Tema 2 - Determinantes

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Tema 2: Determinantes José Luis García Segundo de Bachillerato

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1. Determinantes de orden 2 y 3 por Sarrus 1.1. Determinante de una matriz cuadrada El determinante de una matriz cuadrada es un número. Se representa cambiando los paréntesis de la matriz por barras verticales. 1.2. Determinante de una matriz 2x2 por Sarrus El determinante de una matriz cuadrada de orden 2 por Sarrus es igual al producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.

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1.3. Determinante de una matriz 3x3 por Sarrus 1.4. Casos en los que el determinante es cero a) Si una matriz tiene una línea de ceros. b) Si una matriz tiene dos líneas paralelas iguales u opuestas. c) Si una matriz tiene dos líneas paralelas proporcionales. d) Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de otras paralelas.

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1. El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta. 2. Propiedades de los determinantes 2. Si en una matriz cuadrada intercambiamos dos de sus líneas (filas o columnas), su determinante cambia de signo. 3. Si en una matriz cuadrada multiplicamos por un mismo número todos los elementos de una misma línea (fila o columna), su determinante queda multiplicado por ese número.

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4. Si en una matriz cuadrada tiene una línea (fila o columna) de ceros, su determinante es cero. 5. Si a una línea (fila o columna) de una matriz cuadrada le sumamos una combinación lineal de las demás, su determinante no varía. 6. Si una matriz cuadrada tiene dos líneas (filas o columnas) iguales, su determinante es cero. 7. Si una matriz cuadrada tiene dos líneas (filas o columnas) proporcionales, su determinante es cero.

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8. Si una matriz cuadrada tiene una línea (fila o columna) que es combinación lineal de las demás, su determinante es cero. 9. Para cualquier línea (fila o columnas) de un determinante se cumple que:

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El menor complementario de un elemento aij de una matriz es el determinante de la matriz que se obtiene al suprimir la fila y la columna correspondientes al elemento aij. Se representa por Mij. 3. Menor complementario y adjunto El adjunto de una elemento aij de una matriz es el menor complementario con un signo positivo o negativo según sea par o impar la suma de la fila y la columna. Se representa por Aij. Se tiene que Aij = (-1)i+j Mij 3.1. Menor complementario 3.2. Adjunto

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Regla práctica El signo de a11 es positivo, y al cambiar en horizontal o en vertical un lugar, se cambia de signo. Al moverse en diagonal es el mismo. Un determinante es igual a la suma de los elementos de una línea multiplicados por sus adjuntos. 3.3. Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea

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a) Si el determinante es de orden 2 o 3, se puede aplicar Sarrus b) Si el determinante es de orden 3 o mayor que 3, se hacen ceros todos los elementos de una línea mediante el siguiente procedimiento: 1. Se elige la línea más cómoda, la que tena un 1, un -1 o un número que sea divisor del resto de los elementos de la línea, y si tiene algunos ceros, mejor. 2. Se hacen cero el resto de los elementos de la línea, cada vez uno, sumándole o restándole otra línea paralela multiplicada por un número. 3. Se desarrolla el determinante por elementos de esta línea y será igual al elemento elegido multiplicado por su adjunto. 3.4. Desarrollo práctico de un determinante

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La matriz adjunta de una matriz es la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto. 4. Matriz inversa La matriz inversa de A es una matriz que se representa por A-1 y que verifica: 4.1. Matriz adjunta 4.2. Definición de matriz inversa

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Procedimiento para calcular la matriz inversa: a) Se calcula el determinante de la matriz. b) Se calculan los adjuntos de todos sus elementos, ordenados como están escritos en la matriz. c) Se escribe la traspuesta de la matriz adjunta dividiendo cada uno de sus elementos por el determinante de la matriz.

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Muchas ecuaciones matriciales se pueden resolver directamente; para ello se despeja la matriz incógnita y luego de hacen las operaciones. Una matriz que está sumando pasa al otro miembro restando. Una matriz que está multiplicando pasa al otro miembro la inversa, pero multiplicando por el mismo lado que estaba. 5. Ecuaciones matriciales 5.1. Resolución directa de ecuaciones matriciales

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A veces no es posible despejar la matriz incógnita X. En estos casos: a) Se escribe la matriz incógnita con variables a, b, c, ... en todos sus elementos. b) Se efectúan las operaciones de cada uno de los miembros de la ecuación. c) Mediante la igualdad de matrices se pasa a un sistema lineal. d) Este sistema lineal suele ser compatible indeterminado; hay que resolverlo y dejar la matriz incógnita X con el menor número posible de parámetros. 5.2. Resolución de ecuaciones matriciales pasando a un sistema

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El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes. Para hallar el rango de una matriz por Gauss, ésta se transforma en otra equivalente que tenga el triángulo inferior de ceros. El rango es el número de filas distintas de cero que resulten. Arreglos iniciales a) Se eliminan líneas iguales. b) Se eliminan líneas proporcionales. c) Se eliminan líneas que se vea directamente que son combinación lineal de otras paralelas. d) Se deben cambiar filas y columnas de orden para que en el término a11 quede el número más sencillo. 6. Rango de una matriz 6.1. Cálculo del rango por Gauss

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a) Es de rango 1 si las dos filas y columnas son proporcionales. b) Es de rango 2 si las dos filas y columnas no son proporcionales. 6.2. Cálculo del rango de una matriz que tenga 2 filas o 2 columnas

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a) Es de rango 1 si las tres filas y columnas son proporcionales. b) Es de rango 3 si su determinante es distinto de cero. c) Es de rango 2 si su determinante es cero y hay dos líneas que no son proporcionales 6.3. Cálculo del rango de una matriz 3x3 a) Si la matriz es cuadrada, se halla el determinante y se resuelve la ecuación correspondiente. Para todos los valores que no lo anulen, el rango es máximo, y para los valores que lo anulan hay que estudiarlo individualmente. b) Si la matriz no es cuadrada, se hace por Gauss. Discusión del rango en función de un parámetro

Summary: Apuntes determinantes para bachillerato

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