Reynoso - Modelos de redes complejas percolacion y epidemiologia

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1 Modelado de complejidad en medicina, biología y neurociencia Modelos reticulares, percolación y epidemiología Carlos Reynoso UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES http://carlosreynoso.com.ar

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2 Requisitos Presentación sobre redes y complejidad http://carlosreynoso.com.ar/hacia-la-complejidad-por-la-via-de-las-redes/ Presentación sobre dinámicas complejas y transiciones de fase http://carlosreynoso.com.ar/criticalidad-auto-organizada-y-dinamicas-complejas/

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3 Objetivos Comprender principios operativos de los modelos reticulares complejos aplicados a los temas de referencia Realizar ejercicios de diseño y análisis Identificar problemas no resueltos y errores comunes Referir la bibliografía reciente de estudios de casos

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4 Agenda [Continuación de la presentación sobre redes y complejidad] Redes complejas en medicina, quimio- y bioinformática Introducción a la percolación y sus aplicaciones Modelos complejos en epidemiología Metodologías de vacunación no estándar en redes complejas Conclusiones Recursos bibliográficos, herramientas y referencias

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5 Redes complejas en medicina, quimio- y bioinformática

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6 Teoría de la percolación Broadwood y Hammerstein, 1957 Proceso no proporcional, ni monótono, ni gradual Por encima del 40% de obturación el paso de aire se corta en seco La TP es el modelo sin solución exacta más simple conocido que exhibe una transición de fase La comprensión de la TP facilita la comprensión de otros sistemas físicos (o sociales) El concepto de fractales está íntimamente relacionado con la TP

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7 Percolación Los que han cocido un huevo han experimentado algo semejante Gelación: la albúmina está líquida o tiene la textura de un gel Puede que no esté toda cocida, pero la parte que lo está lo está por completo Cocer un huevo puede pensarse como un proceso de percolación sobre un enrejado [lattice] de Bethe o un árbol de Cayley tridimensional extremadamente denso

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8 Percolación Dos tipos De vínculo (bond) – Modelo de flujo por ligadura. De sitio (site) – Modelo de flujo por nodo. Estos modelos son los más generales. Un modelo de ligadura se puede reformular como uno de sitio sobre un enrejado diferente. Lo contrario no es posible.

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9 Percolación de vínculo y sitio

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10 Sitio o ligadura Una alternativa delicada, según el modelo epidemiológico escogido:

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11 Sitio o ligadura En percolación de sitio el umbral de percolación exacto de una grilla cuadrangular es todavía una incógnita El campo resultó ser más difícil de lo esperado. La cifra parece estar en torno de pc ≈ 0,5927621 A medida que las computadoras se hacen más poderosas se van añadiendo más decimales, pero los primeros dígitos ya no varían. Para la percolación de enlace, en cambio, el umbral se sitúa exactamente en pc = 0,5 Parece simple, pero llevó décadas establecer teórica y computacionalmente ese valor.

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12 Percolación Umbral de percolación – Umbral de contagio en redes complejas Teoría de la difusión de innovaciones Rogers – Proceso caracterizado por distribución logística Difusión de rumores, modas, enfermedades Teoría de la comunicación: influencias Strogatz, Watts: Más que los susceptibles, importan los influyentes Contrario a la intuición Estrabón y los monos de España Procesos idénticos, independientemente del objeto

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13 Percolación - 49

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14 Percolación - 51

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15 Percolación – Especificación de detalle (1/2)

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16 Percolación – Especificación de detalle (2/2)

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17 Redes aleatorias Ray Solomonoff & Anatol Rapoport, 1951 – Antecedente poco conocido Paul Erdös y Alfred Rényi, 1950s Redes aleatorias – Extrañas propiedades Cuando los nodos tienen en promedio un vínculo cada uno, la fracción del grafo ocupada por el componente más vinculado salta de casi cero a casi uno. Esta es una transición de fase de desconectada a conectada El punto en el que esto sucede es el punto crítico (percolación) La red pasa de varios conglomerados a un componente total Cualquier cosa que suceda en un nodo afecta al conjunto Pajek – Red aleatoria 25 25 – Fruchterman Rengold 2D

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18 Red ER desconectada (10 / 2) Pajek

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19 Red ER conectada (10 / 3)

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20 Tipos de grafos y redes Enrejados de Bethe [Betthe lattice] Grafo conectado acíclico Cada nodo está conectado a z nodos z es el número de coordinación Debido a su estructura topológica, sus mecánicas estadísticas son generalmente susceptibles de solución [solvables] Muchos procesos biológicos se pueden aproximar a modelos sobre enrejados de Bethe En particular, los que involucran procesos inmunológicos Un EB es el límite termodinámico de un árbol de Cayley → Enrejado de Bethe con z=3 (Wikipedia)

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21 Tipos de grafos y redes Grafos de Cayley Aka Diagrama de grupo o grupo de color Codifica la estructura abstracta de un grupo Se puede comprender la estructura del grupo estudiando la matriz de adyacencia del grafo y aplicando teoría espectral

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22 Fractalidad de ciertos grafos de Cayley

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23 Programas de modelado Group Explorer

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24 Programas de modelado Jenn

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25 Estadísticas de la percolación El cálculo explícito puede ser intratable incluso ante clusters de modesto tamaño. El concepto de invariancia de escala suministra una estadística para los fenómenos de percolación en general. A revisarse luego en profundidad Eso se debe a la naturaleza fractal de la percolación en las cercanías de una transición de fase. En una transición de fase los sistemas percolantes se comportan de maneras parecidas en todas las escalas.

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26 Recursos y casos Cap. 9 – Teoría de grafos en quimio- y bioinformática Chemical Markup Language Programas y bases de datos Cap. 10 – Dinámica estructural y funcional en redes corticales y neuronales Defibrilación cardíaca Redes IE y robustez frente a daño estructural Cap. 11 – Mapeo de redes y pathways metabólicos Cap. 13 – Complejidad de redes filogenéticas

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27 Las redes corticales no son totalmente conexas Existe sólo el 30% de los arcos posibles Pero hay conjuntos de nodos densamente conectados (clusters) Corresponden a diferenciaciones funcionales de áreas P. ej. visual, auditorio, somatosensorial etc 20% de las conexiones son unidireccionales En general se usan medidas adecuadas para grafos dirigidos No hay info suficiente para tratar el cerebro humano como red a escala real Hay técnicas no invasivas (diffusion tensor imaging, resting state networks) pero se trabaja sobre gatos, macacos y C. elegans

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28 C. elegans Caenorhabditis elegans Nematodo transparente, 1 mm de largo Organismo modelo para toda clase de estudios Suficientemente simple para estudiarse en detalle Uno de los más simples con sistema nervioso: 302 neuronas Totalmente mapeadas, con relaciones de mundos pequeños Organismo más complejo que exhibe fases de sueño similares a las humanas* *Video en página del curso

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29 Hay indicios de pequeños mundos a diferentes niveles organizacionales Coeficiente de clustering de 49% en macacos En general hay 1 ó 2 áreas intermedias entre áreas Hay rasgos característicos de redes IE, tales como ley de potencia en la distribución de grado Los efectos de daño en gatos y macacos son similares a los de las redes IE El análisis de motivos muestra que los sistemas están configurados para un máximo número de motivos funcionales posibles Estudios recientes señalan sincronización en redes neuronales (reales)

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30 Datos de macacos y c. elegans, etc http://www.biological-networks.org/

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31 Brain architecture http://brancusi.usc.edu/bkms/

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32 Brain connectivity http://www.indiana.edu/~cortex/connectivity.html

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33 Recursos y casos Muhammad Sahimi. 1994. Applications of percolation theory. Boca Raton, CRC Press

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34 Programas de modelado NetLogo Models Library Sample Models > Earth Science http://ccl.northwestern.edu/netlogo/models/Percolation FracLab

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35 FracLab – Synthesis / Percolation

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36 FracLab – Percolation / Help

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37 FracLab – Percolation / Build / Compute

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38 FracLab – Operaciones sobre Figuras

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39 FracLab – Gráfico de proceso Curva fractal: Escalera del Diablo

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40 Escalera del diablo = Función de Cantor  Conjunto de Cantor

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41 FracLab – Operaciones sobre Figuras

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42 Modelos epidemiológicos reticulares

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43 Modelos epidemiológicos Modelos de compartimiento Los flujos se describen mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias de baja dimensionalidad SIR – Susceptible, Infectado, Recuperado SEIR – Susceptible, Expuesto, Infectado, Recuperado MSIR – Maternally-derived immunity, Susceptible, Infectado, Recuperado SIS – Susceptible, Infectado, Susceptible Modelos reticulares No compartimientos, sino individuos en poblaciones Ver Lloyd y Valeika (en Blasius y otros 2007)

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44 Epidemiología, percolación y criticalidad auto-organizada Modelo SIS Exhibe criticalidad auto-organizada Su clase de universalidad se llama percolación dirigida (DP) Modelo SIR Exhibe criticalidad auto-organizada Su clase de universalidad se llama percolación de vínculo [bond] Hoy se la llama más bien percolación dinámica (DyP) Las epidemias SIR son auto-limitadas: eventualmente se extinguen Infectado Susceptible Recuperado Infectado Susceptible

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45 Simulación de SIR online http://jsxgraph.uni-bayreuth.de/wiki/index.php/Epidemiology:_The_SIR_model http://jsxgraph.uni-bayreuth.de/wiki/index.php/Epidemiology:_The_SIR_model

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46 Wolfram Demonstrations Project SIR Epidemic Dynamics http://demonstrations.wolfram.com/SIREpidemicDynamics/

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47 Wolfram Demonstrations Atractor caótico en crecimiento de tumor Difusión de epidemias y dinámica de transmisión en redes Modelo dinámico de influenza pandémica con modelo de edad y vacunación Modelo simple de epidemias múltiples Bifurcación de Hopf en modelo de Sel’kov Modelado de oscilaciones glicolíticas

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48 STEM http://www.eclipse.org/stem/

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49 STEM - Escenarios Difusión de salmonella de la granja a la mesa Modelo de malaria en Thailandia a partir de datos de población de mosquitos Modelo en Pajek de problema con carne en Argentina Modelo de multi-población de anófeles y humanos Mal de Chagas Varicela (chicken pox) Pandemia de gripe en México-USA

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50 Análisis en STEM

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51 STEM - Análisis de Lyapunov Permite comparación entre 2 escenarios

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52 STEM – Integración de gráficos

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53 STEM - Visión de Mapa

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54 Avances recientes Estudios de modelos de compartimiento SIS sobre redes adaptativas* Gross y otros Zanette y Guzmán Shaw y Schwartz (2009) Estudio extensivo a modelo SIRS Incluyeron ecuaciones de campo medio p/analizar estructura de bifurcaciones * Alternativa dinámica a redes estáticas. No confundir con redes neuronales adaptativas

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55 Recursos y casos Cap. 8 – Modelos de redes en epidemiología (Lloyd y Valeika)

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56 Recursos y casos Cap. 9 – Redes genéticas (Bottani y Mazurie)

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57 Recursos y casos Cap. 5 – Leyes de escala de los viajes humanos (Brokmann & Hufnagel) Long distance dispersal [LDD], SARS y otros casos Vuelos de Lévy →

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58 Random walk vs Vuelos de Lévy

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59 Vuelo de Lévy normal vs Cauchy Tamaño de paso =2 y =0 (normal) y dirección angular uniforme Tamaño de paso =1 y =0 (Cauchy) y dirección angular de distribución uniforme

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60 Recursos y casos Modelos compartimentales en casos de pandemia de influenza Modelado epidémico estocástico Detección de outbreaks con diversos métodos y técnicas

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61 Recursos y casos Cap. 2 – Modelos de compartimiento en epidemiología (Fred Brauer) Cap. 3 – Modelos epidémicos estocásticos (Linda Allen) Cap. 4 – Redes en modelado epidémico (Fred Brauer)

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62 Recursos y casos Bioinformática: Cap. 11 – Interacción entre proteínas. Del nivel del dominio al nivel del motivo Cap. 12 – Desciframiento de motivos regulatorios

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63 Motivos o isomorfismos Patrones de conectividad cuya distribución y abundancia es distinta en diferentes clases de redes. P. ej. en redes aleatorias y redes IE Ocurren con frecuencias que no son las que cabría esperar por mero azar. Se han descubierto importantes teorética y experimentalmente para determinar los procesos de formación y cambio de una red. En materia de redes biológicas se ha sugerido que los motivos son elementos de circuitería recurrentes que corresponden a otras tantas clases de sistemas de procesamiento de información.

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64 Motivos o isomorfismos Isomorfismos de subgrafos de tríadas Nomenclatura contemporánea: id6, id12, id14, id36, id38, id46, id74, id78, id98, id102, id108, id110 e id238

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65 Descubrimiento de motivos: Cfinder http://cfinder.org/wiki/?n=Main.HomePage

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66 Ejercicio de descubrimiento de motivos Archivo de interacción de proteínas

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67 Ejercicio de descubrimiento de motivos Seleccionar archivo de interacción de proteínas

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68 Motivos con mDraw http://www.weizmann.ac.il/mcb/UriAlon/ Seleccionar archivo de Drosophila

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69 Motivos con mDraw Visualizar motivos

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70 Motivos con mDraw Datos estadísticos y análisis

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71 Recursos y casos

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72 Recursos y casos

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73 Recursos y casos Cap. 1 – Leyes de potencia en redes biológicas Cap. 5 – Las redes de interacción de proteínas de la Drosophila podría no ser ni IE ni de LP Cap. 6 – Modelos de evolución del genoma Cap. 9 – Correlaciones de ley de potencia en secuencias de ADN

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74 Recursos y casos

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75 Recursos y casos Diseño y análisis estadísticos en estudios epidemiológicos: Principales tendencias (Breslow)

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76 Recursos y casos Transiciones de fase en redes complejas Percolación Sincronización Modelos epidémicos Redes en biología El cerebro como red

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77 Transiciones de fase Basado en Barrat & al, p. 93

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78 Transiciones de fase en redes complejas (0/6) Transiciones de fase de primer y segundo orden – Paul Ehrenfest (1880-1933) 1er orden – No es uniforme, impera un régimen de fase mezclada, como cuando se hierve agua 2do orden – Difíciles de estudiar, porque sus dinámicas son violentas e incontroladas – Las más interesantes – Análogas a transiciones ferromagnéticas Habitualmente una TF implica un cambio de simetría Ruptura de simetría: paso de más a menos simétrico (p. ej. fluido a sólido) En RS debe introducirse un parámetro de orden para describir el sistema (ferromagnético: magnetización) 0 = desorden total; 1 = orden absoluto

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79 Transiciones de fase en redes complejas (1/6) Leo Kadanoff, 1965 En las cercanías de puntos críticos* todos los sistemas se comportan según leyes de potencia * Transiciones del desorden al orden y vv La invariancia se conoce como principio de universalidad Rige con independencia de la naturaleza del sistema

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80 Transiciones de fase en redes complejas (2/6) En vecindades del punto crítico es necesario dejar de considerar los elementos por separado si se quiere comprender el comportamiento del conjunto. Hay que considerarlos como una comunidad de elementos que actúan al unísono Esto es semejante a la idea de sincronización Los elementos deben remplazarse por cajas de elementos Todos se comportan como si fuesen uno solo Descripción gruesa Esto se conoce como scaling.

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81 Transiciones de fase en redes complejas (3/6) Lo fundamental es que en las cercanías de los puntos críticos sólo existen unas pocas soluciones diferentes a cada problema. Muchos problemas en apariencia distintos admiten una misma solución. Esto es: pertenecen a una misma clase de universalidad. Este scaling es una de las claves de la universalidad y de los fenómenos colectivos tanto en las ciencias formales como en las humanas

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82 Transiciones de fase en redes complejas (4/6) En los fenómenos críticos las clases se definen a nivel macroscópico, describiendo el tipo de información que el sistema debe transferir sobre distancias largas (en relación con el tamaño de las unidades. En lugar de tratar el problema en términos de sus unidades mínimas, reductivamente, lo que se hace es determinar una escala más molecular.

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83 Transiciones de fase en redes complejas (5/6) En dinámica no lineal, termodinámica y mecánica estadística se dice que los sistemas cuyas transiciones de fase poseen el mismo conjunto de exponentes críticos pertenecen a una misma clase de universalidad. En teoría de redes complejas es posible vincular cosas tan diversas como las relaciones personales, la Internet, las citas bibliográficas, los ferromagnetos, la propagación de enfermedades y la percolación. En estudios de auto-organización pertenecen a la misma clase de fenómenos emergentes la formación de patrones ondulados en dunas de arena, las manchas del pelaje o las conchas de moluscos, la sincronización de cardúmenes y bandadas, las soluciones autocatalíticas o los nidos de termitas.

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84 Transiciones de fase en redes complejas (5/6) Kenneth Wilson, físico de Cornell, 1976 Poderosa teoría unificadora de las transiciones de fase Teoría del grupo de renormalización Punto de partida: invariancia de escala y universalidad Las propiedades termodinámicas de un sistema en las cercanías de una transición de fase dependen de un número muy pequeño de factores Dimensionalidad, simetría, presencia o ausencia de interacciones globales Las propiedades son insensibles a las características microscópicas del sistema A la escala adecuada, es suficiente entonces considerar unos pocos grados de libertad en vez de los 1023 que constituyen a los sistemas macroscópicos más típicos.

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85 Modelos de transiciones de fase en mecánica estadística Modelo de Ising – Ferromagnetismo Modelo fundamental de procesos cooperativos Está en la base de muchos modelos de proceso social y dinámica de opiniones Las interacciones entre los elementos definen una red compleja Spins dispuestos en un grafo (usualmente un enrejado) que interactúa con sus vecinos El modelo cuadrado bidimensional de Ising es el más simple en el que puede ocurrir una transición de fase En dimensiones >4 se aplica teoría de campo medio [mean field theory]

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86 Modelos de transiciones de fase en mecánica estadística Modelo de Bose-Einstein Analogía con cismogénesis batesoniana y feedback de Wiener Visto como distribución de probabilidad tiene aplicaciones en varios campos, en especial dinámica de redes (sociales y biológicas) La evolución de muchos sistemas complejos, incluyendo la WWW, los negocios y las redes de citas bibliográficas se codifica en una red dinámica que describe las interacciones entre los constituyentes. Aunque estas redes son irreversibles y están lejos del equilibrio ellas siguen las estadísticas de Bose y pueden sufrir condensación. El framework del análisis de gases a nivel cuántico predice fenómenos de “ventaja del que se mueve primero”, “el más adecuado se vuelve más rico” [FGR] y “el ganador se lleva todo” observados en sistemas competitivos.

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87 Recursos y casos Transiciones de fase en redes complejas Percolación Sincronización Modelos epidémicos Redes en biología El cerebro como red

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88 Redes y modelos epidémicos

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89 Inmunización sin conocimiento global (y sin supuestos de normalidad) Problemas de definición de umbrales de contagio Usualmente requieren conocimiento completo Varias estrategias alternativas Requieren conocimiento local de la red, y ya no global Cohen, Havlin y ben Avraham (2003) Madar y otros (2004) Se seleccionan vértices al azar y se pide señalar a uno de los vecinos Se inmuniza al vecino, no al escogido inicialmente Otra: se inmuniza al vértice de más alto grado dentro de un rango Varias más descriptas en Barrat y otros, cap. 9

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90 Referencias https://www.epimodels.org/midas/home.do

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91 Referencias MIDAS – Repositorio de modelos

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92 Referencias GLEaMviz Simulator Sistema cliente-servidor Cliente gratuito Modelo estocástico de compartimiento, refinado Evaluar escenarios de epidemia, predecir procesos infecciosos, manejar emergencias sanitarias http://www.gleamviz.org/simulator/

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93 GLEaMviz Simulator

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94 GLEaMviz Simulator

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95 Recursos

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96 Recursos Barabási, Albert-László. 2002. Linked. Plume. Watts, Duncan. 2003. Six degrees: The science of a connected age. Vintage. Reynoso, Carlos. 2006. Complejidad y caos: Una exploración antropológica. Sb.

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97 Recursos Reynoso, Carlos – Redes sociales y complejidad: Modelos interdisciplinarios en la gestión sostenible de la sociedad y la cultura. Buenos Aires, Editorial Sb, 2011

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98 ¿Preguntas? Carlos Reynoso UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES http://carlosreynoso.com.ar

Summary: Modelos de redes complejas percolacion y epidemiología en medicina y biologia

Tags: medicina complejidad redes percolacion epidemiologia

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