www.colegioslaude.com Matemáticas II Geometría en el espacio

GEOMETRÍA. Vectores en el espacio Un vector es un segmento de recta orientado. El primero de sus puntos recibe el nombre de origen, y el segundo, extremo. Todo vector está caracterizado por su: Módulo: es la longitud del segmento. Dirección: es la recta que contiene al segmento y todas sus paralelas. Sentido: para cada dirección hay dos sentidos posibles. El que corresponde al definido por el recorrido desde A hasta B y el definido por el recorrido desde B hasta A. Estos dos vectores tienen igual módulo, igual dirección y sentido contrario.

GEOMETRÍA. Vectores en el espacio Suma de vectores Para sumar gráficamente dos vectores: Se eligen dos representantes de manera que el origen del 2º coincida con el extremo del 1º y el vector suma se obtiene uniendo el origen del 1º con el extremo del 2º P Q R Opuesto de un vector Dado un vector su opuesto, es otro vector de igual módulo y dirección pero de sentido contrario, y se denota con el signo – o con Op()

GEOMETRÍA. Vectores en el espacio P Q R P' Q' R' Los vectores PR y el P’R’ son representantes del mismo vector libre con lo que tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido La suma de dos vectores no depende del punto inicial

GEOMETRÍA. Vectores en el espacio Resta de vectores Restar un vector es la mismo que sumar su opuesto Producto de un vector por un número Es un vector con la misma dirección, su módulo queda multiplicado por k. El sentido depende del signo de k. k > 0: el módulo del vector queda multiplicado por k El sentido permanece k < 0: el módulo del vector queda multiplicado por – k El sentido cambia

GEOMETRÍA. Combinación lineal de vectores

GEOMETRÍA. Combinación lineal de vectores

GEOMETRÍA. Coordenadas de un vector

GEOMETRÍA. Coordenadas de un vector Coordenadas y módulo de un vector En el sistema de referencia canónico, las coordenadas de un vector AB son las coordenadas del punto extremo menos las del origen: Si el vector es v=(v1, v2, v3), su módulo:

GEOMETRÍA. Aplicaciones de los vectores Punto medio de un segmento Dados dos puntos, A(a1, a2, a3) y B(b1, b2, b3), el punto medio del segmento AB es:

GEOMETRÍA. Ecuaciones de la recta Se llama ecuación vectorial de la recta r a la expresión: Siendo t cualquier número real.

GEOMETRÍA. Ecuaciones de la recta Ecuaciones paramétricas A partir de la ecuación vectorial de la recta, igualando coordenada a coordenada, obtenemos las ecuaciones paramétricas:

GEOMETRÍA. Ecuaciones de la recta Ecuación continua Despejando t en las ecuaciones paramétricas e igualando, obtenemos la ecuación continua:

GEOMETRÍA. Ecuaciones de la recta Ecuaciones implícitas o cartesianas Si separamos las igualdades de la ecuación continua y agrupamos los términos en un miembro, obtenemos las ecuaciones implícitas:

GEOMETRÍA. Ecuaciones del plano Se llama ecuación vectorial del plano  a la expresión: Siendo  y  cualquier número real.

GEOMETRÍA. Ecuaciones del plano Ecuaciones paramétricas A partir de la ecuación vectorial del plano, igualando coordenada a coordenada, obtenemos las ecuaciones paramétricas:

GEOMETRÍA. Ecuaciones del plano

GEOMETRÍA. Ecuaciones del plano Ecuación del plano que pasa por tres puntos Sean A, B y C tres puntos no alineados. Por tanto los vectores AB y AC no son paralelos La determinación lineal de dicho plano será: Como los tres vectores están en el mismo plano, son dependientes y por lo tanto su ecuación se obtendrá desarrollando el siguiente determinante:

GEOMETRÍA. Posiciones relativas de dos rectas Conocidas sus ecuaciones implícitas Sea r dada como intersección de los planos A1x + A2y + A3z + A4 = 0 y B1x + B2y + B3z + B4 = 0. Sea la recta s dada como intersección de C1x + C2y + C3z + C4 = 0 y C1x + C2y + C3z + C4 = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.

GEOMETRÍA. Posiciones relativas de dos rectas Las rectas tienen todos sus puntos comunes Sistema compatible indeterminado de rango 2 rango(A) = rango(B) = 2 Rectas coincidentes Rectas paralelas Las rectas no tienen puntos en común Sistema incompatible rango(A) = 2; rango(B) = 3 1 2

GEOMETRÍA. Posiciones relativas de dos rectas rango(A) = 3; rango(B) = 4 3 Rectas que se cruzan Sistema incompatible Las rectas no tienen puntos en común Rectas secantes Las dos rectas tienen un punto en común Sistema compatible determinado rango(A) = rango(B) = 3 4

GEOMETRÍA. Posiciones relativas de dos rectas Conocidos un punto y el vector director Sea r, la recta, definida por el punto P(a, b, c) y su vector director v=(v1, v2, v3). Sea la recta s definida por el punto Q(a’, b’, c’) y su vector director u=(u1, u2, u3). Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar la proporcionalidad y/o dependencia lineal de los vectores u y v y el vector PQ. Para ello estudiaremos el rango de las matrices A y B:

GEOMETRÍA. Posiciones relativas de dos rectas Las dos rectas son la misma Los vectores u y v y el vector PQ son proporcionales rango(A) = 1 Rectas coincidentes Rectas paralelas Las rectas no tienen puntos en común, pero están en el mismo plano Los vectores u y v son proporcionales, pero no son proporcionales a PQ rango(A) = 2; rango(B) = 1 1 2

GEOMETRÍA. Posiciones relativas de dos rectas rango(A) = 3; rango(B) = 3 3 Rectas que se cruzan Los vectores u, v y PQ forman una base Las rectas no tienen puntos en común, ni están en el mismo plano Rectas secantes Las dos rectas se cortan en un solo punto Los vectores u y v no son proporcionales, y PQ es combinación lineal de u y v rango(A) =2; rango(B) = 2 4

GEOMETRÍA. Posiciones relativas recta y plano Estudiaremos el sistema formado por las ecuaciones implícitas de la recta y la ecuación general del plano. Sean el plano : Ax + By + Cz + D = 0 y la recta r dada como intersección de ': A'x + B'y + C'z + D' = 0 y ": A"x + B"y + C"z + D" = 0. Estudiar las posiciones relativas de recta y plano equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las tres ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.

GEOMETRÍA. Posiciones relativas recta y plano Sistema compatible determinado Sistema compatible indeterminado de rango 2 Sistema incompatible rango(A) = rango(B) = 3 rango(A) = 2; rango (B) = 2 rango(A) = 2; rango (B) = 3 Recta y plano secantes Recta contenida en el plano Recta y plano paralelos 1 2 3

GEOMETRÍA. Posiciones relativas de dos planos Estudiaremos el sistema formado por las ecuaciones generales de los planos. Sean los planos : Ax + By + Cz + D = 0 y ': A'x + B'y + C'z + D' = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.

GEOMETRÍA. Posiciones relativas de dos planos Sistema compatible indeterminado de rango 2 Sistema incompatible Sistema compatible indeterminado de rango 1 rango(A) = rango(B) = 2 rango(A) = 1; rango(B) = 2 rango(A) = rango(B) = 1 1 2 3

GEOMETRÍA. Posiciones relativas de tres planos Estudiaremos el sistema formado por las ecuaciones generales de los tres planos. Sean los planos : Ax + By + Cz + D = 0, ': A'x + B'y + C'z + D' = 0 y ": A"x + B"y + C"z + D" = 0. Estudiar las posiciones relativas de estos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.

GEOMETRÍA. Posiciones relativas de tres planos Los tres planos tienen un punto en común Sistema compatible determinado de rango 3 rango(A)=rango(B)=3 Triedro 1 2b Prisma. Se cortan dos a dos Los tres planos no tienen puntos en común Sistema incompatible rango(A)=2; rango(B)=3 Dos planos paralelos cortan al tercero Los tres planos no tienen puntos en común Sistema incompatible rango(A)=2; rango(B)=3 2a

GEOMETRÍA. Posiciones relativas de tres planos Los tres planos tienen infinitos puntos en común Sistema compatible indeterminado de rango 1 rango(A)=rango(B)=1 Tres planos coincidentes 4 3b Tres planos distintos Los tres planos tienen una recta en común Sistema compatible indeterminado de rango 2 rango(A)=rango(B)=2 Dos planos coincidentes cortan a un tercero Los tres planos tienen una recta en común Sistema compatible indeterminado de rango 2 rango(A)=rango(B)=2 3a

GEOMETRÍA. Posiciones relativas de tres planos Los tres planos no tienen puntos en común Sistema incompatible rango(A) = 1; rango(B) = 2 Los tres planos no tienen puntos en común Sistema incompatible rango(A) = 1; rango(B) = 2 Tres planos paralelos Dos planos coincidentes y un tercero paralelo a ellos 5a 5b

GEOMETRÍA. Haces de planos Dado  ≡ Ax+By+Cz+D=0 1 Haz de planos paralelos 2 Haz de planos secantes Los haces de planos se pueden expresar como Ax+By+Cz+=0 con  є R. Dados  ≡ Ax+By+Cz+D= 0 ’ ≡ A’x+B’y+C’z+D’= 0 Los haces de planos se pueden expresar como: Ax+By+Cz+D+ (Ax+By+Cz+D)=0 Para que el haz quede completo hay que añadir: Ax+By+Cz+D =0

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