Tema 1 - Polinomios y fracciones algebraicas

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Tema 1 - Polinomios y fracciones algebraicas José Luis García Primero de Bachillerato

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1. Polinomios Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o la resta de dos o más monomios Se dice que un polinomio es reducido cuando no tiene monomios semejantes (del mismo grado). Por ejemplo, el polinomio puede reducirse si sumamos los monomios semejantes: El grado de un polinomio es el grado del término de mayor grado de su polinomio reducido. Por ejemplo, el grado de es 2. 1.1. Definiciones

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El valor numérico de un polinomio P(x) para un valor x=a, P(a), se obtiene sustituyendo x por a y operando. 1.2. Valor numérico de un polinomio 2. Operaciones con polinomios 2.1. Suma y resta de polinomios Para sumar o restar polinomios, se suman o se restan los monomios de igual grado. Ejercicio resuelto Suma los polinomios y

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2.2. Multiplicación de polinomios El producto de dos polinomios, se halla multiplicando cada uno de los monomios de uno de ellos por todos los monomios del otro, y sumando después los polinomios obtenidos. Ejercicio resuelto Multiplica los polinomios y Evita errores Al multiplicar dos polinomios, el grado del polinomio resultante, es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

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2.3. División de polinomios Al dividir dos polinomios, P(x) y Q(x), obtenemos otros dos polinomios, C(x) y R(x), que cumplen: P(x) = Q(x) . C(x) + R(x), siendo el grado de R(x) < grado de Q(x) Además, el grado del cociente es igual a la diferencia de los grados del dividendo y el divisor: grado C(x) = grado P(x) - grado Q(x) Para que pueda realizarse la división, el grado del dividendo, P(x), debe ser mayor o igual que el grado del divisor, Q(x). Ejercicio resuelto Haz la siguiente división de polinomios

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3. Regla de Ruffini La Regla de Ruffini es un procedimiento para realizar divisiones de polinomios en las que el divisor es del tipo (x-a), siendo a un número entero. La regla de Ruffini solo se puede aplicar para divisores del tipo (x-a), es decir, para polinomios de grado 1, donde el coeficiente de la x sea 1. Si el divisor es del tipo (-x-a), para aplicar la regla de Ruffini multiplicaremos por -1 el dividendo y el divisor. Ejercicio resuelto Haz la siguiente división de polinomios Cociente: Resto:

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4. Raíces de un polinomio Un número a es raíz de un polinomio P(x) si se cumple que el valor numérico del polinomio para x=a es cero. Propiedades El número de raíces de un polinomio siempre es menor o igual que su grado. Para que un número entero a sea raíz de un polinomio P(x), debe cumplirse que a sea divisor del término independiente del polinomio. Ejercicio resuelto Calcula las raíces enteras de este polinomio Primero hallamos los divisores del término independiente, si no tiene, como en este caso, sacamos factor común la mayor potencia de x posible. Los divisores del término independiente (6) son: Las raíces del polinomio son: 0, 1, -2 y -3

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5. Factorización de polinomios Factorizar un polinomio es escribirlo como producto de polinomios del menor grado posible. Para factorizar un polinomio podemos utilizar diversas técnicas como, por ejemplo, sacar factor común, aplicar las igualdades notables y calcular las raíces del polinomio utilizando Ruffini. Ejercicio resuelto Factoriza este polinomio Primero hallamos los divisores del término independiente, si no tiene, como en este caso, sacamos factor común la mayor potencia de x posible. Los divisores del término independiente (2) son: Con el polinomio de 2º, miramos igualdades notables o resolvemos la ecuación de segundo grado: Por tanto, nuestro polinomio factorizado es:

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6. Fracción Algebraica Una Fracción algebraica es una división indicada por dos polinomios, donde el denominador es siempre de grado distinto de cero. Para simplificar fracciones algebraicas podemos seguir los siguientes pasos: Primero. Descomponemos el numerador y el denominador en tantos factores como sea posible. Para ello sacamos factor común y aplicamos las igualdades notables. Segundo. Dividimos el numerador y denominador entre sus factores comunes y simplificamos. 6.1. Simplificar fracciones algebraicas

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6.2. Reducir a común denominador fracciones algebraicas Sigue estos pasos para reducir a común denominador: Primero. Multiplicamos los denominadores de las fracciones para obtener el denominador común. El denominador común es: Segundo. Dividimos el nuevo denominador común entre el denominador de cada fracción, y el resultado lo multiplicamos por su numerador.

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6.3. Suma y resta de fracciones algebraicas Para sumar o restar fracciones algebraicas es necesario, primero, reducirlas a común denominador. Luego se suman o se restan sus numeradores y se dividen entre el denominador común. Ejercicio resuelto Realiza la siguiente operación: Hallamos el denominador común: Pasamos todas las fracciones a común denominador:

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6.4. Multiplicación y división de fracciones algebraicas Para multiplicar dos fracciones algebraicas se multiplican sus numeradores y sus denominadores. Ejercicio resuelto Realiza la siguiente operación: Para dividir dos fracciones algebraicas se multiplica la primera fracción por la inversa dela segunda. Ejercicio resuelto Realiza la siguiente operación:

Summary: Apuntes de Polinomios y Fracciones Algebraicas. Primero de Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias sociales

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