Задачи Льюиса Керролла учитель ГОУ СОШ № 245 Савина Л.Н.

Задача о курьерах Курьеры из мест А и В двигаются, каждый равномерно, но с разными скоростями, друг другу навстречу. После встречи для прибытия к месту назначения одному нужно еще 16, а другому – 9 часов. Сколько времени требуется тому и другому для прохождения всего пути между А и В?

Рассмотрим график движения курьеров 9ч 16 ч А В t ч t ч t t Uкм/ч Расстояние АВ можно выразить тремя способами: Vкм/ч АВ=v(t+9) AB=u(t+16) AB=(u+v)t

Составим систему уравнений: Подставив найденное значение в уравнение (1), найдем t t = 16 * ¾ = 12 (t+16)u = t(u+v) (t+9)v = t(u+v) t=16u/v (1) t=9v/u

Из пункта А курьер шел 12 + 9 = 21 час. Из пункта В курьер шел 12 + 16 = 28 час. Ответ: 21 час и 28 часов.

t m t n L1 L2 Геометрический способ решения этой задачи. Из подобия треугольников BHO и PON, а также НMO и AOP имеем: A B O M N P H По условию задачи m = 9, n = 16, тогда t = 12

Задача 2. А и В отправляются из Москвы и Тулы одновременно навстречу друг другу, и каждый из них идет все время с одинаковой скоростью. А проходит от Москвы до Тулы за X часов, а В от Тулы до Москвы за Y часов. В пути они встречаются за m часов перед приходом А в Тулу и за n часов перед приходом В в Москву. Показать, что X2 : Y2=m : n

t n A B M N t m Москва Тула L1 L2 X Y O Треугольники ВОМ и AON подобны, то X/Y = L1/L2 ; m/L1 = t/L2 ; m=t*L1/L2 n/L2 = t/L1; n = t*L2/L1 m/n = L12/L22 = =X2/Y2

Запомним интересные соотношения, полученные в ходе решения задач: В А U V t t m n С D

Мы знаем замечательного английского писателя и математика, Льюиса Кэрролла как автора “Алисы в Стране Чудес” и “Алисы в Зазеркалье”. В менее известной, но тоже увлекательной книге “История с узелками” того же автора собраны математические головоломки и изящные парадоксы. В ней я и нашла еще одну задачу на движение.

Задача Два пешехода А и В пускаются в путь ровно в 6 ч утра в один и тот же день. Они идут по одной дороге и в одном и том же направлении с 6 утра до 6 вечера. Вначале пешеход В опережает пешехода А на 14 миль. .

В первый день пешеход А, двигаясь с постоянной в течение дня скоростью, проходит 10 миль, во второй – 9 , в третий – 8 миль и т.д. Пешеход В, двигаясь также с постоянной в течение дня скоростью, проходит в первый день 2 мили, во второй – 4, в третий – 6 и т.д. Где и когда пешеход А нагонит пешехода В?

Попробуем решить задачу графически (требуется точный рисунок). А В 14 миль дни 1 2 3 4 10 9 8 7 2 4 6 8 В 23 милях от отправного пункта А А догнал В В 34 милях от отправного пункта А В догнал А Встреча произошла через 2,5 дня после отправления в путь и через 4 дня 8 8 2 4 6 8 2 В 14 миль В

Как составить уравнение? Заметим, что расстояния, пройденные каждым пешеходом, являются последовательными членами арифметической прогрессии. Одна прогрессия - убывающая, вторая – возрастающая. Таким образом, нам остается найти номер члена последовательности, при котором суммы последовательностей будут равны.

Ответ: Пешеходы встречаются по прошествии двух с половиной дней (2 дня 6 часов) и четырех дней пути на расстоянии в 23 и 34 мили от отправного пункта пешехода А.