PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

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EL GRANDIOSO “PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES” COLEGIO “ATANASIO GIRARDOT” Por Bivian Sánchez Licenciada en Matemáticas y Física

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¿Y QUIÉN FUE ARQUÍMEDES? Fue un Matemático griego que nació en Siracusa, actual Italia, 287 a.C. y murió en el 212 a.C. Estudió en Alejandría, donde tuvo como maestro a Conón de Samos y entró en contacto con Eratóstenes; a este último dedicó Arquímedes su Método, en el que expuso su genial aplicación de la mecánica a la geometría, en la que «pesaba» imaginariamente áreas y volúmenes desconocidos para determinar su valor. Regresó luego a Siracusa, donde se dedicó de lleno al trabajo científico. De Arquímedes solo se conocen una serie de anécdotas: la más conocida fue el método que utilizó para comprobar si existió fraude en la confección de una corona de oro encargada por Hierón II.

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Hallándose en un establecimiento de baños, advirtió que el agua desbordaba de la bañera a medida que se iba introduciendo en ella; esta observación le inspiró la idea que le permitió resolver la cuestión que le planteó Hierón. Se cuenta que, impulsado por la alegría, corrió desnudo por las calles de Siracusa hacia su casa gritando «Eureka! Eureka!», es decir, «¡Lo encontré! ¡Lo encontré!». Según otra anécdota famosa, Arquímedes aseguró al tirano que, si le daban un punto de apoyo, conseguiría mover la Tierra; se dice que logró sin esfuerzo aparente, mediante un complicado sistema de poleas, poner en movimiento un navío de tres mástiles con su carga.

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Se dice que gracias a los ingeniosas armas que Arquímedes inventó, Siracusa pudo resistir tres años el asedio romano, antes de caer en manos de las tropas de Marcelo; también se cuenta que, contraviniendo órdenes expresas del general romano, un soldado mató a Arquímedes por resistirse éste a abandonar la resolución de un problema matemático en el que estaba inmerso, escena perpetuada en un mosaico hallado en Herculano.

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¿Y QUÉ DICE EL PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES? “Todo cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido experimenta una fuerza de empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado.”

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¿CÓMO ASÍ? Supongamos que tenemos un vaso con agua hasta a una altura h1 (Figura 1) h1 Agregamos al vaso una esfera de hierro de radio r; obviamente el nivel del agua subirá hasta h2: la diferencia entre el nivel de agua final y el nivel de agua inicial, es el agua desalojada Fd: Fd = h2 – h1 (Figura 2) h2 En el momento de agregar la esfera al vaso, esta experimenta una fuerza vertical hacia arriba por parte del agua E: esta fuerza es igual al peso del agua que se fue desalojada WFd (Figura 3). Fd E Figura 1 Figura 2 Figura 3 El peso de esta agua WFd es igual a la fuerza de empuje sobre la esfera E. Esto quiere decir que: E = DFd VFd g Donde: DFd = Densidad del Fluido desalojado VFd = Volumen del Fluido desalojado g = gravedad, 9,8 m/s2

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NO CREO … DEMUÉSTRAMELO Lo demostraremos de 2 maneras: matemática y experimentalmente. Matemáticamente: Partimos de dos conceptos ya conocidos: Peso, W = mg (Ecu. 1) Densidad, D = m/V (Ecu. 2). Según Arquímedes, la fuerza de empuje es igual al peso del fluido desalojado, es decir: E = WFd (Ecu. 3) Pero según Ecu. 1, WFd = mFd g; remplazamos en Ecu. 3 esta expresión: E = mFd g (Ecu. 4) De Ecu. 2 se deduce que DV = m, remplazamos en Ecu. 4, es decir: E = DFd VFd g

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Experimentalmente: Observa el siguiente video, donde se explica paso a paso como demostrar este principio a partir de un sencillo experimento. http://www.youtube.com/watch?v=6-O3LpLzDMY&feature=related

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¿POR QUÉ UNOS CUERPOS FLOTAN Y OTROS SE HUNDEN? Flotabilidad de un buque: Es una consecuencia directa del principio de Arquímedes. En el caso de las embarcaciones y agua de mar, el empuje que experimenta el casco hacia arriba (fuerza que lo mantiene a flote), es igual al peso del agua desplazada. Cuando la fuerza de empuje E es mayor que el peso del cuerpo W, éste flotará, E>W; esto sucede cuando la densidad del cuerpo Dc es menor que la densidad del fluido Df, Dc<Df . Si la embarcación fuera totalmente maciza, la densidad del material debería ser inferior a la del agua para asegurar su flotación (por ejemplo, determinadas maderas). Sin embargo, la práctica totalidad de las embarcaciones son huecas por dentro (contienen aire, fluido casi 800 veces más liviano que el agua), con lo que desplazan un gran volumen de agua, siendo su peso mucho menor. De esta forma pueden construirse buques de acero (casi 8 veces más denso que el agua) sin que se hundan, salvo si se rompe el casco y su interior se llena de agua.

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En los submarinos el Principio de Arquímedes es usado para ascender y descender (desalojando y llenando el submarino con agua), para así variar el empuje: Para sumergir el submarino se introduce agua en los tanques de lastre hasta que se alcanza la profundidad deseada, aumentando así la densidad del submarino y por lo tanto tiende a sumergirse. La vuelta a la superficie se consigue inyectando aire comprimido dentro de esos tanques para expulsar el agua, disminuyendo la densidad del submarino y éste tiende a flotar. Cuando la fuerza de empuje E es menor que el peso del cuerpo W, éste se hundirá, E<W; esto sucede cuando la densidad del cuerpo Dc es mayor que la densidad del fluido Df, Dc>Df .

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W HAGAMOS UN EJEMPLO DEL PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES! Un bloque de hielo, de densidad 0,9 g/cm3, flota sobre el agua. ¿Qué fracción del volumen se encuentra sumergida? Solución: Lo primero que debemos hacer es el diagrama de fuerzas que actúan sobre el bloque de hielo (Ver Figura). Como el bloque de hielo se encuentra en equilibrio, entonces: E E = W (Ecu. 1) Pero E = Dagua g Vsumergido; entonces remplazamos en ecu. 1: Dagua g Vsumergido = W (Ecu. 2) Como el peso del bloque de hielo es mg, remplazamos en ecu. 2 Dagua g Vsumergido = mhielo g (Ecu. 3) Las g se cancelan y mhielo = Dhielo Vhielo, remplazamos en ecu. 3: Dagua Vsumergido = Dhielo Vhielo (Ecu. 4) Despejamos la razón , ya que es esto lo que pide el problema: Vsumergido /Vhielo = Dhielo/Dagua Remplazamos con los datos del problema: Vsumergido /Vhielo = 0,9 g/cm3 = 0,9 …. Es decir que 1 g/cm3 el 90% del bloque de hielo se encuentra sumergida.

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AHORA TE TOCA A TI!! Resuelve los siguientes problemas: Un cuerpo pesa 100 N en el aire y 90 N en el agua. Determinar el volumen y la densidad del cuerpo. Se nota que un barco de forma rectangular, de sección 2 m por 5 m se hunde 0,5 m cuando se carga. ¿Cuál es el peso de la carga? ¿Cuál debe ser la densidad de una esfera maciza que flota la mitad sumergida en mercurio y la otra mitad en agua que flota sobre el mercurio? Un objeto pesa en el aire 50 N, sumergido en agua 45 N, y en cierto líquido 46 N. ¿Cuáles son el volumen del objeto y su densidad, y la densidad del líquido? Una esfera hueca hecha de un material de densidad 8 g/cm3, flota completamente en agua. Si el radio externo es de 2 cm, ¿Cuál será el radio interno? 2. Realiza los experimentos que encuentras en: http://www.youtube.com/watch?v=DhivqcOtwm48&feature=fvw http://www.youtube.com/watch?v=WJuilSg1Q7E&feature=related http://fq-experimentos.blogspot.com

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OTRAS FUENTES QUE PUEDES CONSULTAR! SERWAY, Raymond. Física, Tomo I. Mc Graw Hill VALERO, Valero. (1996). Física Fundamental 1. Grupo Editorial Norma. Bogotá. ACOSTA, Alonso. (1963). Introducción a la Física. Publicaciones Cultural Colombiana. Bogotá. BARRERA,Pilar. (2005). Física 1. Grupo Editorial Norma. Bogotá. YUNUS, Cengel. (2006). Mecánica de Fluidos. McGraw, Argentina. POTTER, Merle, WIGGERT, David. (2002). Mecánica de Fluidos. Thomson Editores, Argentina. http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_Arquímedes http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/estatica/arquimedes/arquimedes.htm http://co.kalipedia.com/fisica-quimica/tema/dinamica/principio-arquimedes.html?x=20070924klpcnafyq_226.Kes http://usuarios.lycos.es/pefeco/arquimides/arquimedes_indice.htm http://www.youtube.com/

Summary: Esta presentación muestra generalidades sobre el Principio de Arquímedes, iniciando por una breve biografía y finalizando con una serie de ejercicios y experimentos propuestos; se hace una demostración de su fórmula, se resuelve un problema como ejemplo de aplicación y se explica la flotabilidad de los cuerpos a partir de los barcos y submarinos.

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