Sistemas de Ecuaciones Lineales

+5

No comments posted yet

Comments

Slide 1

www.colegioslaude.com Matemáticas II Sistemas de Ecuaciones Lineales

Slide 2

Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como: SISTEMAS. Definición

Slide 3

Una solución del sistema: es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, s3, ... , sn) tales que se verifican todas las ecuaciones: SISTEMAS. Solución

Slide 4

son una solución del sistema por que: son una solución del sistema por que: SISTEMAS. Solución EJEMPLO: Resolver el sistema

Slide 5

Sistemas de ecuaciones lineales Incompatible Compatible Sin solución Con solución Determinado Indeterminado Solución única Infinitas soluciones Discutir un sistema es decidir a cuál de estas tres categorías pertenece. SISTEMAS. Clasificación

Slide 6

I. Multiplicar o dividir ambos miembros de una ecuación por un número distinto de cero. II. Sumar a una ecuación del sistema otra ecuación del mismo. Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones. Transformaciones que convierten un sistema en otro equivalente: III. Eliminar una ecuación que es combinación lineal de otras dos. SISTEMAS. Sistemas Equivalentes

Slide 7

Sistemas equivalentes SISTEMAS. Sistemas Equivalentes EJEMPLO:

Slide 8

Un sistema de ecuaciones es escalonado cuando verifica que, reordenadas sus ecuaciones de forma conveniente, la matriz de los coeficientes es escalonada. Ejemplos: SISTEMAS. Sistemas Escalonados

Slide 9

Los sistemas escalonados son fácilmente resolubles: SISTEMAS. Sistemas Escalonados

Slide 10

Se pueden dar los siguientes pasos: 1) Si es necesario reordenar ecuaciones para que a11 sea distinto de cero. 2) Dividir la primera ecuación por a11 y restar a cada ecuación un múltiplo de la primera para eliminar todos los elementos que quedan por debajo de a11x1. 3) Repetir los pasos anteriores basados ahora en a22 (y si es necesario en cada aii). 4) El proceso termina cuando no quedan más ecuaciones. SISTEMAS. Método de Gauss

Slide 11

En el método de Gauss, una vez obtenida la matriz se pueden dar las siguientes posibilidades: Incompatible Si no es incompatible, se considera el número de filas e incógnitas que quedan: nº de ecuaciones = nº de incógnitas compatible determinado nº de ecuaciones < nº de incógnitas compatible indeterminado Si alguna de las filas está formada por todos ceros menos el término independiente. SISTEMAS. Discusión de sistemas

Slide 12

EJEMPLO: (1ª ec) (–2) + 2ª ec (1ª ec) (–2) + 3ª ec (2ª ec) (–1) + 3ª ec Se despejan incógnitas hacia arriba SISTEMAS. Método de Gauss

Slide 13

EJEMPLO: (1ª ec) (–2) + 2ª ec (1ª ec) (–2) + 3ª ec (2ª ec) (–1) + 3ª ec La última ecuación no tiene solución y por lo tanto el sistema es incompatible. SISTEMAS. Método de Gauss

Slide 14

EJEMPLO: (1ª ec) (–2) + 2ª ec (1ª ec) (–2) + 3ª ec Se despejan incógnitas hacia arriba, después de hacer z = t SISTEMAS. Método de Gauss

Slide 15

Enunciado: Un sistema de m ecuaciones con n incognitas, es compatible si y sólo si, los rangos de las dos matrices son iguales. rg(A) = rg (A*) Dado el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas: siendo A y A* la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada: SISTEMAS. Teorema de Rouché-Fröbenius

Slide 16

Escribimos el sistema en forma vectorial (con las columnas) C1x1+ C2x2+.........+Cnxn= B [Sistema S] Demostración Cond. necesaria) Si S es compatible, existe al menos una solución (s1,s2,s3,....sn)tal que C1s1+ C2s2+.........+Cnsn= B Por tanto B es combinación lineal de las columnas C1,C2,....Cn y el rango de la matriz ampliada con esa columna B no varía. Luego rg(A) = rg(A*) Cond. suficiente) Si rg (A ) = rg (A+) una fila o columna es combinación lineal de las demás. Sólo puede ser B porque el resto son iguales que las de A, luego: C1s1+ C2s2+.........+Cnsn= B Lo que quiere decir que los coeficientes (s1,s2,s3,....sn) son una solución del sistema por lo que el sistema es compatible. Consecuencias: El rango indica el nº de ecuaciones linealmente independientes. SI el nº de incógnitas es mayor que el rango, el sistema tiene infinitas soluciones. Para resolverlo se eligen r ecuaciones independientes y se pasan al segundo miembro las n – r últimas incógnitas, obteniéndose un sistema de r ecuaciones y r incógnitas que ya se puede serolver y que dependerá de n-r parámetros (grados de libertad) SISTEMAS. Teorema de Rouché-Fröbenius

Slide 17

Sistemas de ecuaciones lineales Incompatible Compatible Sin solución Con solución Determinado Indeterminado Solución única Infinitas soluciones Sea un sistema de m ecuaciones con n incógnitas. Sea A la matriz de los coeficientes y sea p su rango. Sea A* la matriz ampliada y sea q su rango.  p  q  p = q = n  p = q  p = q < n SISTEMAS. Teorema de Rouché. Discusión

Slide 18

En ocasiones, alguno de los coeficientes o términos independientes pueden tomar cualquier valor: es un parámetro de sistema de forma que al darle valores obtenemos sistemas de ecuaciones diferentes. Discutir el sistema según los valores de dicho parámetro es averiguar según sus valores cuándo el sistema es compatible o incompatible, y en caso de compatibilidad si es determinado o indeterminado. Los siguientes pasos pueden ser útiles para discutir un sistema: Hallar los valores del parámetro que anulan al determinante de la matriz de los coeficientes Para dichos valores estudiar la naturaleza del sistema Para los valores que hacen que el determinante de la matriz de los coeficientes no sea nulo, estudiar la naturaleza del sistema SISTEMAS. Discusión con parámetros

Slide 19

Consideramos el sistema de ecuaciones lineales: Las matriz de coeficientes y la matriz ampliada asociadas al sistema son: sigue ..... SISTEMAS. Discusión con parámetros EJEMPLO:

Slide 20

CASO I. Cuando m = −1: Las matrices son rg(A) = 2 rg(A*) = 3 El sistema es incompatible CASO II. Cuando m = 2:Las matrices son Su única solución se puede obtener mediante la regla de Cramer: rg(A) = 2 =rg(A*) Compatible indeterminado Compatible determinado SISTEMAS. Discusión con parámetros

Slide 21

Esta solución puede ser expresada de la siguiente forma: Se observa que: -El denominador de las soluciones es el determinante de la matriz de los coeficientes. -Cada numerador es el determinante de la matriz obtenida al sustituir la correspondiente columna de coeficientes por la los de términos independientes. SISTEMAS. Regla de Cramer

Slide 22

SISTEMAS. Regla de Cramer

Slide 23

SISTEMAS. Regla de Cramer. Demostración

Slide 24

Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los términos independientes son 0. Los sistemas homogéneos pueden tener, pues, una o infinitas soluciones: Si el determinante de la matriz de los coeficientes es no nulo,el sistema es compatible determinado y tiene como única solución la solución trivial. Si el determinante de la matriz de los coeficientes es nulo, el sistema es compatible indeterminado. Entre sus infinitas soluciones se encuentra la solución trivial. SISTEMAS. Sistemas homogéneos

Slide 25

dibutic.blogspot.com Recursos TIC para Matemáticas Matemáticas II

Summary: Explicación de los conceptos de Sistemas de Ecuaciones Lineales. Segundo de bachillerato. Matemáticas II

Tags: sistemas ecuaciones matemáticas bachillerato

URL: