teorema del seno

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Jorge enrique Flórez santacruz IED EL JAZMIN MAESTRO DE MATEMATICAS LEY DE LOS SENOS Nivel Educativo: SECUNDARIA Área curricular: TRIGONOMETRIA

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[1. INTRODUCCIÓN:] Los triángulos pueden ser de tres tipos, además del conocido triángulo rectángulo (con un ángulo de 90º) tenemos también acutángulos, con los tres ángulos agudos, y obtusángulos,  que tienen un ángulo de más de 90º. Vamos a utilizar siempre la misma notación: A, B y C para los vértices y a, b y c para los lados del triángulo. LA SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO CUALQUIERA ES 180º. RECUERDA  ESTO PUES LO VAMOS A UTILIZAR MÁS ADELANTE (A+B+C=180º). El problema general de resolución de un triángulo El problema general de resolución de un triángulo consiste en hallar las longitudes de sus lados a, b y c y el valor de sus ángulos A, B y C. En general basta con conocer tres cualesquiera de estos seis elementos para obtener los otros tres: conocido dos ángulos y un lado, un lado y dos ángulos o los tres lados. El caso de los tres ángulos no tiene solución única pues hay infinitos triángulos semejantes que cumplen la condición. En realidad tenemos cuatro problemas diferentes: 1. Conocidos dos ángulos y un lado. 2. Conocidos dos lados y el ángulo adjunto a uno de ellos. 3. Conocidos dos lados y el ángulo comprendido. 4. Conocidos los tres lados Para resolverlos, vamos a utilizar dos teoremas: Teorema del seno Teorema del coseno

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TEOREMA DEL SENO En todo triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es el mismo. En un triángulo cualquiera se cumple siempre que: Tenemos tres igualdades que nos relacionan los seis datos de un triángulo y que nos van a ayudar a resolverlos. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL SENO Como ya sabes por la definición de las razones trigonométricas: h = b·senA y h = a·senB Luego b·senA = a·senB, de donde se obtiene una de las igualdades del teorema del seno: La otra se obtiene igual considerando otra de las alturas del triángulo. SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO SE DEMUESTRA IGUAL: Se demuestra igual pues h = a·sen (B-180º) pero sen (B-180º) = sen B TEOREMA DEL SENO En todo triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es el mismo. En un triángulo cualquiera se cumple siempre que: Tenemos tres igualdades que nos relacionan los seis datos de un triángulo y que nos van a ayudar a resolverlos. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL SENO Como ya sabes por la definición de las razones trigonométricas: h = b·senA y h = a·senB Luego b·senA = a·senB, de donde se obtiene una de las igualdades del teorema del seno: La otra se obtiene igual considerando otra de las alturas del triángulo. SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO SE DEMUESTRA IGUAL:

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1a. Resolución de un triángulo  del que se conocen dos ángulos y el lado que los une. En primer lugar, se calcula fácilmente el ángulo C. A continuación,  se aplica el teorema de los senos y se calculan los ángulos A y B.                                          Si de un triángulo conocemos A=30º, B=100º y c=5 cm. calcular el resto de los elementos. Solucion: Como A+B+C = 180º tenemos que C= 180-A-B = (180-30-100) = 50º Para el cálculo de las longitudes de los lados utilizaremos el teorema del seno: y despejando   y (b) se calcula igual

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1b. Resolución de triángulos en los que conocemos dos ángulos y un lado que no sea el que une estos ángulos. En realidad es el mismo caso de antes, pues si conoces dos ángulos conoces el tercero. Resolver el triángulo  A=80º, C=30º y c=8 2. Solución: Como A+B+C = 180º tenemos que C = 180-A-B = (180-80-30) = 70º Para el cálculo de las longitudes de los lados utilizaremos el teorema del seno: y despejando    Y de la misma forma   Resolución de triángulos conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Es el caso que más problemas plantea, pues podemos encontrarnos casos en los que tengamos una solución, dos soluciones o ninguna:  Nota: recuerda que A+B+C=180º y que el seno nunca puede ser mayor que 1 o menor que -1). Pues bien, se nos pueden dar, en este último caso, las siguientes posibilidades:  a < c.sen A, con lo cual el triángulo no existe. a = c.sen A, con lo cual el triángulo es rectángulo.

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a > c.sen A  y  a< c, en cuyo caso existen dos triángulos: ABC y ABC´. a>c.sen A  y  a>=C, con lo cual estamos en el caso de un sólo triángulo. Será esta posibilidad la que ocupe nuestro estudio dentro del caso IV. Resuelvan el triángulo del que conocemos b=7.7 cm., c=8.7 cm. y B=52º. Aplicando el teorema del seno se obtiene , Luego C = 62.9º o bien C = 117.1º el problema tiene dos soluciones. Luego C = 62.9º o bien C = 117.1º el problema tiene dos soluciones. Para C=62.9º A=180-B-C=65.1º y   cm. Para C = 117.1° se tiene A = 10.9º y a = 1.8477348 cm.

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[2. TAREA:] Descripción: DADA LA INFORMACION PERTINENTE AL CONOCIMIENTO PROPUESTO, LOS ESTUDIANTES ESTARAN LISTOS PARA RESOLVER CUESTIONAMIENTOS Y MUCHO MAS. Durante esta actividad trabajarán en grupos de 5 estudiantes para completar las siguientes tareas: Identificar los elementos del teorema del seno, sus relaciones y regularidades. Distinguir los diferentes casos de solucion que se puedan presentar al abordar la resolución de triángulos no rectángulos. Practicar elaborando los ejercicios propuestos al final de la explicación. Representar una o dos situaciones cotidianas a través de un triangulo no rectángulo. Investigar a cerca del tema bajo perspectivas distintas o semejantes, abordando nuevos temas que los inquieten. Para esto cada uno deberá asumir un rol distinto. EJERCICIOS 1. Resolver un triángulo tal que a=4.5 cm., B=30º y C= 78º. 2. Resolver un triángulo sabiendo que a=4.5 cm. B=35º y b=10 cm. 3. Resolver el triángulo con a=2.3 m., b=160 cm. y c= 4 m. 4. Resolver el triángulo a=3 m., b=5 m. y C= 80º. 5. Las diagonales de un paralelogramo miden 5 y 6 cm., respectivamente y se cortan bajo un ángulo de 50º. Hallar el perímetro del paralelogramo. [3.PROCESO:] 1. Trabajarán en grupos de 5 estudiantes y cada uno de ellos asumirá un rol diferente, investigando sobre diferentes aspectos del tema. Tomarán anotaciones mientras hacen sus investigaciones en un documento de Word, que más tarde juntarán y resumirán en un documento común. Estos son los roles que asumirán: Investigador 1: su labor consistirá en investigar todo acerca de los elementos del teorema del seno, sus relaciones y regularidades. Estas son algunas de las direcciones que le pueden ayudar a llevar a cabo la investigación. No se olvide de poner algunas imágenes ilustrativas. Microsoft ® Encarta ® 2006. © 1993-2005 Microsoft Corporation. http://centros5.pntic.mec.es/ies.salvador.dali1

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Investigador 2: su tarea se basará en la aplicación de la información sobre como se resuelven los diferentes casos en triángulos no rectángulos por medio del teorema del seno. Representando una o dos situaciones cotidianas a través de un triangulo no rectángulo. http://www.eduteka.org http://ciencias.bc.inter.edu/ohernand/internet/enlaces/matematicos.html líder investigador: como responsable de la dirección deberá aventurarse a investigar a cerca del tema bajo perspectivas distintas o semejantes, abordando nuevos temas que los inquieten. http://www.matematicas.net/ http://sipan.inictel.gob.pe/av/ http://www.dvnet.es/rubia/rmat.htm organizador: su trabajo consistirá en apoyar la resolución de los ejercicios planteados al final de la información de la tarea, estableciendo para ello el orden y el compromiso de cada integrante. www.arrakis.es/~davidgv/index.html www.redemat.com/ expositor: su trabajo consiste en presentar ordenada y fielmente la recopilación de la información con pleno conocimiento de todos los temas para representar al grupo de la mejor manera. http://www.monografias.com/trabajos Microsoft ® Encarta ® 2006. © 1993-2005 Microsoft Corporation. 2.- Cuando recopilen toda la información que se requiere para la investigación, realizaran entre todos una puesta en común y socialización de información para compilar las escogencias previo acuerdo. 3.- Para finalizar expondrán su tarea a los compañeros de la clase, explicando los aspectos más característicos de este. Este trabajo formará parte de la biblioteca del aula.

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