matemática financeira

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Matemática Financeira Introdução Prof° Eduardo Nery

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Porcentagem - introdução Toda fração de denominador 100, a exemplo de pode ser indicada por a%, que se lê a por cento.

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Exemplos pode ser indicada por 25% 15%+35% = Na prática, trabalhamos com porcentagem sempre a utilizando como uma fração de um certo número.

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Exemplos 20% de 360 = 20% dos 10% de 4800 = Quantos por cento representa R$ 35,00 sobre a quantia de R$ 140,00 ? Solução 140 _______100% 35_________x x = 25%

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Continuação O preço de uma automóvel é R$ 50.000,00. Um freguês da loja conseguiu, na compra desse carro, um abatimento de 15%. Por quanto o carro foi vendido para esse freguês? Solução O abatimento foi de: 15 % . 50.000 = 7.500 Portanto o preço será 50.000 – 7.500 = 42.500,00 Dos 750 alunos de uma escola, 510 são do sexo masculino. Qual a porcentagem de pessoas do sexo feminino? Solução 750 – 510 = 240 são do sexo feminino. 750___100% 240___x x = 32%

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Fator de Aumento e Desconto Em matemática financeira é muito importante que o aluno entenda que para cada aumento ou desconto percentual corresponde um fator multiplicativo. Observe as situações: Se um produto custa x e vai aumentar 20%, quanto ele passa a custar? Solução ou seja, aumentar 20% equivale a multiplicar por 1,2

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Continuação Se um produto custa y e vai aumentar 35%, quanto ele passa a custar? Solução ou seja,aumentar 35% equivale a multiplicar por 1,35.

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Continuação Se um produto custa z e vai sofrer um desconto de 30%, quanto ele passará a custar? Solução ou seja, descontar 30% equivale a multiplicar por 0,7. De acordo com os exemplos ,vimos que um aumento ou desconto corresponde ao fator

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Observação O aumento é considerado positivo e o desconto, negativo.

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Exemplos Se um produto sofre dois aumentos consecutivos de 30% e 40%, esses dois aumentos correspondem a um único aumento de quanto? Solução Supondo que o produto custava x, temos: 1° aumento: + 30% ( fator 1,3 ). Logo, o produto passará de x para 1,3x 2° aumento: + 40% ( fator 1,4 ). Logo, o produto passará de 1,3x para (1,4).(1,3x), ou seja, 1,82x. Ora, mas o fator 1,82 corresponde ao aumento de 82% em relação a x. Logo, os dois aumentos correspondem a um único aumento de 82%.

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Método Prático + 30% 1,3 + 40% 1,4 x 82% 1,82

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Continuação Se um produto sofre dois descontos sucessivos de 30% e 40%, esses dois descontos correspondem a um único desconto de quanto? Solução Método prático: 30% 0,7 -40% 0,6 x -58% 0,42 Logo, esse dois descontos correspondem a um único desconto de 38%

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Continuação Um aumento de 40% seguido de um desconto de 30% é equivalente a um único: a) Aumento de 10% b) Desconto de 10% c) Aumento de 5% d) Aumento de 2% e) Desconto de 2% Solução + 40% 1,4 - 30% 0,7 x -2% 0,98

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Juros Simples É a modalidade de aplicação financeira cuja taxa de rendimento incide sempre sobre o capital inicial. Nos juros simples, temos algumas fórmulas importantes: M = c + j J = juros c = capital inicial i = taxa t = tempo m = montante

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Observação A unidade de tempo deve estar de acordo com a unidade de tempo da taxa. Exemplo Quais os juros obtidos por um capital de R$ 600,00, aplicado no regime de juros simples durante um ano e meio, a taxa de 3% ao mês? Solução Um ano e meio corresponde a 18 meses, logo: J = c . i . t = 600 . 3% . 18 = 324 J = R$ 324,00

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Exercícios Calcular os juros e o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00 por um período de 240 dias a taxa de juros simples de 4% ao mês. Qual o capital que deve ser aplicado, no regime de juros simples, a taxa de 5% para que no final de um ano se obtenha um montante de R$ 4.800,00? Uma pessoa aplicou um capital de R$ 2.500,00 no regime de juros simples por um período de 10 meses e obteve no final um montante de R$ 3.250,00. Qual a taxa mensal da aplicação? Supondo-se que são necessários, no regime de juros simples, n meses para triplicar um determinado capital a taxa de 4% ao mês, calcule n. Calcular os juros e o montante de uma aplicação de R$ 3.000,00 por um período de 50 dias a taxa de juros simples de 7% ao mês.

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Juros Compostos É a modalidade de aplicação financeira cuja taxa de rendimento incide sempre sobre o montante. Nos juros compostos temos também duas fórmulas importantes.

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Exemplo Quais os juros obtidos por um capital de R$ 1.000,00, aplicado, no regime de juros compostos, durante 3 anos, a uma taxa de 20% ao ano? Solução

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Exercícios Qual o montante obtido por um capital de R$ 2.000,00, quando aplicado a taxa de 10% a.m num período de 3 meses, no regime de juros compostos? Qual o capital que deve ser aplicado a taxa de 30% ao semestre para se obter, no final de um ano, no regime de juros compostos, o montante de R$ 27.000,00? Seu Américo aplicou R$ 25.000,00 numa caderneta de poupança a uma taxa de 20% ao semestre no regime de juros compostos. Depois de 1 ano e meio, quanto a aplicação rendeu de juros?

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Continuação 4) Sobre Matemática Financeira, é verdade que: (01) Dois descontos sucessivos de 30% e 40% equivalem a um único desconto de 82% (02) Dois aumentos sucessivos de 25% e 16% equivalem a um único aumento de 45% (04) Se João comprou 1200 sabonetes com um desconto de 20% e pagou R$ 600,00, então cada sabonete, sem desconto, custa R$ 0,60 (08) Um capital aplicado a uma taxa de 5% ao mês, no regime de juros simples, triplica com 40 meses (16) Um capital aplicado a uma taxa de 3% ao mês, no regime de juros compostos, por um período de 1 ano, produz um rendimento de

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Uma observação importante A partir da fórmula do montante podemos deduzir a fórmula do principal (capital inicial): Temos ainda que:

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Equivalência de Taxas – Juros Compostos A Taxa mensal é equivalente à taxa anual quando: Portanto, para determinar a taxa anual a partir da taxa mensal, temos: Para determinar a taxa mensal a partir da taxa anual, temos:

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Fórmula que pode ser utilizada para qualquer caso: Temos: Taxa para o prazo que eu quero Taxa para o prazo que eu tenho Prazo que eu quero Prazo que eu tenho

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Desconto Ao contrair uma dívida para pagamento futuro o devedor normalmente oferece um título que comprova tal obrigação. De posse desse título o credor pode negociar o seu resgate antecipado junto a instituições financeiras. São títulos: Notas promissórias, duplicatas,letras de câmbio,cheques pré-datados. A operação de liquidar um título antes de seu vencimento envolve geralmente uma recompensa ou um desconto pelo pagamento antecipado.

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Operações de Desconto Desconto pode ser entendido como a diferença entre o valor futuro (que será pago) de um título e o seu valor atual apurado “n” períodos antes de seu vencimento. D = VF – PV ou PV = FV – D Onde: D = desconto ; VF = valor futuro PV = valor presente ou valor atual

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Continuação Operações de desconto mais conhecidas: Desconto “por dentro” ou racional - Incorpora os conceitos de juros simples. Obtido multiplicando-se o valor atual do título pela taxa de desconto, e este produto pelo prazo a decorrer do vencimento do título. Como na prática o valor atual do título é sempre uma incógnita, sendo conhecido o nominal, o prazo e a taxa de desconto, utilizaremos as variáveis conhecidas para deduzir a fórmula que forneça o valor do desconto, conforme segue:

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Fórmulas D = PV . i . n e FV = PV + D Logo: FV = PV + PV . i . n O desconto racional também é conhecido como desconto “por dentro” porque a taxa de desconto incide sobre o valor presente da operação

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Operações de desconto “por fora” Da mesma forma do desconto por dentro, o desconto por fora, comercial ou bancário, incorpora os conceitos de juros simples, entretanto, diferentemente daquele, apura os encargos sobre o valor futuro. A modalidade de desconto bancário é largamente utilizada no mercado para financiamento de capital de giro das empresas, através de crédito bancário ou comercial. Nomenclaturas: VF = valor futuro = valor de face = montante = valor nominal PV = valor presente = valor líquido = valor recebido = valor descontado D = FV x D x n PV = FV - D

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Operações de desconto por fora, comercial ou bancário D = FV . i.n Assim o valor líquido poderá ser calculado através da seguinte expressão: PV = FV – D ou PV = FV – FV.i.n ou PV = FV (1 – i.n)

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Fluxo de Caixa ( Noções) Fluxo de caixa pode ser entendido como uma sucessão de recebimentos ou de pagamentos, em dinheiro, previstos para determinado período de tempo.

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Fluxo de Caixa Características Fluxo de Caixa: O tempo é representado pelo eixo horizontal, subdividido em períodos unitários (dia, mês, ano etc..), orientados da esquerda para a direita, de tal modo que todos os pontos são considerados como momentos futuros em relação ao ponto zero (o “hoje”). As entradas de caixa (recebimentos) são representadas na parte superior do eixo horizontal, indicadas por setas orientadas para cima. As saídas de caixa (pagamentos) são representadas na parte inferior do eixo horizontal, indicadas por setas orientadas para baixo.

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Classificação dos fluxos de Caixa Periodicidade da ocorrência (postecipados, antecipados e diferidos); Periodicidade (periódicos e não periódicos); Duração (limitados – finitos e indeterminados – indefinidos); Valores (constantes – iguais e variáveis – aleatórios/PA/PG

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Classificação dos fluxos de Caixa Para nossa etapa inicial de estudo vamos trabalhar com o modelo-padrão de fluxo de caixa, que guarda as seguintes características: Postecipados ou vencidos e antecipados; Periódicos e não periódicos; Limitados; Constantes e Variáveis.

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Séries de Pagamentos As séries de pagamentos podem ser definidas como uma sucessão de pagamentos ou recebimentos com vencimentos sucessivos Características das séries de pagamentos que estudaremos: A diferença de prazo entre cada termo e o seguinte é constante. O número de termos é finito; não trataremos (pelo menos por enquanto) das “rendas perpétuas”. Os valores dos termos que compõem a série podem ser: Constantes (iguais) ou Variáveis (de forma aleatória ou de acordo com uma PA ou PG).

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Séries de Pagamentos Os vencimentos dos termos de uma série de pagamentos podem ocorrer no final de cada período (termos vencidos ou postecipados) ou no início (termos antecipados). Este entendimento é de fundamental importância. Classificação das séries de pagamentos: Séries de pagamentos iguais com termos vencidos. Séries de pagamentos iguais com termos antecipados. Séries de pagamentos variáveis com termos vencidos. Séries de pagamentos variáveis com termos antecipados.

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Séries de Pagamentos Iguais com Termos Vencidos ou Postecipados Cada termo da série será representado pela sigla “PMT”. As demais variáveis serão representadas pelos símbolos já conhecidos (i, n, FV e PV). Fator de Acumulação de Capital (FAC): Exemplo: Determinar o valor do montante (valor futuro - FV), no final do 5º mês de uma série de 5 aplicações mensais, iguais e consecutivas, no valor de $ 100,00 cada uma, a uma taxa de 4% ao mês, sabendo-se que a primeira parcela é aplicada no final do primeiro mês, ou seja, a 30 dias da data tomada como base (momento zero), e que a última, no final do 5º mês, é coincidente com o momento em que é pedido o montante.

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SOLUÇÃO PMT = R$100,00 i = 4 n = 5 FV = ? Obs.: A última parcela é aplicada exatamente no dia em que se pede o valor futuro (montante) e, portanto, não terá rendimento algum.

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Séries de Pagamentos Iguais com Termos Vencidos ou Postecipados Cálculo do valor futuro de cada uma das cinco aplicações: = 100 (1,04)4 = 116,98 =100 (1,04)3 = 112,49 = 100 (1,04)2 = 108,16 = 100 (1,04)1 = 104,00 = 100 (1,04)0 = 100,00 = 541,63 Onde

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Séries de Pagamentos Iguais com Termos Vencidos ou Postecipados Portanto: = 100 (1,04)4 + 100 (1,04)3 + 100 (1,04)2 + 100 (1,04)1 + 100 (1,04)0 = 100 [(1,04)4 + (1,04)3 + (1,04)2 + (1,04)1 + (1,04)0] ou = 100 [(1,04)0 + (1,04)1 + (1,04)2 + (1,04)3 + (1,04)4]

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Séries de Pagamentos Iguais com Termos Vencidos ou Postecipados Como é a soma de uma PG de razão 1,04, temos a fórmula: Sabendo-se que , q = 1,04 e n = 5, temos: Como PMT = 100,00, n = 5 e i = 0,04 podemos montar a fórmula genérica:

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Séries de Pagamentos Iguais com Termos Vencidos ou Postecipados O fator de acumulação de capital é: representado por (i,n). Ou seja: ou = PMT x (i,n)

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Séries de Pagamentos Iguais com Termos Vencidos ou Postecipados Fator de Formação de Capital O FFC é obtido facilmente a partir da fórmula do FV: Portanto:

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Séries de Pagamentos Iguais com Termos Vencidos ou Postecipados Onde é chamado Fator de Formação de Capital, representado por FFC (i,n). Ou seja: ou

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Séries de Pagamentos Iguais com Termos Vencidos ou Postecipados Fator de Valor Atual (FVA): Exemplo: Determinar o valor do principal (valor presente - PV), de uma série de 5 aplicações mensais, iguais e consecutivas, no valor de $ 100,00 cada uma, a uma taxa de 4% ao mês, sabendo-se que a primeira parcela é aplicada no final do primeiro mês, ou seja, a 30 dias da data tomada como base (momento zero), e que a última, no final do 5º mês.

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Séries de Pagamentos Iguais com Termos Vencidos ou Postecipados PMT = 100,00 i= 4 n=5 PV=? Lembrando da dedução da fórmula do principal (ou valor presente): FV = PV (1+i)n  PMT = 100,00 i= 4 n=5 PV=?

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Séries de Pagamentos Iguais com Termos Vencidos ou Postecipados

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Séries de Pagamentos Iguais com Termos Vencidos ou Postecipados Portanto: Aplicando o conceito de Mínimo Múltiplo Comum (MMC):

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Séries de Pagamentos Iguais com Termos Vencidos ou Postecipados Como é a soma de uma PG de razão 1,04, temos a fórmula: Como PMT = 100,00, n = 5 e i = 0,04 podemos montar a fórmula genérica:

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Séries de Pagamentos Iguais com Termos Vencidos ou Postecipados O Fator de Valor Atual é: ou seja, = PMT x (i,n)

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Séries de Pagamentos Iguais com Termos Vencidos ou Postecipados Fator de Recuperação de Capital O FRC é obtido facilmente a partir da fórmula do PV: Portanto:

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Séries de Pagamentos Iguais com Termos Vencidos ou Postecipados Onde é chamado Fator de Recuperação de Capital, representado por FRC (i,n). Ou seja: ou PMT = PV x FRC (i,n).

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Séries de Pagamentos Iguais com Termos Antecipados Nas séries com termos antecipados, os pagamentos ou recebimentos ocorrem no início de cada período unitário. Assim, a primeira prestação é sempre paga ou recebida no momento “zero”, ou seja, na data do contrato do empréstimo, do financiamento ou de qualquer outra operação que implique pagamentos ou recebimentos de prestações. Todos os problemas de séries de pagamentos antecipados poderão ser resolvidos a partir dos fatores definidos para série de pagamentos com termos postecipados, bastando multiplicá-los ou dividi-los por (1+i).

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Séries de Pagamentos Iguais com Termos Antecipados PMT = 100,00 i= 4 n=5 FV=? PMT = 100,00 i= 4 n=5 FV=?

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Séries de Pagamentos Iguais com Termos Antecipados Para se encontrar o FV a partir dos PMTs: = PMT x FAC (i,n) x (1+i)

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Séries de Pagamentos Iguais com Termos Antecipados Para se encontrar o PMT a partir do FV: ou

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Séries de Pagamentos Iguais com Termos Antecipados Para se encontrar o PV a partir dos PMTs: = PMT x FVA (i,n) x (1+i)

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Séries de Pagamentos Iguais com Termos Antecipados Para se encontrar o PMT a partir do PV: ou

Summary: educacional

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