Funciones Polinómicas y Racionales Funciones Racionales 1

Objetivos 2

Reconocer una función racional. . Objetivos 2

Reconocer una función racional. Hallar el dominio de una función racional. . Objetivos 2

Reconocer una función racional. Hallar el dominio de una función racional. Buscar los huecos de una función racional. . Objetivos 2

Reconocer una función racional. Hallar el dominio de una función racional. Buscar los huecos de una función racional. Identificar las asíntotas de una función racional. . Objetivos 2

Reconocer una función racional. Hallar el dominio de una función racional. Buscar los huecos de una función racional. Identificar las asíntotas de una función racional. Asíntotas Verticales . Objetivos 2

Reconocer una función racional. Hallar el dominio de una función racional. Buscar los huecos de una función racional. Identificar las asíntotas de una función racional. Asíntotas Verticales Asíntotas Horizontales . Objetivos 2

Reconocer una función racional. Hallar el dominio de una función racional. Buscar los huecos de una función racional. Identificar las asíntotas de una función racional. Asíntotas Verticales Asíntotas Horizontales Asíntotas Oblicuas . Objetivos 2

Reconocer una función racional. Hallar el dominio de una función racional. Buscar los huecos de una función racional. Identificar las asíntotas de una función racional. Asíntotas Verticales Asíntotas Horizontales Asíntotas Oblicuas Otras Asíntotas . Objetivos 2

Reconocer una función racional. Hallar el dominio de una función racional. Buscar los huecos de una función racional. Identificar las asíntotas de una función racional. Asíntotas Verticales Asíntotas Horizontales Asíntotas Oblicuas Otras Asíntotas Describir las características de una función racional. . Objetivos 2

Reconocer una función racional. Hallar el dominio de una función racional. Buscar los huecos de una función racional. Identificar las asíntotas de una función racional. Asíntotas Verticales Asíntotas Horizontales Asíntotas Oblicuas Otras Asíntotas Describir las características de una función racional. Dibujar la gráfica de una función racional. Objetivos 2

Función Racional 3

Una función racional es aquella que tiene polinomios tanto en su numerador como su denominador. La estructura algebraica para representar este tipo de funciones es : Función Racional 3

Una función racional es aquella que tiene polinomios tanto en su numerador como su denominador. La estructura algebraica para representar este tipo de funciones es : 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 +… 𝑎 0 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1 +… 𝑏 0 Función Racional 3

Una función racional es aquella que tiene polinomios tanto en su numerador como su denominador. La estructura algebraica para representar este tipo de funciones es : 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 +… 𝑎 0 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1 +… 𝑏 0 Función Racional 3

Una función racional es aquella que tiene polinomios tanto en su numerador como su denominador. La estructura algebraica para representar este tipo de funciones es : El grado del numerador es 𝒏 y el grado de denominador es 𝒎. Por tener variables en su denominador el dominio de la función tiene que excluir los valores que la hacen indefinida. 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 +… 𝑎 0 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1 +… 𝑏 0 Función Racional 3

4 Dominio de la Función Racional

El dominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable 𝑥. El dominio lo forman todos los valores de la variable independiente que tienen imagen. 4 Dominio de la Función Racional

El dominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable 𝑥. El dominio lo forman todos los valores de la variable independiente que tienen imagen. El dominio de una función racional es el conjunto de todos los números reales excepto los elementos que hacen cero el denominador. 4 Dominio de la Función Racional

El dominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable 𝑥. El dominio lo forman todos los valores de la variable independiente que tienen imagen. El dominio de una función racional es el conjunto de todos los números reales excepto los elementos que hacen cero el denominador. Por ejemplo en la función racional 𝑓 𝑥 = 𝑥−3 𝑥+1 𝑥−2 el dominio es el conjunto de todos los números reales excepto el ____ y ____. 4 Dominio de la Función Racional

El dominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable 𝑥. El dominio lo forman todos los valores de la variable independiente que tienen imagen. El dominio de una función racional es el conjunto de todos los números reales excepto los elementos que hacen cero el denominador. Por ejemplo en la función racional 𝑓 𝑥 = 𝑥−3 𝑥+1 𝑥−2 el dominio es el conjunto de todos los números reales excepto el ____ y ____. −1 2 4 Dominio de la Función Racional

El dominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable 𝑥. El dominio lo forman todos los valores de la variable independiente que tienen imagen. El dominio de una función racional es el conjunto de todos los números reales excepto los elementos que hacen cero el denominador. Por ejemplo en la función racional 𝑓 𝑥 = 𝑥−3 𝑥+1 𝑥−2 el dominio es el conjunto de todos los números reales excepto el ____ y ____. −1 2 Dominio de 𝑓(𝑥): −∞, −1 ∪ −1, 2 ∪ 2, ∞ 4 Dominio de la Función Racional

Función Racional 7

Función Racional 7 La función racional más simple es 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 , su gráfica la conocemos

Función Racional 7 La función racional más simple es 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 , su gráfica la conocemos

Los extremos de su gráfica tienden a pegarse a los ejes pero no los toca, a esto le llamamos comportamiento asintótico, esto se debe a los valores excluidos en el dominio, ℝ− 0 y el alcance, ℝ− 0 . Función Racional 7 La función racional más simple es 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 , su gráfica la conocemos

La función racional más simple es 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 , su gráfica la conocemos Los extremos de su gráfica tienden a pegarse a los ejes pero no los toca, a esto le llamamos comportamiento asintótico, esto se debe a los valores excluidos en el dominio, ℝ− 0 y el alcance, ℝ− 0 . Nota: Las asíntotas se pintan entrecortadas para diferenciarlas de la curva que forma la gráfica de la función. Al calcular a que valor se acerca la variable 𝑦 en la medida que 𝑥 es cada vez más grande obtenemos 0, lo cual llamamos el limite de 𝑓(𝑥) en los infinitos. Así también el valor de 𝑦 cuando 𝑥 es cada vez más pequeña provoca un número cada vez más grande (tiende a infinito) lo que llamamos el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 se acerca a cero. Función Racional 7

Asíntotas Función Racional 8

Asíntotas Función Racional 8 Las asíntotas son rectas o curvas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (𝑥 o 𝑦) tienden al infinito.

Si, 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 +… 𝑎 0 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1 +… 𝑏 0 tenemos que sus asíntotas pueden ser… Asíntotas Función Racional 8 Las asíntotas son rectas o curvas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (𝑥 o 𝑦) tienden al infinito.

Si, 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 +… 𝑎 0 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1 +… 𝑏 0 tenemos que sus asíntotas pueden ser… Asíntotas Verticales Asíntotas Función Racional 8 Las asíntotas son rectas o curvas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (𝑥 o 𝑦) tienden al infinito.

Si, 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 +… 𝑎 0 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1 +… 𝑏 0 tenemos que sus asíntotas pueden ser… Asíntotas Verticales Asíntotas Horizontales Asíntotas Función Racional 8 Las asíntotas son rectas o curvas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (𝑥 o 𝑦) tienden al infinito.

Si, 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 +… 𝑎 0 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1 +… 𝑏 0 tenemos que sus asíntotas pueden ser… Asíntotas Verticales Asíntotas Horizontales Asíntotas Oblicuas u Otras Asíntotas Función Racional 8 Las asíntotas son rectas o curvas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (𝑥 o 𝑦) tienden al infinito.

9 Asíntotas Verticales (la gráfica nunca las toca o interseca)

Estas existen en los valores de la variable 𝑥 que hacen cero el denominador, en otras palabras en los valores de 𝑥 excluidos del dominio de la función. Estos valores excluidos se representan en la gráfica como líneas verticales entrecortadas, para así excluir de la gráfica todos los pares ordenados que tengan este valor en 𝑥. 9 (la gráfica nunca las toca o interseca) Asíntotas Verticales

Estas existen en los valores de la variable 𝑥 que hacen cero el denominador, en otras palabras en los valores de 𝑥 excluidos del dominio de la función. Estos valores excluidos se representan en la gráfica como líneas verticales entrecortadas, para así excluir de la gráfica todos los pares ordenados que tengan este valor en 𝑥. 9 (la gráfica nunca las toca o interseca) Asíntotas Verticales

Estas existen en los valores de la variable 𝑥 que hacen cero el denominador, en otras palabras en los valores de 𝑥 excluidos del dominio de la función. Estos valores excluidos se representan en la gráfica como líneas verticales entrecortadas, para así excluir de la gráfica todos los pares ordenados que tengan este valor en 𝑥. Cuando la función 𝑅(𝑥) tiende a (+) infinito según 𝑥 se acerca a un número ℎ. La ecuación 𝑥=ℎ es la asíntota vertical de 𝑅(𝑥). 9 (la gráfica nunca las toca o interseca) Asíntotas Verticales 𝑥=ℎ

Estas existen en los valores de la variable 𝑥 que hacen cero el denominador, en otras palabras en los valores de 𝑥 excluidos del dominio de la función. Estos valores excluidos se representan en la gráfica como líneas verticales entrecortadas, para así excluir de la gráfica todos los pares ordenados que tengan este valor en 𝑥. Cuando la función 𝑅(𝑥) tiende a (+) infinito según 𝑥 se acerca a un número ℎ. La ecuación 𝑥=ℎ es la asíntota vertical de 𝑅(𝑥). 9 (la gráfica nunca las toca o interseca) Asíntotas Verticales 𝑥=ℎ

Estas existen en los valores de la variable 𝑥 que hacen cero el denominador, en otras palabras en los valores de 𝑥 excluidos del dominio de la función. Estos valores excluidos se representan en la gráfica como líneas verticales entrecortadas, para así excluir de la gráfica todos los pares ordenados que tengan este valor en 𝑥. Cuando la función 𝑅(𝑥) tiende a (+) infinito según 𝑥 se acerca a un número ℎ. La ecuación 𝑥=ℎ es la asíntota vertical de 𝑅(𝑥). 9 (la gráfica nunca las toca o interseca) Asíntotas Verticales Cuando la función 𝑅(𝑥) tiende a (−) infinito según 𝑥 se acerca a un número ℎ. La ecuación 𝑥=ℎ es la asíntota vertical de 𝑅(𝑥). 𝑥=ℎ 𝑥=ℎ

Estas existen en los valores de la variable 𝑥 que hacen cero el denominador, en otras palabras en los valores de 𝑥 excluidos del dominio de la función. Estos valores excluidos se representan en la gráfica como líneas verticales entrecortadas, para así excluir de la gráfica todos los pares ordenados que tengan este valor en 𝑥. NOTA: Si la función racional simplifica y con ello se cancela un factor no numérico de su denominador, entonces el cero de este factor deja de ser asíntota vertical para ser un HUECO en la gráfica de la función. Cuando la función 𝑅(𝑥) tiende a (+) infinito según 𝑥 se acerca a un número ℎ. La ecuación 𝑥=ℎ es la asíntota vertical de 𝑅(𝑥). 9 (la gráfica nunca las toca o interseca) Asíntotas Verticales Cuando la función 𝑅(𝑥) tiende a (−) infinito según 𝑥 se acerca a un número ℎ. La ecuación 𝑥=ℎ es la asíntota vertical de 𝑅(𝑥). 𝑥=ℎ 𝑥=ℎ

10 Asíntotas Verticales (la gráfica nunca las toca o interseca) Ejemplo: Mencione las Asíntotas Verticales y huecos (si alguno) de la siguiente función racional.

𝑓 𝑥 = 𝑥+4 𝑥 2 −16 10 Ejemplo: Mencione las Asíntotas Verticales y huecos (si alguno) de la siguiente función racional. (la gráfica nunca las toca o interseca) Asíntotas Verticales

𝑓 𝑥 = 𝑥+4 𝑥 2 −16 Inicialmente se factoriza el numerador y el denominador de la función. 𝑓 𝑥 = 𝑥+4 𝑥+4 𝑥−4 10 Ejemplo: Mencione las Asíntotas Verticales y huecos (si alguno) de la siguiente función racional. (la gráfica nunca las toca o interseca) Asíntotas Verticales

𝑓 𝑥 = 𝑥+4 𝑥 2 −16 Inicialmente se factoriza el numerador y el denominador de la función. Después se simplifica si es posible. 𝑓 𝑥 = 𝑥+4 𝑥+4 𝑥−4 10 Ejemplo: Mencione las Asíntotas Verticales y huecos (si alguno) de la siguiente función racional. (la gráfica nunca las toca o interseca) Asíntotas Verticales

𝑓 𝑥 = 𝑥+4 𝑥 2 −16 𝑓 𝑥 = 𝑥+4 𝑥+4 𝑥−4 𝑓 𝑥 = 1 𝑥−4 Inicialmente se factoriza el numerador y el denominador de la función. Después se simplifica si es posible. 10 Ejemplo: Mencione las Asíntotas Verticales y huecos (si alguno) de la siguiente función racional. (la gráfica nunca las toca o interseca) Asíntotas Verticales

𝑓 𝑥 = 𝑥+4 𝑥 2 −16 𝑓 𝑥 = 𝑥+4 𝑥+4 𝑥−4 𝑓 𝑥 = 1 𝑥−4 Inicialmente se factoriza el numerador y el denominador de la función. Después se simplifica si es posible. Luego se iguala a cero el denominador para obtener las asíntotas verticales. Si la función simplificó se iguala a cero el factor simplificado para obtener el valor de 𝑥 donde ocurre el hueco. 𝑥−4=0 𝑥=4 𝑥+4=0 𝑥=−4 10 Ejemplo: Mencione las Asíntotas Verticales y huecos (si alguno) de la siguiente función racional. (la gráfica nunca las toca o interseca) Asíntotas Verticales

Ejemplo: Mencione las Asíntotas Verticales y huecos (si alguno) de la siguiente función racional. 𝑓 𝑥 = 𝑥+4 𝑥 2 −16 𝑓 𝑥 = 𝑥+4 𝑥+4 𝑥−4 𝑓 𝑥 = 1 𝑥−4 ∴ la gráfica tiene una asíntota vertical en 𝑥=4 y un hueco en 𝑥=−4. Inicialmente se factoriza el numerador y el denominador de la función. Después se simplifica si es posible. Luego se iguala a cero el denominador para obtener las asíntotas verticales. Si la función simplificó se iguala a cero el factor simplificado para obtener el valor de 𝑥 donde ocurre el hueco. 𝑥−4=0 𝑥=4 𝑥+4=0 𝑥=−4 10 (la gráfica nunca las toca o interseca) Asíntotas Verticales

11 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Horizontales

11 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Horizontales Los valores de la variable 𝒚 que se representan como una asíntota horizontal se obtienen al comparar los grados de los polinomios de la función racional, 𝒏 y 𝒎 respectivamente (numerador y denominador) veamos…

i) Si 𝒏<𝒎 entonces, 𝑦=0 es su asíntota horizontal (el eje de 𝑥) Criterios Asíntotas horizontales 11 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Horizontales Los valores de la variable 𝒚 que se representan como una asíntota horizontal se obtienen al comparar los grados de los polinomios de la función racional, 𝒏 y 𝒎 respectivamente (numerador y denominador) veamos…

i) Si 𝒏<𝒎 entonces, 𝑦=0 es su asíntota horizontal (el eje de 𝑥) ii) Si 𝒏=𝒎 entonces, 𝑦= 𝑎 𝑛 𝑏 𝑚 es su asíntota horizontal Criterios Asíntotas horizontales 11 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Horizontales Los valores de la variable 𝒚 que se representan como una asíntota horizontal se obtienen al comparar los grados de los polinomios de la función racional, 𝒏 y 𝒎 respectivamente (numerador y denominador) veamos…

i) Si 𝒏<𝒎 entonces, 𝑦=0 es su asíntota horizontal (el eje de 𝑥) ii) Si 𝒏=𝒎 entonces, 𝑦= 𝑎 𝑛 𝑏 𝑚 es su asíntota horizontal Criterios Asíntotas horizontales iii) Si 𝒏>𝒎 entonces, no existe asíntota horizontal 11 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Horizontales Los valores de la variable 𝒚 que se representan como una asíntota horizontal se obtienen al comparar los grados de los polinomios de la función racional, 𝒏 y 𝒎 respectivamente (numerador y denominador) veamos…

Los valores de la variable 𝒚 que se representan como una asíntota horizontal se obtienen al comparar los grados de los polinomios de la función racional, 𝒏 y 𝒎 respectivamente (numerador y denominador) veamos… i) Si 𝒏<𝒎 entonces, 𝑦=0 es su asíntota horizontal (el eje de 𝑥) ii) Si 𝒏=𝒎 entonces, 𝑦= 𝑎 𝑛 𝑏 𝑚 es su asíntota horizontal Criterios Asíntotas horizontales iii) Si 𝒏>𝒎 entonces, no existe asíntota horizontal 11 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Horizontales

Los valores de la variable 𝒚 que se representan como una asíntota horizontal se obtienen al comparar los grados de los polinomios de la función racional, 𝒏 y 𝒎 respectivamente (numerador y denominador) veamos… i) Si 𝒏<𝒎 entonces, 𝑦=0 es su asíntota horizontal (el eje de 𝑥) ii) Si 𝒏=𝒎 entonces, 𝑦= 𝑎 𝑛 𝑏 𝑚 es su asíntota horizontal Criterios Asíntotas horizontales iii) Si 𝒏>𝒎 entonces, no existe asíntota horizontal 11 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Horizontales Cuando la función 𝑅(𝑥) se acerca a un número 𝑘 segun 𝑥 tiende a (−) infinito. La ecuación y=𝑘 es la asíntota horizontal de 𝑅(𝑥). 𝑦=𝑘

Los valores de la variable 𝒚 que se representan como una asíntota horizontal se obtienen al comparar los grados de los polinomios de la función racional, 𝒏 y 𝒎 respectivamente (numerador y denominador) veamos… i) Si 𝒏<𝒎 entonces, 𝑦=0 es su asíntota horizontal (el eje de 𝑥) ii) Si 𝒏=𝒎 entonces, 𝑦= 𝑎 𝑛 𝑏 𝑚 es su asíntota horizontal Criterios Asíntotas horizontales iii) Si 𝒏>𝒎 entonces, no existe asíntota horizontal 11 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Horizontales Cuando la función 𝑅(𝑥) se acerca a un número 𝑘 segun 𝑥 tiende a (−) infinito. La ecuación y=𝑘 es la asíntota horizontal de 𝑅(𝑥). 𝑦=𝑘

Los valores de la variable 𝒚 que se representan como una asíntota horizontal se obtienen al comparar los grados de los polinomios de la función racional, 𝒏 y 𝒎 respectivamente (numerador y denominador) veamos… i) Si 𝒏<𝒎 entonces, 𝑦=0 es su asíntota horizontal (el eje de 𝑥) ii) Si 𝒏=𝒎 entonces, 𝑦= 𝑎 𝑛 𝑏 𝑚 es su asíntota horizontal Criterios Asíntotas horizontales iii) Si 𝒏>𝒎 entonces, no existe asíntota horizontal 11 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Horizontales Cuando la función 𝑅(𝑥) se acerca a un número 𝑘 segun 𝑥 tiende a (−) infinito. La ecuación y=𝑘 es la asíntota horizontal de 𝑅(𝑥). Cuando la función 𝑅(𝑥) se acerca a un número 𝑘 según 𝑥 tiende a (+) infinito. La ecuación 𝑦=𝑘 es la asíntota horizontal de 𝑅(𝑥). 𝑦=𝑘 𝑦=𝑘

13 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Oblicuas y Otras

13 Criterios Asíntotas Oblicuas y Otras (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Oblicuas y Otras

Estas asíntotas se obtienen si no hay asíntota horizontal. El tipo de asíntota depende de la diferencia entre el grado de los polinomios del numerador y denominador, veamos… 13 Criterios Asíntotas Oblicuas y Otras (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Oblicuas y Otras

Estas asíntotas se obtienen si no hay asíntota horizontal. El tipo de asíntota depende de la diferencia entre el grado de los polinomios del numerador y denominador, veamos… a) Si 𝑛−𝑚=1 hay Asíntota Oblicua (líneas rectas crecientes o decrecientes) 13 Criterios Asíntotas Oblicuas y Otras (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Oblicuas y Otras

Estas asíntotas se obtienen si no hay asíntota horizontal. El tipo de asíntota depende de la diferencia entre el grado de los polinomios del numerador y denominador, veamos… a) Si 𝑛−𝑚=1 hay Asíntota Oblicua (líneas rectas crecientes o decrecientes) b) Si 𝑛−𝑚=2 hay Asíntota Cuadrática (parábola) 13 Criterios Asíntotas Oblicuas y Otras (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Oblicuas y Otras

Estas asíntotas se obtienen si no hay asíntota horizontal. El tipo de asíntota depende de la diferencia entre el grado de los polinomios del numerador y denominador, veamos… a) Si 𝑛−𝑚=1 hay Asíntota Oblicua (líneas rectas crecientes o decrecientes) b) Si 𝑛−𝑚=2 hay Asíntota Cuadrática (parábola) c) Si 𝑛−𝑚=3 hay Asíntota Cúbica (gráfica cúbica) 13 Criterios Asíntotas Oblicuas y Otras (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Oblicuas y Otras

Estas asíntotas se obtienen si no hay asíntota horizontal. El tipo de asíntota depende de la diferencia entre el grado de los polinomios del numerador y denominador, veamos… a) Si 𝑛−𝑚=1 hay Asíntota Oblicua (líneas rectas crecientes o decrecientes) b) Si 𝑛−𝑚=2 hay Asíntota Cuadrática (parábola) c) Si 𝑛−𝑚=3 hay Asíntota Cúbica (gráfica cúbica) d)Si 𝑛−𝑚=4 hay Asíntota Polinómica y así sucesivamente. 13 Criterios Asíntotas Oblicuas y Otras (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Oblicuas y Otras

Estas asíntotas se obtienen si no hay asíntota horizontal. El tipo de asíntota depende de la diferencia entre el grado de los polinomios del numerador y denominador, veamos… a) Si 𝑛−𝑚=1 hay Asíntota Oblicua (líneas rectas crecientes o decrecientes) b) Si 𝑛−𝑚=2 hay Asíntota Cuadrática (parábola) c) Si 𝑛−𝑚=3 hay Asíntota Cúbica (gráfica cúbica) d)Si 𝑛−𝑚=4 hay Asíntota Polinómica y así sucesivamente. Para hallar estas asíntota tenemos que dividir los polinomios como lo indica la función 𝑓(𝑥), 𝑦=𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 será la asíntota a ser pintada en la gráfica. Recuerde que los polinomios se suelen dividir utilizando la división larga. Criterios Asíntotas Oblicuas y Otras 13 Asíntotas Oblicuas y Otras (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)

Asíntotas Función Racional 16 Ejemplo: Buscar todas las asíntotas de la gráfica de la función 𝑔 𝑥 = 𝑥 3 −𝑥 𝑥 2 −𝑥−2

Asíntotas Función Racional 16 Factorizar y simplificar si es posible 𝑔 𝑥 = 𝑥(𝑥−1)(𝑥+1) (𝑥−2)(𝑥+1) 𝑔 𝑥 = 𝑥(𝑥−1) (𝑥−2) Ejemplo: Buscar todas las asíntotas de la gráfica de la función 𝑔 𝑥 = 𝑥 3 −𝑥 𝑥 2 −𝑥−2

Asíntotas Función Racional 16 Sus asíntotas son: Factorizar y simplificar si es posible 𝑔 𝑥 = 𝑥(𝑥−1)(𝑥+1) (𝑥−2)(𝑥+1) 𝑔 𝑥 = 𝑥(𝑥−1) (𝑥−2) Ejemplo: Buscar todas las asíntotas de la gráfica de la función 𝑔 𝑥 = 𝑥 3 −𝑥 𝑥 2 −𝑥−2

Asíntotas Función Racional 16 Asíntota horizontal: 𝑛>𝑚 𝑦 𝑛−𝑚=1: No hay A. Horizontal Sus asíntotas son: Factorizar y simplificar si es posible 𝑔 𝑥 = 𝑥(𝑥−1)(𝑥+1) (𝑥−2)(𝑥+1) 𝑔 𝑥 = 𝑥(𝑥−1) (𝑥−2) Ejemplo: Buscar todas las asíntotas de la gráfica de la función 𝑔 𝑥 = 𝑥 3 −𝑥 𝑥 2 −𝑥−2

Asíntotas Función Racional 16 Asíntota Oblicua: 𝑦=𝑄(𝑥), hacemos la división obteniendo Asíntota horizontal: 𝑛>𝑚 𝑦 𝑛−𝑚=1: No hay A. Horizontal Sus asíntotas son: Factorizar y simplificar si es posible 𝑔 𝑥 = 𝑥(𝑥−1)(𝑥+1) (𝑥−2)(𝑥+1) 𝑔 𝑥 = 𝑥(𝑥−1) (𝑥−2) Ejemplo: Buscar todas las asíntotas de la gráfica de la función 𝑔 𝑥 = 𝑥 3 −𝑥 𝑥 2 −𝑥−2

División: Asíntotas Función Racional 16 𝑦=𝑥+1, es el cociente 1 −1 0 1 1 2 2 2 2 Asíntota Oblicua: 𝑦=𝑄(𝑥), hacemos la división obteniendo Asíntota horizontal: 𝑛>𝑚 𝑦 𝑛−𝑚=1: No hay A. Horizontal Sus asíntotas son: Factorizar y simplificar si es posible 𝑔 𝑥 = 𝑥(𝑥−1)(𝑥+1) (𝑥−2)(𝑥+1) 𝑔 𝑥 = 𝑥(𝑥−1) (𝑥−2) Ejemplo: Buscar todas las asíntotas de la gráfica de la función 𝑔 𝑥 = 𝑥 3 −𝑥 𝑥 2 −𝑥−2

División: Asíntotas Función Racional 16 𝑦=𝑥+1, es el cociente 1 −1 0 1 1 2 2 2 2 Asíntota Oblicua: 𝑦=𝑄(𝑥), hacemos la división obteniendo ∴𝑙𝑎 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑎 𝑒𝑠 𝑦=𝑥+1 Asíntota horizontal: 𝑛>𝑚 𝑦 𝑛−𝑚=1: No hay A. Horizontal Sus asíntotas son: Factorizar y simplificar si es posible 𝑔 𝑥 = 𝑥(𝑥−1)(𝑥+1) (𝑥−2)(𝑥+1) 𝑔 𝑥 = 𝑥(𝑥−1) (𝑥−2) Ejemplo: Buscar todas las asíntotas de la gráfica de la función 𝑔 𝑥 = 𝑥 3 −𝑥 𝑥 2 −𝑥−2

Ejemplo: Buscar todas las asíntotas de la gráfica de la función 𝑔 𝑥 = 𝑥 3 −𝑥 𝑥 2 −𝑥−2 En la gráfica: División: Asíntotas Función Racional 16 𝑦=𝑥+1, es el cociente 1 −1 0 1 1 2 2 2 2 Asíntota Oblicua: 𝑦=𝑄(𝑥), hacemos la división obteniendo ∴𝑙𝑎 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑎 𝑒𝑠 𝑦=𝑥+1 Asíntota horizontal: 𝑛>𝑚 𝑦 𝑛−𝑚=1: No hay A. Horizontal Sus asíntotas son: Factorizar y simplificar si es posible 𝑔 𝑥 = 𝑥(𝑥−1)(𝑥+1) (𝑥−2)(𝑥+1) 𝑔 𝑥 = 𝑥(𝑥−1) (𝑥−2)

Gráfica Función Racional 20 Ejemplo: Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 = 3𝑥+1 𝑥−8

Asíntota vertical: 𝑥=8, no hay huecos. Gráfica Función Racional 20 Ejemplo: Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 = 3𝑥+1 𝑥−8 Solución:

Asíntota vertical: 𝑥=8, no hay huecos. Asíntota Horizontal: 𝑦=3, no hay otras asíntotas. Gráfica Función Racional 20 Ejemplo: Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 = 3𝑥+1 𝑥−8 Solución:

Asíntota vertical: 𝑥=8, no hay huecos. Asíntota Horizontal: 𝑦=3, no hay otras asíntotas. Prueba de corte: La gráfica no corta la asíntota horizontal. Gráfica Función Racional 20 Ejemplo: Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 = 3𝑥+1 𝑥−8 Solución:

Asíntota vertical: 𝑥=8, no hay huecos. Asíntota Horizontal: 𝑦=3, no hay otras asíntotas. Prueba de corte: La gráfica no corta la asíntota horizontal. Intersecciones en los ejes: − 1 3 ,0 , 0, − 1 8 Gráfica Función Racional 20 Ejemplo: Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 = 3𝑥+1 𝑥−8 Solución:

Asíntota vertical: 𝑥=8, no hay huecos. Asíntota Horizontal: 𝑦=3, no hay otras asíntotas. Prueba de corte: La gráfica no corta la asíntota horizontal. Signos: 𝑓 𝑥 >0: −∞, − 1 3 ∪ 8, ∞ 𝑓 𝑥 <0: − 1 3 , 8 Intersecciones en los ejes: − 1 3 ,0 , 0, − 1 8 Gráfica Función Racional 20 Ejemplo: Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 = 3𝑥+1 𝑥−8 Solución:

Asíntota vertical: 𝑥=8, no hay huecos. Asíntota Horizontal: 𝑦=3, no hay otras asíntotas. Prueba de corte: La gráfica no corta la asíntota horizontal. Signos: 𝑓 𝑥 >0: −∞, − 1 3 ∪ 8, ∞ 𝑓 𝑥 <0: − 1 3 , 8 Intersecciones en los ejes: − 1 3 ,0 , 0, − 1 8 Gráfica Función Racional Gráfica: 20 Ejemplo: Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 = 3𝑥+1 𝑥−8 Solución:

Práctica: ¿Cuál de las siguientes es la gráfica de 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 2 −12 𝑥 2 −5𝑥+6 ? Explique. a) c) d) b) Gráfica Función Racional 23

26 Funciones Racionales Fin Esta es una muestra de algunas páginas de la presentación final. Si deseas la presentación completa la puedes obtener en matematicaspr.com. Espero que esta muestra ayude a aclarar algunas de sus dudas respecto a las funciones racionales y sus gráficas.

Gráfica Función Racional 23 Felicidades Usted ha seleccionado la alternativa correcta a) b) c) d) Presione aquí para ver los detalles de la solución.

Gráfica Función Racional 23 Usted no ha seleccionado la alternativa correcta a) c) d) b) Presione aquí para ver los detalles de la solución. Revisar la posición de las intersecciones y el hueco.

Gráfica Función Racional 23 Usted no ha seleccionado la alternativa correcta a) b) c) d) Presione aquí para ver los detalles de la solución. Revisar la posición de las asíntotas y las intersecciones.

Gráfica Función Racional 23 Usted no ha seleccionado la alternativa correcta a) b) c) d) Presione aquí para ver los detalles de la solución. Revisar la posición de las asíntotas y el hueco.