COLEGIO BEATRIZ MIRANDA DE CABAL Liz Lara Nathalie Ortega Joshua Howel Michelle Suira Génesis Contreras Edilma Ortega Proyecto de Examen de Matemática PitufiEstudiantes

Introducción El trabajo matemático muchas veces nos presenta expresiones compuesta s por polinomios, que pueden ser extensos. Al convertir un polinomio en una expresión con factores (factorizar) podremos simplificarlo cuando se encuentre en una expresión racional, reduciendo esta ultima a una mínima expresión

Contenido

Factorización Importancia y aplicación del Algebra Factor Común Monomio Factor Común Polinomio Factor Común por agrupación de Términos Diferencia de cuadrado Trinomio cuadrado Perfecto Estas pitufialegre A jugar con el algebra

Factorización En algebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados(a - b)(a + b). La factorización de enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y la factorización de polinomios (en ciertos contextos) en el teorema fundamental del algebra

Importancia del Algebra Algebra es la rama más importante de matemáticas. Su uso está en toda nuestra vida diaria. Ya que su nombre significa “la reducción” (algebra viene del árabe al yabr) es muy útil para simplificar muchos trabajos y cuentas que usamos en todas las cosas. Para nosotros, algebra se aplica cuando hacemos las compras. Como ejemplo; si compramos 5 lápices y 6 borradores, en nuestra mente se representa con 5a + 6b, y si nos da los valores/precios de a y b, nos facilita más para sacar el total de los precios. Otro ejemplo seria hacer inventarios. Cuando hago un inventario, podemos representar los artículos con una letra y numero para su cantidad, ósea 10x puede significar 10 piezas de “x” cosa. Así como los simples usos de ejemplos anteriores, el álgebra también se puede usar en casos más complicados y su función es simplificarlos. También usamos algebra en estudio de otras cosas, como calculo, geometría, física, química, estudio nuclear etc. Siendo capaz de manejar algebra en nuestra vida, podremos ahorrar mucho tiempo de trabajo, asegurar resultados más fiables.

Historia y origen del algebra La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. También fueron capaces de resolver algunas ecuaciones indeterminadas.

Factor Común Monomio Es el monomio que está contenido en todos los términos del polinomio considerado, esta formado por el M.C.D. de los coeficientes y letras comunes elevadas a su menor exponente.  

Factorizar a9 + 7a M.C.D. (1, 5) = 1 Variable común con su menor exponente: a Factor común monomio: a   a9 + 7a     Luego se divide --------- = a8 + 7   a   Entonces: a9 + 7a = a(a8 + 7) Ejemplos de Factor común monomio Factorizar 4a10 + 8a3 M.C.D. (4, 8) = 4 Variable común con su menor exponente: a3 Factor común monomio: 4a3   4a10 + 8a3     Luego se divide ------------ = a7 + 2   4a3   Entonces: 4a10 + 8a3 = 4a3(a7 + 2) Factorizar x7 + x3 M.C.D. (1, 1) = 1 Variable común con su menor exponente: x3 Factor común monomio: x3   x7 + x3     Luego se divide --------- = x4 + 1   x3   Entonces: x7+ x3 = x3(x4 + 1)

Factor común polinomio. Procedimiento para factorizar Se extrae el factor común de cualquier clase, que viene a ser el primer factor. Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto viene a ser el segundo factor. x(a+b)+m(a+b)=(a+b)(x+m)

Ejemplos de Factor común Polinomio Factorizar a(x + 3) + b(x + 3) Factor común con su menor exponente: (x + 3)  a(x + 3) + b(x + 3)     Luego se divide = a + b   (x + 3) Entonces: a(x + 3) + b(x + 3) = (x + 3)(a + b) Factorizar (2a - 3)(y + 1) - y - 1 Arreglando = (2a - 3)(y + 1) - (y + 1) Factor común con su menor exponente: (y + 1) (2a - 3)(y + 1) - (y + 1)     Luego se divide= (2a - 3) - 1 = 2a - 3 - 1 = 2a - 4   (y + 1)  Entonces: (2a - 3)(y + 1) - y - 1 = (y + 1)(2a – 4) Factorizar (a + 1)2(y + 1) - (a + 1)(y + 1)2 Factor común con su menor exponente: (a + 1)(y + 1) (a + 1)2(y + 1) - (a + 1)(y + 1)2     Luego se divide= (a + 1) - (y + 1) = (a + 1 - y - 1) = (a - y)   (a + 1)(y + 1)  Entonces: (a + 1)2(y + 1) - (a + 1)(y + 1)2 = (a + 1)(y + 1)(a - y)

Factor Común por Agrupación de Términos Procedimiento para factorizar Se trata de agrupar con la finalidad de obtener en primer lugar un factor común monomio y como consecuencia un factor común polinomio. 2) Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto viene a ser el segundo factor.

Ejemplos de Factor común por Agrupación de Términos 1): Factorizar ax + bx + aw + bw Agrupamos (ax + bx) + (aw + bw) Factor común en cada binomio: x(a + b) + w(a + b) Factor común polinomio: (a + b)  x(a + b) + w(a + b)     Luego se divide= x + w   (a + b)  Entonces: ax + bx + aw + bw = (a + b)(x + w) 2): Factorizar 2x2 - 4xy + 4x - 8y Agrupamos ( 2x2 - 4xy ) + ( 4x - 8y ) Factor común en cada binomio: 2x(x - 2y) + 4(x - 2y) Factor común polinomio: (x - 2y)  2x(x - 2y) + 4(x - 2y)     Luego se divide = 2x + 4   (x - 2y)   Entonces: 2x2 - 4xy + 4x - 8y = (x - 2y)(2x + 4) 3): Factorizar 2m+n + 8m+n + 2m8m + 2n8n Agrupamos ( 2m+n + 2m8m ) + ( 8m+n + 2n8n ) Factor común en cada binomio: 2m( 2n + 8m ) + 8n( 8m + 2n ) Factor común polinomio: ( 2n + 8m ) 2m( 2n + 8m ) + 8n( 8m + 2n )     Luego se divide = 2m + 8n   ( 2n + 8m )   Entonces: 2m+n + 8m+n + 2m8m + 2n8n = ( 2n + 8m )(2m + 8n)  

Diferencia de Cuadrados En una diferencia de dos cuadrados perfectos. Procedimiento para factorizar Se extrae la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos. 2) Se forma un producto de la suma de las raíces multiplicada por la diferencia de ellas.

Ejemplos de diferencia de cuadrados 1) Factorizar 25x2 - 1 La raíz cuadrada de : 25x2 es 5x La raíz cuadrada de : 1 es 1 Luego 25x2 - 1 = (5x + 1)(5x - 1) 2) Factorizar 16x2 - 36y4 La raíz cuadrada de : 16x2 es 4x La raíz cuadrada de : 36y4 es 6y2 Luego 16x2 - 36y4 = (4x + 6y2)(4x - 6y2) 3) Factorizar 121a2b4c8 - 144d10e14 La raíz cuadrada de : 121a2b4c8 es 11ab2c4 La raíz cuadrada de : 144d10e14 es 12d5e7 Luego 121a2b4c8 - 144d10e14 = (11ab2c4 + 12d5e7)(11ab2c4 - 12d5e7)

Trinomio Cuadrado Perfecto Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

Ejemplos de Trinomio Cuadrado Perfecto 1: Factorizar x2 + 10x + 25 La raíz cuadrada de : x2 es x La raíz cuadrada de : 25 es 5 El doble producto de las raíces: 2(x)(5) es 10x Luego x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 2: Factorizar 49y2 + 14y + 1 La raíz cuadrada de : 49y2 es 7y La raíz cuadrada de : 1 es 1 El doble producto de las raíces: 2(7y)(1) es 14y Luego 49y2 + 14y + 1 = (7y + 1)2 3: Factorizar 81z2 - 180z + 100 La raíz cuadrada de : 81z2 es 9z La raíz cúbica de : 100 es 10 El doble producto de las raíces: 2(9z)(10) es 180z Luego 81z2 - 180z + 100 = (9z - 10)2

PitufiPráctica   a2b - ab2 =   6p2q + 24pq2 =   x2 - 8x + 16 =    16y2 + 24y + 9 =    16x2 - 25y2 =   144 - x2y2 =   2x3 + 10x2 + x + 5 =   px + py + qx + qy = 2x(a - 1) - 3y(a - 1)= x(a + 9) - a – 9=  

PitufiConclusión Al concluir este proyecto hemos reforzado nuestros conocimientos sobre el algebra. Nos ha ayudado a entender aquellas pequeñas operaciones que nos era difícil resolver. No dimos cuenta de donde se origino el algebra-factorización; y de los diferentes casos que hemos dado. Descubrimos las verdadera definición de lo que es factorización, y que la utilizamos en la vida diaria de cada uno

Dime tu Pitufipregunta

PitufiRespuestas ab(a - b) 6pq(p + 4q) (x - 4)2 (4y + 3)2 (4x - 5y)(4x + 5y) (12 + xy)(12 - xy) (2x2 + 1)(x + 5) (p + q)(x + y) = (a - 1)(2x - 3y) = (a + 9)(x - 1)