Números Complejos

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Argand: Jean Argand - a librarian in Paris, published paper on complex plane in 1806

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ISMAEL ABDERRAHAMAN PALMA DANIEL CASTRO LARSSON ELISA PÉREZ GARCÍA Números complejos C 1

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1. ¿Por qué no son suficientes los números reales ? 2

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II-Definición y representación gráfica de un número complejo 4

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Un número complejo z es un par ordenado de números reales x e y, escrito como: z = (x,y) (Notación en componentes o coordenadas cartesianas). x se llama la parte real de z: Re(z) := x y se llama la parte imaginaria de z: Im(z) :=y Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales e imaginarias son iguales: (x1,y1) = (x2,y2) sii x1= x2 , y1= y2 El conjunto de números complejos, se denota por C: 5

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(0,1) se llama la unidad imaginaria y se denota por: Si y ≠ 0, entonces z es un número imaginario Si x = 0 (z = i y), entonces z se dice que es un imaginario puro. Si y = 0 (z = x), entonces z se comporta como un número real. Los números complejos x + i y e –x – yi, se llaman opuestos Los complejos z = x +i y y z = x – iy se llaman conjugados z = x + i y Un número complejo z = (x,y) se escribe comúnmente como notación algebraica o binómica: 6

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el plano complejo 7

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El plano complejo (Plano z, de Argand o de Gauss) Eje real Eje imaginario z = (x,y) Z 8

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Ejemplo: Dibujar el número complejo z = -3-2i en el plano complejo 9

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III- Forma binómica de un complejo. Operaciones y Propiedades La suma, resta y multiplicación de números complejos se realizan siguiendo las reglas de las operaciones de los números reales y teniendo en cuentas que i2 = - 1 10

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Suma y producto de números complejos Suma Producto 11

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conjugado El conjugado de un número complejo z = x + i y se define como: Gráficamente el conjugado es una reflexión respecto al eje real. “La partes imaginarias son opuestas” 13

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conjugado Es sencillo demostrar que: 14

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opuesto El opuesto de un número complejo z = x + i y se define como: Gráficamente el opuesto es una reflexión respecto al punto (0,0) 15

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La resta y la división se definen como operaciones inversas de la suma y la multiplicación respectivamente Resta División (operación inversa a la suma) (operación inversa al producto) ¿Qué es z ? Es un número complejo tal que: z z2 = z1, siempre que z20. ¿Qué es z ? z + z2 = z1 16

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Calcular: Re(z1) = 18, Re(z2) = -7 Im(z1) = 3, Im(z2) = 2 z1+z2 = 11 + 5i, z1-z2 = 25+i z1z2 = (18+3i)(-7+2i) = -132 + 15i Ejemplos: Sean z1=18 + 3i z2 = -7 + 2i 18

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(1) (2) Ejemplos: División: z1=18 + 3i z2 = -7 + 2i Hallar el inverso de i: 19

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Suma y resta de números complejos en el plano complejo En la suma (y la resta) los números complejos se comportan como vectores 20

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Potencias de i Por ejemplo: 21

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(1) (2) Ejemplos: De modo que podemos sustituir siempre: Esto nos permite una manera práctica de operar. Por ejemplo: 22

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Ley de clausura: z1 + z2 y z1 z2 pertenecen a C. Ley asociativa: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) (z1 z2) z3 = z1 (z2 z3) Ley distributiva: z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3 Propiedades algebraicas La suma y el producto dotan a C de estructura de cuerpo. Ley conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1 z1 z2 = z2 z1 23

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0+z = z+0 = z (Neutro para la suma) z +(-z) = (-z)+z = 0 (Opuesto para la suma) z ·1 = 1 · z = z (Identidad para el producto) z · z-1 = z-1 · z = 1 (Inverso para el producto) {C,+,·} es un cuerpo. No es posible ordenar el conjunto de los números complejos. Carecen de sentido expresiones como z > 0 o z1 < z2 (Para todo z distinto de 0) 24

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IV- FORMA POLAR Y TRIGONOMÉTRICA DE UN COMPLEJO 25

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Forma Polar de un número complejo 26

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Forma trigonométrica de un número complejo 27

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A partir de las coordenadas polares (r,) tenemos: Forma polar y trigonométrica Utilizamos el argumento principal Forma polar Forma trigonométrica 29

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argumento: Ejemplo: Escribir el siguiente número complejo z1=1+i, en forma polar y trigonométrica: módulo: 30

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V- Operaciones en forma polar 31

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Multiplicación 32

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Producto de números complejos en el plano complejo 33

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Multiplicar por i es equivalente a girar 90 grados 34

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División 35

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División de números complejos en el plano complejo 36

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Potencias 37

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VI- FÓRMULA DE MOIVRE Abraham de Moivre (1667 - 1754) 38

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Fórmula de Moivre Potencias enteras de complejos en forma polar: 39

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El teorema de Moivre es una máquina de generar identidades trigonométricas. Por ejemplo: Igualando las partes reales e imaginarias: 40

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VII RADICACIÓN DE COMPLEJOS. REPRESENTACIÓN GRÁFICA 41

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Potencias iguales Distintos números complejos pueden llevar al mismo resultado al realizarles una misma potencia … Esto nos lleva al cálculo de raíces 42

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Raíces se llama la raíz enésima de z a cualquier número w que cumple: wn = z, y se escribe como Módulo de w Ángulo de w Partimos de un número complejo z 43

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Sean w= R(cosα+ i sinα) z = r(cos + i sin) Por el teorema de Moivre: wn = Rn[cos(n α) + i sin(n α)]= r(cos + i sin) Igualando los módulos y los ángulos obtenemos Raíces La fórmula para el cálculo de las raíces se basa en el teorema de Moivre 44

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VIII VISIÓN GEOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS 46

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Raíz cuarta … Primer ángulo Ángulo a añadir 47

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Ejemplo: raíces de la unidad Un número complejo tiene tantas raíces como su índice Sus afijos son los vértices de un polígono regular 48

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BIBLIOGRAFIA Y ENLACES UTILIZADOS http://www.dmae.upm.es http://www.dmae.upm.es/bartolo.html http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Los_numeros_complejos/complejos2.htm www.educared.net www.ginerdelosrios.org/pizarradigital http://platea.pntic.mec.es/aperez4/antonio-perez.html http://www.disa.bi.ehu.es/ (nº complejos-archivo ppt) 51

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¿Sabes ….? 1. ¿Hay algún número real para la raíz cuadrada de un número negativo? 2. ¿cómo se dividen números complejos en forma binómica? 3. ¿A que se llama afijo en la representación gráfica del número complejo a + bi ? 4. ¿ La suma de dos números complejos conjugados, es un número real? 5. ¿ Cómo se describe un número complejo en forma polar? 6. ¿Para qué sirve la forma trigonométrica? 7. ¿ cómo se dividen dos números complejos en forma polar? 8. ¿En qué nos basamos para operar con raíces en números complejos? 9. ¿ Cuantas raíces tiene un número complejo? 10. ¿Cómo se determinan los vértices de un polígono regular? 52

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Soluciones 1.No, se inventaron los números complejos para dar solución a este problema considerando el imaginario i=√-1 2. Multiplicando el numerador y denominador por el conjugado del denominador. 3. Al punto (a,b), mediante un vector de origen (0,0) 4.Si 5.Mediante el Módulo y el argumento 6. Para pasar los números complejos de forma polar a forma binómica. 7. Dividiendo sus módulos y restando sus argumentos. 8. En el Teorema de Moivre 9. Cualquier número complejo tiene tantas raíces como su índice, excepto el 0. 10. Mediante los afijos de las raíces n-ésimas de un número complejo. El polígono regular tendrá tantos vértices como el de la raíz del complejo, para n>2. 53

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