Função Logarítmica

Toda função definida pela lei de formação f(x) = logax, com x > 0, a ≠ 1 e a > 0, é denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais.  Exemplos de funções logarítmicas:  f(x) = log2x  f(x) = log1/2x  f(x) = log10x  f(x) = log2(x – 1)  f(x) = log0,5x

Determinando o domínio e a condição de existência da função logarítmica  Dada a função f(x) =log (x – 2)(4 – x), temos as seguintes restrições:  1) 4 – x > 0 → – x > – 4 → x < 4  2) x – 2 > 0 → x > 2  3) x – 2 ≠ 1 → x ≠ 1+2 → x ≠ 3  Realizando a intersecção das restrições 1, 2 e 3, temos:  D = {x Є R / 2 < x < 4 e x≠3} 

Gráfico de uma função logarítmica  Para a construção do gráfico da função logarítmica devemos estar atentos a duas situações:  Para a > 1, temos o gráfico da seguinte forma:  Função crescente 

 Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte forma:  Função decrescente  Observações:  a) O gráfico da função logarítmica passa sempre pelo ponto (1,0).  b) O gráfico nunca toca o eixo y e não ocupa pontos dos quadrantes II e III. 

Tarefa: Pesquise aplicações da função logarítmica e anote em seu caderno.

Logaritmo 1 - INTRODUÇÃO O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630). A descoberta dos logaritmos deveu-se sobretudo à grande necessidade de simplificar os cálculos excessivamente trabalhosos para a época, principalmente na área da astronomia, entre outras. Através dos logaritmos, pode-se transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração, entre outras transformações possíveis, facilitando sobremaneira os cálculos. Na verdade, a idéia de logaritmo é muito simples, e pode-se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação para expoente, conforme veremos a seguir.

Assim, por exemplo, como sabemos que 42 = 16 , onde 4 é a base, 2 o expoente e 16 a potência, na linguagem dos logaritmos, diremos que 2 é o logaritmo de 16 na base 4. Simples, não é? Nestas condições, escrevemos simbolicamente: log416 = 2. Outros exemplos: 152 = 225, log15225 = 2 63 = 216, log6216 = 3 54 = 625, log5625 = 4 70 = 1, log71 = 0

Vamos assistir o vídeo sobre  o terremoto no Chile em 27/02/2010. “O terremoto de magnitude 8,8 que sacudiu o Chile neste sábado (27) causou a morte de mais de 300 pessoas, informou durante a noite a diretora do Escritório Nacional de Emergência (Onemi, na sigla em espanhol), Carmen Fernández...” Fonte: http://g1.globo.com/Noticias/Mundo/0,,MUL1508896-5602,00.html   A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que varia de I = 0 até I = 8,9 para o maior terremoto conhecido. I é dado pela fórmula: Onde E é a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e E0 = 7.10-3 kWh. Qual a energia liberada no terremoto do Chile?

2- Definição Dados os números reais b , sendo b>o e b≠1 ,  N >o e  x , que satisfaçam a relação bx = N, dizemos que: logbN = x Neste caso, dizemos que b é a base do sistema de logaritmos, N é o logaritmando e x é o logaritmo. Exemplos: a) log28 = 3 porque 23 = 8 b) log41 = 0 porque 40 = 1 c) log39 = 2 porque 32 = 9 d) log55 = 1 porque 51 = 5

Observações: 1 - Quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos somente logN ao invés de log10N. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo que foi exposto, que 10x = N. Exemplos: a) log100 = 2 porque 102 = 100.  b) log1000 = 3 porque 103 = 1000.  c) log2 = 0,3010 porque 100,3010 = 2.  d) log3 = 0,4771 porque 100,4771 = 3. 

2 - Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são números decimais onde a parte inteira é denominada característica e a parte decimal é denominada mantissa . Assim por exemplo, sendo log20 = 1,3010, 1 é a característica e 0,3010 a mantissa.  As mantissas dos logaritmos decimais são tabeladas. Consultando a tábua de logaritmo (qualquer livro de Matemática traz) , podemos escrever por exemplo que log45 = 1,6532. As tábuas de logaritmos decimais foram desenvolvidas por Henry Briggs, matemático inglês do século XVI. Observe que do fato de termos log45 = 1,6532 , podemos concluir pela definição de logaritmo que 101,6532 = 45.

3) Da definição de logaritmo, conclui-se que somente os números reais positivos possuem logaritmo. Assim, não têm sentido as expressões log3(-9) , log20 , etc. 4) Propriedades imediatas dos logaritmos, todas decorrentes da definição: P1) O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja:  logb1 = 0 porque b0 = 1. P2) O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja: logbb = 1 , porque b1 = b. P3) logbbk = k , porque bk = bk . P4) Se logbM = logbN então podemos concluir que M = N. P5) blogbM = M ou seja: b elevado ao logaritmo de M na base b é igual a M. Vamos assistir o vídeo do telecurso 2000.

3 - PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS P1 - LOGARITMO DE UM PRODUTO O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores, ou seja: logb(M.N) = logbM + logbN Exemplo: log20 =log(2.10) = log2 + log10 = 0,3010 + 1 = 1,3010.

P2 - LOGARITMO DE UM QUOCIENTE O logaritmo de uma fração é igual a diferença entre os logaritmos do numerador da fração e do denominador, ou seja: logb(M/N) = logbM - logbN Exemplo: log 0,02 = log (2/100) = log 2 – log 100 = 0,3010 – 2= -1,6990. Da mesma forma podemos exemplificar:  log5 = log(10/2) = log10 - log2 = 1 - 0,3010 = 0,6990.

P3 - LOGARITMO DE UMA POTENCIA logbMk = k.logbM. Exemplo: log5256 = 6.log525 = 6.2 = 12. P4 - MUDANÇA DE BASE Exemplos:  a) log416 = log216 / log24 b) log864 = log264 / log28 c) log25125 = log5125 / log525

Duas conseqüências importantes da fórmula de mudança de base são as seguintes: a) logbN = logN / logb  b) logba . logab = 1 Exemplos:  a) log37 . log73 = 1  b) log23 = log3 / log2 = 0,4771 / 0,3010 = 1,5850