www.colegioslaude.com Matemáticas II Determinantes

Una matriz es una tabla de números que encerraremos entre corchetes o paréntesis. Diremos que una matriz con m filas y n columnas tiene dimensión mxn filas columnas Matriz de dimensión 2x3 Matriz 1x5 o vector fila Matriz 3x1 o vector columna Matriz 2x2 o matriz cuadrada de orden 2 DETERMINANTES. De orden 2

EJEMPLO: calcula el determinante de la matriz Llamamos determinante de orden 2 de una matriz cuadrada al número asociado a la matriz, que se obtiene de la forma : DETERMINANTES. De orden 2

Es un número que se obtiene sumando todos los productos de 3 factores, uno de cada fila y uno de cada columna, obtenidos de la siguiente forma: Son positivos los productos: Son negativos los productos: DETERMINANTES. De orden 3. Regla de Sarrus

Es un número que se obtiene sumando todos los productos de n elementos, uno de cada fila y uno de cada columna, afectados de signo + o – siguiendo un criterio relacionado con los subíndices de dichos elementos. Por tanto, cuantos más ceros haya en la matriz, más fácil (y rápido) será el cálculo de su determinante. Es más fácil de calcular que: DETERMINANTES. De orden mayor o igual que 4

1. El determinante de una matriz cuadrada coincide con el de su traspuesta. 2. Si una matriz cuadrada tiene una línea (fila o columna) de ceros, su determinante es 0. 3. Si en una matriz cuadrada se permutan dos líneas paralelas, su determinante cambia de signo. 4. Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante es cero. DETERMINANTES. Propiedades

5. Si en una matriz cuadrada, multiplicamos todos los elementos de una línea por el mismo número, k, su determinante queda multiplicado por ese número. 6. Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas proporcionales, su determinante es 0. 7. Si todos los elementos de una línea se descomponen en suma de dos sumandos, su determinante se descompone en suma de otros dos de la forma: DETERMINANTES. Propiedades

DETERMINANTES. Propiedades 8. Si a una línea de una matriz le sumamos una combinación lineal de otras (u otra) paralelas, su determinante no varía. 9. Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de otras paralelas, entonces su determinante es 0. Y recíprocamente, si un determinante es 0, tiene una fila (y una columna) que es combinación lineal de otras filas (columnas). 10. El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes. det (A · B) = det (A) · det (B)

Dada una matriz A = se definen: DETERMINANTES. Menor complementario y adjunto

Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea: El determinante de una matriz A es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea (fila o columna) por sus respectivos adjuntos. La suma de los productos de los elementos de una línea por los respectivos adjuntos de otra paralela es igual a cero. DETERMINANTES. Desarrollo de un determinante

EJEMPLO: calcula el determinante de la matriz Si utilizamos las propiedad 8ª para “crear ceros”: DETERMINANTES. Desarrollo de un determinante

La condición necesaria y suficiente para que el determinante de una matriz A, cuadrada, sea cero es que sus filas (o columnas) sean linealmente dependientes. Es decir: La condición n. y s. para que es que alguna fila pueda ponerse como combinación lineal de las demás. Rango de una matriz A es el mayor orden de sus menores no nulos. DETERMINANTES. Rango matriz por menores

Se añaden a la matriz anterior todas las filas y columnas posibles para formar matrices de orden 4. Se añaden a la matriz anterior todas las filas y columnas posibles para formar matrices de orden 3. Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden tres es distinto de cero rang(A)  3. Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden dos es distinto de cero rang(A)  2. En caso contrario rang(A) = 1 En caso contrario rang(A) = 2 Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden cuatro es distinto de cero rang(A)  4. En caso contrario rang(A) = 3 Y así hasta que no sea posible continuar El rango de la matriz nula es 0. Si la matriz A no es nula rang(A)  1. DETERMINANTES. Rango matriz por determinantes

La matriz cuadrada A tiene inversa si y sólo si | A | ≠ 0. Dada la matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A y se representa adj (A), a la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento aij por su adjunto Aij. DETERMINANTES. Cálculo de matriz inversa

La matriz A tiene inversa ya que: det(A) = – 2  0 DETERMINANTES. Cálculo de matriz inversa

El determinante de una matriz se obtiene sumando los productos de los elementos de una fila o columna por sus adjuntos. El método de Gauss consiste en, utilizando las propiedades anteriores, anular todos los elementos de una fila o columna excepto uno llamado pivote, y que interesa que valga 1 ó –1, para simplificar los cálculos. DETERMINANTES. Cálculo de matriz inversa

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