LA DERIVADA

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LA DERIVADA Edith Lucia Palacios Romero Colegio Distrital Los Tejares Matemáticas

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OBJETIVO Aprender la técnica de derivación de una suma o resta de polinomios.

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INTRODUCCION HISTORICA Los problemas típicos que dieron origen al Cálculo Infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de Grecia (siglo III a.C.), pero, no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta 20 siglos después (en el siglo XVII por obra de Newton y Leibnitz).   En lo que atañe a las derivadas, existen dos conceptos de tipo geométrico: el problema de la tangente a una curva (concepto griego estático en contraste con el concepto cinemático de Arquímedes) y el problema de los extremos (máximos y mínimos) que en su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como Cálculo Diferencial.   El problema de la tangente a una curva, fue analizado y resuelto primeramente por Apolonio (200 a.C.). En cuanto al problema de los extremos relativos de una función, fue Pierre de Fermat (1601 – 1665) quien en el año 1629, hizo dos importantes descubrimientos que están relacionados con sus trabajos sobre lugares geométricos. En el mas importante de ellos, titulado Methodus ad disquirendam maximan et miniman ("Métodos para hallar máximos y mínimos"), Fermat expone un método muy ingenioso para hallar los puntos en los cuales una función polinómica de la forma y = f (x), toma un valor máximo o mínimo. Fermat comparaba el valor de f (x) en un cierto punto, con el valor de f (x + E) en un punto próximo; en general, estos dos valores son distintos, pero, en una "cumbre" o en el fondo de un "valle" de una curva "lisa" la diferencia es casi imperceptible. Por lo tanto, para hallar los puntos que corresponden a valores máximos o mínimos de una función, Fermat iguala f (x) con f (x + E), teniendo en cuenta que estos valores son "casi iguales". Cuanto mas pequeña sea la diferencia E entre los dos puntos, mas cerca está la igualdad de ser verdadera. Así, después de dividir todo por E, hace E = 0. El resultado le permite calcular las abscisas de los máximos y mínimos de la función polinómica. Esta fue la razón que asistió a Laplace al aclamar a Fermat como el verdadero descubridor del Cálculo Diferencial. Sin embargo, aunque son muchos y numerosos los precursores, algunos historiadores han considerado que es a Newton (sir Isaac Newton. 1642 – 1727. Nacido en Woolstharpe (Inglaterra)) y a Leibnitz (Gottgried Wilhelm Leibnitz. 1646 – 1716. Nacido en Leipzig (Alemania)) a quienes se les puede atribuir justificadamente la invención de las derivadas y de las integrales

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LA DERIVADA Concepto La derivada de una función en un punto dado: Sea F(X) una función; sea Xo un elemento del dominio de esa función. La derivada de F(X) en el punto Xo se define así: F’ (Xo) = Lím F (Xo + h ) – F (Xo) h →0 h Con F’ (Xo) se simboliza la derivada de la función F(X) en el punto Xo. Se dice que la función F(X) es derivable en Xo, cuando el límite que define F’ (X) existe. La derivada de una función en un intervalo: Si una función es derivable en cada uno de los puntos de un intervalo, se dice que es derivable en dicho intervalo. Si el intervalo considerado es el dominio de la función, entonces la función: F’(X) = Lím F (X + h) – F(X) h→0 h Se llama simplemente la derivada de una función F(X), subentendiendo que X s cualquier punto del dominio de la función.

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CALCULO DE DERIVADAS http://www.youtube.com/watch?v=oIy_CsJrf9M la derivada de un polinomio http://www.youtube.com/watch?v=09gn3AHShBY cálculo de una derivada http://www.youtube.com/watch?v=bECDIDbBHbw derivada de una suma http://www.youtube.com/watch?v=5FqTmF5rJQ4 derivada por definición http://www.youtube.com/watch?v=zlvz0aemhwE derivada de una suma de términos.

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ACTIVIDADES Reglas de derivación: La derivada de una función constante es cero. Esto es, si f(x) = c, para alguna constante c, entonces f’(x) = 0. Ejemplo: Si f(x) = 8 entonces f‘(x) = 0 Si f es una función diferenciable y f(x) =xn,entones f’(x) = nxn-1, para cualquier número real n. Ejemplo: Si f(x) = 4X³ entonces f’(x) = 12X² La derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas. Esto es, si f y g son funciones diferenciales, entonces : Si T(X) = F(X) + G(X) entonces T’(X) = F’(X) + G’(X) Ejemplo: Si f(x) =3X³ + 4X² - 2X – 7 entonces f‘(x) =9X² + 8X - 2

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EJERCICIOS Hallar la derivada de las siguientes suma g(x) = x3 – 4x + 2s: f(x) = x2 + x + 1 Puedes además resolver los ejercicios planteados en las siguientes páginas web: http://www.derivadas.es/ejercicios.htm http://www.ejerciciosyexamenes.com/derivadas.pdf http://www.vitutor.com/fun/4/b_2.html http://www.vitutor.net/1/48html http://www.dervor.com/derivadas/derivada_suma.html

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REFERENCIAS Gómez, Naya de., Delgado Julia de., Alfonso Hernando., Camargo Arturo., (1980). Matemática contemporánea, 72 – 74. Wikipedia., La enciclopedia libre. http://www.es.wikipedia.org/wiki/Derivada http://www.descartes.cnice.mec.es/materiales_di dactico/Funcion_derivada/derivada_indice.htm

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