativa. La frecuencia relativa de la unión de dos sucesos incompatibles es la suma de las frecuencias de ambos.

Si todos los sucesos elementales de un experimento son equiprobables, Laplace define la probabilidad de un suceso A como el cociente: Experimento: Lanzamiento de un dado A = “obtener un número mayor o igual a 5” B = “obtener un número impar” Los seis casos posibles son igualmente probables, cada uno con probabilidad 1/6. P(A) = 2/6 = 1/3 pues A ={5,6} tiene dos casos favorables P(B) = 3/6 = 1/2 pues B = {1,3,5} tiene tres casos favorables Probabilidad clásica: Regla de LAPLACE

Si una familia tiene cuatro hijos, que pueden ser niños o niñas, hay VR2,4 = 24 = 16 posibilidades para el sexo de los cuatro: HHHH ; MMMM Probabilidad de que todos sean del mismo sexo = 2/16 = 1/8 HHHM ; HHMH ; HMHH ; MHHH MMMH ; MMHM ; MHMM ; HMMM Probabilidad descomposición (3-1) = 8/16 = 1/2 HHMM ; HMHM ; HMMH ; MHHM ; MHMH ; MMHH Probabilidad de que haya la misma cantidad de ambos sexos = 6/16 = 3/8 Hemos contado los 16 casos posibles y 1/8 + 1/2 + 3/8 = 1. ¿A alguien le sorprende que aproximadamente en la mitad de las familias de cuatro hijos haya tres del mismo sexo? Otro ejemplo de aplicación de la regla de Laplace:

LOTERÍA PRIMITIVA Existen 13.983.816 posibles combinaciones de 6 números sobre 49 posibles, por lo que las probabilidades de acertar los diversos premios en la Primitiva son: 6 aciertos 1 entre 13.983.816 = 0,000 000 071 500 5+C aciertos 1 entre 2.330.636 = 0,000 000 429 5 aciertos 1 entre 55.491 = 0,000 018 4 aciertos 1 entre 1.032 = 0,000 969 = 0,097% 3 aciertos 1 entre 57 = 0,017 600 = 1,77% Reintegro 1 entre 10 = 0,100 = 10% 0 aciertos 1 entre 2,27 = 0,436 = 43,6% Como cada apuesta cuesta 1 €, para asegurarnos el premio deberíamos invertir en un sólo sorteo la cantidad de 13.983.816 €. Dicho de otro modo, podríamos estar durante 268.920 años haciendo cada semana una primitiva distinta... y ¡quizás no nos tocara nunca!

LOTERÍA NACIONAL -JUEVES: 6 series de 100.000 números (00.000-99.999) La probabilidad de que nos toque un primer premio de 100.000 € es de 1 entre 100.000 (número de billetes distintos) = 0,000 010 = 0,001% Pero además hay un premio de 200.000 € para ese número de una serie determinada, con lo que la probabilidad de obtener este premio mayor disminuye a 1 entre 600.000 (6 series de 100.000 números) = 0,000 001 666 = 0,0001% -NAVIDAD: 170 series de 85.000 billetes (00.000-84.999) La probabilidad de que nos toque “el gordo” (3.000.000 €) es de 1 entre 85.000 = 0,000 011 764.

QUINIELAS -Simples: 3 posibles resultados (1, X, 2) para cada uno de los 14 partidos. Hay VR3,14 posibilidades. La probabilidad de que nos toque la quiniela es de 1 entre 314 = 4.782.969, es decir, 0’000 000 2 = 0’000 020%. Lo que realmente importa cuando jugamos a un juego de azar, es la esperanza de obtener el Premio. En estas situaciones, la esperanza se calcula multiplicando el premio por la probabilidad de obtenerlo. Una esperanza matemática de 1 indica «juego justo», menor que uno «desfavorable para el jugador» y mayor que uno «favorable para el jugador». Casi siempre, cualquier juego real de apuestas tiene esperanza menor que 1, es decir, lo más probable es perder dinero. Por eso dicen que “las loterías son un impuesto del gobierno al desconocimiento de las matemáticas”. Ejemplo concreto: Para la Loto tradicional, la norma a grandes rasgos es que la esperanza matemática es mayor que 1 cuando la cantidad de premios total (el bote más el 55% de la cantidad que todos los jugadores apuestan ese día) es mayor de lo que valen 13,9 millones de apuestas (dado que la probabilidad de acertar es de 1 entre 13,9 millones) y esto ocurre en muy muy raras ocasiones.

Definición axiomática de probabilidad Se llama probabilidad a cualquier función P que asigna a cada suceso A del espacio muestral E un valor numérico P(A), verificando los siguientes axiomas: (1) No negatividad: 0 ≤ P(A) (2) Normalización: P(E) = 1 (3) Aditividad: P(A  B) = P(A) + P(B) si A y B son incompatibles (A ∩ B = Ø) “La Teoría de la Probabilidad, como disciplina matemática, puede y debe ser desarrollada a partir de unos axiomas, de la misma manera que la Geometría o el Álgebra”. Andrei Kolmogorov Foundations of the Theory of Probability

La probabilidad de que el parking de la escuela tenga entre 100 y 209, entre 210 y 309, entre 310 y 400 o más de 400 coches es de 0.20, 0.35, 0.25 y 0.12 respectivamente. ¿Qué probabilidad hay de que el parking tenga al menos 100 coches, pero menos de 401? Solución Puesto que los sucesos favorables 100-209, 210-309 y 310-400 son mutuamente excluyentes, la probabilidad pedida se calcula: 0,20 + 0,35 + 0,25 = 0,80 Ejemplo de aplicación del axioma de aditividad (3):

Ejemplo de aplicación del axioma de aditividad en un caso donde NO hay equiprobabilidad de los sucesos elementales y, por tanto, NO se puede aplicar la regla de Laplace: Si jugamos con un dado que está trucado de tal forma que la probabilidad de obtener una determinada cara es proporcional a la numeración de dicha cara. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo con dicho dado? P(1) = 1 × k P(2) = 2 × k P(3) = 3 × k P(4) = 4 × k P(5) = 5 × k P(6) = 6 × k

¿Qué probabilidad asignamos a cada suceso elemental? 1 = P(E) = P(1  2  3  4  5  6) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = = (1+2+3+4+5+6) × k = 21 × k Por tanto, k = 1/21 y resulta: P(1) = 1 × k = 1/21 ; P(2) = 2 × k = 2/21 P(3) = 3 × k = 3/21 ; P(4) = 4 × k = 4/21 P(5) = 5 × k = 5/21 ; P(6) = 6 × k = 6/21 Solución: P(A) = P("obtener número primo") = P(2  3  5) = = P(2) + P(3) + P(5) = 2/21 + 3/21 + 5/21 = 10/21 = 0,476

Consecuencias de los axiomas (I) Probabilidad de la intersección de sucesos incompatibles: Esta propiedad nos permite afirmar que si la probabilidad de la intersección de dos sucesos es 0, entonces son incompatibles.

Lanzamos 5 monedas simultáneamente. Encuentra la probabilidad del suceso A = “al menos sale una cara”. Asumimos que las monedas no están cargadas. Solución: Puesto que en cada moneda puede salir cara o cruz, el espacio muestral está compuesto por VR2,5 = 25 = 32 posibilidades. Como las monedas no están cargadas, todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad, que será de 1/32. El suceso Ac (ninguna cara) tiene solo una posibilidad, siendo entonces P(Ac) = 1/32 y la probabilidad pedida P(A) = 1 - P(Ac) = 31/32. Ejemplo de aplicación de la propiedad del complementario:

Consecuencias de los axiomas (II) Probabilidad de la diferencia de sucesos: Probabilidad de la unión de sucesos cualesquiera:

Otra demostración de la fórmula de la probabilidad de la unión de dos sucesos A y B cualesquiera: P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) Demostración: En la imagen podemos ver que A = C  D y B = D  E. Además C, D, E son disjuntos. Por el axioma 3: P(A) = P(C) + P(D) y P(B) = P(D) + P(E). Sumando: P(A) + P(B) = P(C) + P(D) + P(D) + P(E) Restando P(D) a ambos lados: P(A) + P(B) - P(D) = P(C) + P(D) + P(E), es decir: P(A) + P(B) - P(A  B) = P(A  B)

Generalización de propiedades Probabilidad de la unión finita de sucesos incompatibles (generalización del axioma 3): Probabilidad de la unión de tres sucesos cualesquiera:

La Probabilidad Geométrica tiene sus inicios en la Francia del siglo XVIII con el experimento de “la aguja de Buffon”, desarrollado por el célebre naturalista George Louis Leclerc (1707-1788), mejor conocido como el conde de Buffon. Aunque se le identifica más por su monumental obra “Histoire Naturelle” de 44 volúmenes, también estuvo profundamente intereresado por las pasiones humanas y los juegos de azar. A la edad de 26 años presentó a los miembros de la Academia de Ciencias de Paris otra forma de ver la Probabilidad usando Geometría. Otras definiciones de probabilidad: Definición geométrica de probabilidad

La aguja de Buffon

(2) Estás jugando a la ruleta y has observado que ha salido 6 veces seguidas un número rojo. ¿Es el momento de apostar al negro? (3) Los señores de Buenaesperanza tienen cinco niñas y esperan un nuevo hijo. ¿Será más probable que sea niño? La falacia del jugador (1) Edgar Allan Poe argumentaba en el epílogo de la narración detectivesca “El misterio de Marie Roget”, que si al lanzar un dado se sacaban cinco 2 seguidos, la probabilidad de sacar otro dos en la sexta tirada era inferior a 1/6.

Sucesos independientes Ni las monedas, ni las ruletas, ni los dados tienen memoria... Ese es justo el error (falacia) de todos los razonamientos comentados anteriormente. Cuando un suceso A tiene influencia sobre otro suceso B, decimos que los sucesos son dependientes. En caso contrario serán sucesos independientes. Este concepto es muy importante, ya que tiene mucha importancia a la hora de calcular probabilidades de sucesos de un experimento aleatorio compuesto.

Cuatro tipos de sucesos

Ejemplo: Lanzamos dos dados, uno rojo y otro blanco. ¿Cuál es la probabilidad de que sumen 3? X X

Supongamos que hemos lanzado ya el dado rojo y ha salido un 1. ¿Cuál es ahora la probabilidad de que sumen 3? X

Probabilidad condicionada La probabilidad de A condicionada a B o probabilidad de un suceso A sabiendo que se ha producido un suceso B: La probabilidad de B condicionada a A o probabilidad de un suceso B sabiendo que se ha producido un suceso A: Las probabilidades anteriores NO tienen porqué coincidir y ambas nos proporcionan dos fórmulas para calcular la probabilidad de la intersección.

Espacio restringido Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que una carta escogida al azar sea un as sabiendo que es roja?

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que una carta escogida al azar sea roja sabiendo que es un as? AS No-AS Roja AS No-AS Negra

1. Una vez que ha ocurrido un suceso, ya es seguro: 2. Cuando A y B son incompatibles, una vez que ha ocurrido uno de los sucesos, el otro es imposible: Consecuencias (I) 3. Si A y B son sucesos independientes, y . Por tanto: Esta propiedad nos permite afirmar que si la probabilidad de la intersección es igual que el producto de las probabilidades, entonces son independientes.

Consecuencias (II) 4. Si A es independiente de B, entonces: a) B es independiente de A. b) A y Bc también son independientes. c) Ac y B también son independientes. d) Ac y Bc también son independientes.

Vamos a comprobar la independencia de los lanzamientos de los dados blanco y rojo. Sean A=“dado rojo sale 1” y B=“dado blanco sale 1”. Sea C=“la suma de los dos dados es 3”. ¿Afecta el suceso A a la probabilidad de C? Independencia: Ejemplo

Una caja contiene 10 bolas, 3 son rojas. Escogemos dos bolas al azar. Encuentra la probabilidad de que ninguna de ellas sea roja realizando el experimento con y sin reemplazo. Consideremos los sucesos: A = “Primera bola no-roja” B = “Segunda bola no-roja” -Si el muestreo es con reemplazo, la situación para la segunda elección es igual que para la primera: P(B) = 7/10. Los sucesos son independientes y la respuesta es: P(A  B) = P(A) · P(B) = 0’7 · 0’7 = 0’49. -Si es sin reemplazo, hemos de tener en cuenta que una vez extraída la primera bola, quedan solo 9 y 3 deben ser rojas. Así P(B/A) = 6/9 = 2/3. En este caso la respuesta es: P(A  B) = P(A) · P(B/A) = (7/10) · (2/3)  0.47. Independencia: Ejemplo 2

Recordemos el ejemplo del lanzamiento de 5 monedas no cargadas simultáneamente. Encuentra la probabilidad del suceso A = “al menos sale una cara”. La probabilidad de que una moneda salga cara es 1/2 y de que salga cruz 1/2. Puesto que cada lanzamiento es independiente, la probabilidad de que salgan 5 cruces (ninguna cara) será: Probabilidad de que salga cruz Independencia: Ejemplo 3

Recordemos el ejemplo de la familia con 4 hijos. -Probabilidad de que todos sean del mismo sexo: -Probabilidad de la descomposición (3-1): -Probabilidad de la descomposición (2-2): Independencia: Ejemplo 4

Sistema completo de sucesos Un sistema completo de sucesos o partición del espacio muestral es una colección de sucesos A1, A2, A3, A4,… tales que la unión de todos ellos forma el espacio muestral y sus intersecciones son disjuntas dos a dos. Todo suceso B, puede ser descompuesto como unión disjunta de componentes de dicho sistema: B = ( B  A1 )  ( B  A2 )  ( B  A3 )  ( B  A4 )

Probabilidad total Si conocemos la probabilidad de un suceso B en cada uno de los componentes de un sistema completo de sucesos, entonces podemos calcular la probabilidad de B como la suma: P(B) = P(B  A1) + P(B  A2) + P( B  A3) + P( B  A4) = = P(B/A1) · P(A1) + P(B/A2) · P(A2) + P(B/A3) · P(A3) + P(B/A4) · P(A4)

Supongamos que A1, A2, ... , An son un sistema completo de sucesos o partición de E, es decir, que los sucesos son mútuamente excluyentes entre sí (Ai  Aj = para todo par) y su unión es E. Entonces: Teorema de la probabilidad total

Ejemplo: En una clase el 70% de los alumnos son hombres. De ellos el 10% son fumadores. El 20% de las mujeres son fumadoras. ¿Qué porcentaje de fumadores hay en total? Podemos aplicar la ley de la probabilidad total: Hombres y mujeres forman un sistema completo de sucesos. No fuma Fuma No fuma Fuma 0,7 0,1 0,2 0,3 0,8 0,9 Estudiante Mujer Hombre

Teorema de Bayes donde P(B) se calcula usando el teorema de la probabilidad total: Si conocemos la probabilidad de un suceso B en cada uno de los componentes de un sistema completo de sucesos, entonces … si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada uno de los sucesos del sistema completo:

Ejemplo: En el problema anterior, se elige un individuo al azar y resulta fumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una mujer? Podemos aplicar el teorema de Bayes: pretendemos calcular una probabilidad “a posteriori”.

Ejemplo: La probabilidad de que una mujer con edad comprendida entre los 40-50 tenga cáncer de mama es 0.8%. Si una mujer tiene cáncer de mama, la probabilidad de dar positivo en un test es del 90%. Si una mujer no tiene cáncer de mama, la probabilidad de positivo en el test es del 7%. Supongamos que una paciente da positivo en un test. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga cáncer de mama? 1000 mujeres 8 enfermas 992 no enfermas 7 positivos 1 negativo 69 positivos 923 negativos P(enferma / positivo) = 7 / (7+69) = 0.09

Observaciones En el ejemplo anterior, al llegar una mujer a la consulta tenemos una idea a priori sobre la probabilidad de que tenga cáncer de mama. A continuación se le hacen las pruebas correspondientes (test) que nos aportarán nueva información: sale positivo o no. En función del resultado tenemos una nueva idea (a posteriori) sobre la probabilidad de que tenga cáncer. Nuestra opinión a priori ha sido modificada por el resultado de un experimento. -¿Qué probabilidad tengo de tener cáncer? - En principio un 0,8%. Le haremos unas pruebas. - Ha salido positivo. La probabilidad ahora es del 9%.

Ejemplo: Supongamos que la incidencia del consumo de drogas en la población es del 5%. Hacemos una prueba de drogas, que tiene una fiabilidad del 95%, a un sujeto escogido al azar y el resultado es positivo. ¿Cuál es la probabilidad de que sea drogadicto?

[...] Quiero decir, para empezar: ¿a quién le importa si saco una bola blanca o una bola negra de una urna? Y segundo: si tan preocupado estás por el color de la bola que sacas, no lo dejes en manos del azar: ¡mira en la maldita urna y saca la bola del color que quieras! Stephanie Plum, después (suponemos) de pasar por un curso de probabilidad. A MODO DE CONCLUSIÓN

BIBLIOGRAFÍA: Esta presentación se ha hecho modificando, adaptando y ampliando otras realizadas por los profesores: -Bartolo Luque: http://www.estadisticaparatodos.es/materiales/probabilidad/probabilidad.html -Francisco Javier Barón López http://campusvirtual.uma.es/est_fisio/apuntes/