Coordenadas Polares, Vectores y Números Complejos Gráficas Polares 1

Objetivos 2

Objetivos Identificar la gráfica de una ecuación polar. 2

Objetivos Identificar la gráfica de una ecuación polar. Simetría de las gráficas de ecuaciones polares. 2

Objetivos Identificar la gráfica de una ecuación polar. Simetría de las gráficas de ecuaciones polares. Desarrollar los modelos de las gráficas polares. 2

Objetivos Identificar la gráfica de una ecuación polar. Simetría de las gráficas de ecuaciones polares. Desarrollar los modelos de las gráficas polares. Espiral 2

Objetivos Identificar la gráfica de una ecuación polar. Simetría de las gráficas de ecuaciones polares. Desarrollar los modelos de las gráficas polares. Espiral Rectas 2

Objetivos Identificar la gráfica de una ecuación polar. Simetría de las gráficas de ecuaciones polares. Desarrollar los modelos de las gráficas polares. Espiral Rectas Circunferencias 2

Objetivos Identificar la gráfica de una ecuación polar. Simetría de las gráficas de ecuaciones polares. Desarrollar los modelos de las gráficas polares. Espiral Rectas Circunferencias Caracoles 2

Objetivos Identificar la gráfica de una ecuación polar. Simetría de las gráficas de ecuaciones polares. Desarrollar los modelos de las gráficas polares. Espiral Rectas Circunferencias Caracoles Rosas 2

Objetivos Identificar la gráfica de una ecuación polar. Simetría de las gráficas de ecuaciones polares. Desarrollar los modelos de las gráficas polares. Espiral Rectas Circunferencias Caracoles Rosas Lemniscata 2

Objetivos Identificar la gráfica de una ecuación polar. Simetría de las gráficas de ecuaciones polares. Desarrollar los modelos de las gráficas polares. Espiral Rectas Circunferencias Caracoles Rosas Lemniscata Describir la gráfica de una ecuación polar. 2

Objetivos Identificar la gráfica de una ecuación polar. Simetría de las gráficas de ecuaciones polares. Desarrollar los modelos de las gráficas polares. Espiral Rectas Circunferencias Caracoles Rosas Lemniscata Describir la gráfica de una ecuación polar. Graficar ecuaciones polares utilizando modelos. 2

Una ecuación cuyas variables están en coordenadas polares es una ecuación polar. Gráficas Polares 3

Una ecuación cuyas variables están en coordenadas polares es una ecuación polar. Ejemplo: La ecuación polar de una circunferencia es 𝑟=−5𝑐𝑜𝑠 𝜃 Gráficas Polares 3

Una ecuación cuyas variables están en coordenadas polares es una ecuación polar. La gráfica de una ecuación polar consiste de todos los puntos cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuación. Ejemplo: La ecuación polar de una circunferencia es 𝑟=−5𝑐𝑜𝑠 𝜃 Gráficas Polares 3

Una ecuación cuyas variables están en coordenadas polares es una ecuación polar. La gráfica de una ecuación polar consiste de todos los puntos cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuación. A la derecha se presenta un ejemplo de una gráfica polar. Ejemplo: La ecuación polar de una circunferencia es 𝑟=−5𝑐𝑜𝑠 𝜃 Gráficas Polares 3

Gráficas Polares Ecuaciones de espiral 6

Llamada espiral de Arquímedes. Es una ecuación polar en la que el radio crece según aumenta el ángulo. Su ecuación es de la forma 𝑟=𝜃. Gráficas Polares Ecuaciones de espiral 6

Llamada espiral de Arquímedes. Es una ecuación polar en la que el radio crece según aumenta el ángulo. Su ecuación es de la forma 𝑟=𝜃. Gráficas Polares Ecuaciones de espiral 6

Llamada espiral de Arquímedes. Es una ecuación polar en la que el radio crece según aumenta el ángulo. Su ecuación es de la forma 𝑟=𝜃. Gráficas Polares Ecuaciones de espiral 6

Gráficas Polares Ecuaciones de la recta 7

Esta línea está 𝑎 unidades a la derecha del polo si 𝑎>0 y … Gráficas Polares Ecuaciones de la recta Recta vertical Es una recta vertical que está 𝑎 unidades a la derecha o izquierda del polo. 𝑎 8

𝑎 Gráficas Polares Ecuaciones de la recta Recta vertical Es una recta vertical que está 𝑎 unidades a la derecha o izquierda del polo. Esta línea está 𝑎 unidades a la derecha del polo si 𝑎>0 y está 𝑎 unidades a la izquierda del polo si 𝑎<0. 8

Gráficas Polares Ecuaciones de la recta Recta vertical Es una recta vertical que está 𝑎 unidades a la derecha o izquierda del polo. Esta línea está 𝑎 unidades a la derecha del polo si 𝑎>0 y está 𝑎 unidades a la izquierda del polo si 𝑎<0. Ecuación polar 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃)=𝑎 𝑎 8

Gráficas Polares Ecuaciones de la circunferencia 13

Circunferencia con centro en el eje polar. Es una circunferencia que pasa por el polo, es tangente con la recta 𝜃= 𝜋 2 , tiene centro en el eje polar y radio 𝑎. Gráficas Polares Ecuaciones de la circunferencia 14

Circunferencia con centro en el eje polar. Es una circunferencia que pasa por el polo, es tangente con la recta 𝜃= 𝜋 2 , tiene centro en el eje polar y radio 𝑎. Gráficas Polares Ecuaciones de la circunferencia 14 2𝑎 𝑎 Se dibuja 2𝑎 y se identifica el radio 𝑎.

Circunferencia con centro en el eje polar. Es una circunferencia que pasa por el polo, es tangente con la recta 𝜃= 𝜋 2 , tiene centro en el eje polar y radio 𝑎. Gráficas Polares Ecuaciones de la circunferencia 14 2𝑎 𝑎 Se dibuja 2𝑎 y se identifica el radio 𝑎. Luego se dibuja la circunferencia.

Circunferencia con centro en el eje polar. Es una circunferencia que pasa por el polo, es tangente con la recta 𝜃= 𝜋 2 , tiene centro en el eje polar y radio 𝑎. Gráficas Polares Ecuaciones de la circunferencia 14 2𝑎 𝑎 Se dibuja 2𝑎 y se identifica el radio 𝑎. Luego se dibuja la circunferencia. Ecuación polar 𝑟=±2𝑎𝑐𝑜𝑠 𝜃 donde, 𝑎>0

Ecuaciones de caracoles Gráficas Polares 19

Palabra francesa que proviene del latín “limax” y que significa caracol (o limacon) es la gráfica de una ecuación polar de la forma: 𝑟=𝑎±𝑏𝑐𝑜𝑠 𝜃 o 𝑟=𝑎±𝑏𝑠𝑒𝑛 𝜃 , donde 𝑎>0 y 𝑏>0. Existen cuatro tipos de caracoles, que dependen de la razón 𝒂 𝒃 . Caracol (Limaςon) Ecuaciones de caracoles Gráficas Polares 19

Palabra francesa que proviene del latín “limax” y que significa caracol (o limacon) es la gráfica de una ecuación polar de la forma: 𝑟=𝑎±𝑏𝑐𝑜𝑠 𝜃 o 𝑟=𝑎±𝑏𝑠𝑒𝑛 𝜃 , donde 𝑎>0 y 𝑏>0. Existen cuatro tipos de caracoles, que dependen de la razón 𝒂 𝒃 . Cardioide 𝒂 𝒃 =𝟏 Caracol (Limaςon) Gráficas Polares Ecuaciones de caracoles 19

Palabra francesa que proviene del latín “limax” y que significa caracol (o limacon) es la gráfica de una ecuación polar de la forma: 𝑟=𝑎±𝑏𝑐𝑜𝑠 𝜃 o 𝑟=𝑎±𝑏𝑠𝑒𝑛 𝜃 , donde 𝑎>0 y 𝑏>0. Existen cuatro tipos de caracoles, que dependen de la razón 𝒂 𝒃 . Cardioide 𝒂 𝒃 =𝟏 Caracol con un lazo 𝒂 𝒃 <𝟏 Caracol (Limaςon) Gráficas Polares Ecuaciones de caracoles 19

Palabra francesa que proviene del latín “limax” y que significa caracol (o limacon) es la gráfica de una ecuación polar de la forma: 𝑟=𝑎±𝑏𝑐𝑜𝑠 𝜃 o 𝑟=𝑎±𝑏𝑠𝑒𝑛 𝜃 , donde 𝑎>0 y 𝑏>0. Existen cuatro tipos de caracoles, que dependen de la razón 𝒂 𝒃 . Cardioide 𝒂 𝒃 =𝟏 Caracol con un lazo 𝒂 𝒃 <𝟏 Caracol con hendidura 1< 𝒂 𝒃 <𝟐 Caracol (Limaςon) Gráficas Polares Ecuaciones de caracoles 19

Palabra francesa que proviene del latín “limax” y que significa caracol (o limacon) es la gráfica de una ecuación polar de la forma: 𝑟=𝑎±𝑏𝑐𝑜𝑠 𝜃 o 𝑟=𝑎±𝑏𝑠𝑒𝑛 𝜃 , donde 𝑎>0 y 𝑏>0. Existen cuatro tipos de caracoles, que dependen de la razón 𝒂 𝒃 . Cardioide 𝒂 𝒃 =𝟏 Caracol con un lazo 𝒂 𝒃 <𝟏 Caracol con hendidura 1< 𝒂 𝒃 <𝟐 Caracol convexo 𝒂 𝒃 ≥𝟐 Caracol (Limaςon) Gráficas Polares Ecuaciones de caracoles 19

Gráficas Polares Ecuaciones de rosas 40

Rosas de 𝑛 pétalos Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar. Gráficas Polares Ecuaciones de rosas 40

Rosas de 𝑛 pétalos Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar. Gráficas Polares Ecuaciones de rosas La gráfica de la izquierda es una rosa de tres pétalos. 40

Rosas de 𝑛 pétalos Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar. Gráficas Polares Ecuaciones de rosas Ecuación polar 𝑟=𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎>0 𝑟=𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎>0 40

Rosas de 𝑛 pétalos Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar. Gráficas Polares Ecuaciones de rosas Ecuación polar 𝑟=𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎>0 𝑟=𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎>0 Posición del primer pétalo Ecuación 𝑟=𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 dividir 𝜋 2 por 𝑛 40

Rosas de 𝑛 pétalos Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar. Gráficas Polares Ecuaciones de rosas Ecuación polar 𝑟=𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎>0 𝑟=𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎>0 Posición del primer pétalo Ecuación 𝑟=𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 dividir 𝜋 2 por 𝑛 40

Rosas de 2𝑛 pétalos Es una rosa de 2𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es par. Ecuación polar 𝑟=𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎>0 𝑟=𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎>0 Gráficas Polares Ecuaciones de rosas Posición del primer pétalo Ecuación 𝑟=𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 dividir 𝜋 2 por 𝑛 Ecuación 𝑟=𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 dividir 0 por 𝑛 41

Rosas de 2𝑛 pétalos Es una rosa de 2𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es par. Ecuación polar 𝑟=𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎>0 𝑟=𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎>0 Gráficas Polares Ecuaciones de rosas Posición del primer pétalo Ecuación 𝑟=𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 dividir 𝜋 2 por 𝑛 Ecuación 𝑟=𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 dividir 0 por 𝑛 41

Rosas de 2𝑛 pétalos Es una rosa de 2𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es par. Ecuación polar 𝑟=𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎>0 𝑟=𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎>0 Gráficas Polares Ecuaciones de rosas Posición del primer pétalo Ecuación 𝑟=𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 dividir 𝜋 2 por 𝑛 Ecuación 𝑟=𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 dividir 0 por 𝑛 La distancia entre los pétalos es 2𝜋 entre el número de pétalos (2𝑛). 41

Rosas de 2𝑛 pétalos Es una rosa de 2𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es par. Ecuación polar 𝑟=𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎>0 𝑟=𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎>0 Gráficas Polares Ecuaciones de rosas Posición del primer pétalo Ecuación 𝑟=𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 dividir 𝜋 2 por 𝑛 Ecuación 𝑟=𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 dividir 0 por 𝑛 La distancia entre los pétalos es 2𝜋 entre el número de pétalos (2𝑛) y cada uno mide 𝑎 unidades. 41

Coordenadas Polares 48 Fin Esta es una muestra de algunas páginas de la presentación final. Si deseas la presentación completa la puedes obtener en matematicaspr.com. Espero que esta muestra ayude a aclarar algunas de sus dudas respecto algunas gráficas polares.