TRIÁNGULO DE PASCAL MARÍA TERESA ROMERO TORRES COLEGIO TÉCNICO MENORAH MATEMÁTICAS

Una forma de obtener el triángulo de Pascal es lanzando una moneda al aire una vez, dos veces, tres veces y así sucesivamente, e ir anotando las posibilidades en que puede caer cara así: COMO SE CONSTRUYE EL TRIÁNGULO DE PASCAL

Si se escriben los números en forma de torre, de las posibilidades en que puede darse la sucesión quedaría así : Y se tendría el TRIÄNGULO DE PASCAL O TRIÁNGULO DE TARTAGLIA 1 1 + 2 = 1 3 4 + = 4 4 4 + = También se puede construir el triángulo sumando los dos números adyacentes, y escribiendo su resultado en la parte de abajo, veamos unos ejemplos.

1 1 1 1 1 2 1 1 3 5 10 4 5 1 10 6 4 3 1 1 35 1 1 6 1 15 20 15 6 1 7 21 35 7 21 1 1 2 4 8 16 32 64 128 2° 21 22 23 24 25 26 27 OBSERVEMOS REGULARIDADES SERIE DE NÚMEROS NATURALES SERIE DE POTENCIAS DE DOS +2 +3 +4 +5 +6 SERIE DE NÚMEROS TRIÁNGULARES SUMA

APLICACIONES EN EL BINOMIO DE NEWTON Para ello veamos como se van desarrollando las potencias de (a+b).Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta secuencia del triángulo de Pascal de tal suerte que en la primer fila son los coeficientes para n=0, en la segunda son los coeficientes para n=1, y así sucesivamente, veamos un ejemplo   ( a + b )7= Como vemos, n = 7 entonces desarrollamos el polinomio con los coeficientes de la fila correspondiente del triángulo de Pascal, los cuales son: 1 , 7 , 21 , 35 , 35 , 21 , 7 , 1 Sustituyendo en la serie de Newton: ( a + b )7= 1a7 + 7a6b + 21a5b2 + 35a4b3 + 35a3b4 + 21a2b5 + 7ab6 + 1b7

Completar la tabla para cuando se realizan 4 lanzamientos de la moneda al aire ACTIVIDADES a) Escribe los tres siguientes números triangulares: c) ¿Cuál es el décimo número triangular? f) Escribe una fórmula general para obtener cualquier número triangular : g) ¿Cuántos choques de mano se producen cuando se encuentran 5 amigos? Números triangulares. Podemos representar los números enteros mediante colecciones de puntos. Cada punto representa una unidad. Los siguientes números se pueden disponer formando un triángulo. Se les llama números triangulares. 1                 3                         6              10

Números cuadrados Los números cuadrados son aquellos cuyos puntos forman un cuadrado. Coinciden con los cuadrados de los números enteros. Comprueba que todo número cuadrado es suma de números impares consecutivos empezando por 1:      1 = 1;    1 + 3 = 4 ;    1 + 3 + 5 = 9 ;     1 + 3 + 5 + 7 = 16 Escribe los 6 primeros términos de las secuencias de los números triangulares y cuadrados: Nos Triangulares:   ___ , ___ , ___ , ___ , ___ , ___ Nos Cuadrados:      ___ , ___ , ___ , ___ , ___ , ___ Halla el noveno término del desarrollo de (X – Y)12 __ Halla el término central del desarrollo de (√ X + Y )8