Tema 3 - Sistemas de Ecuaciones Lineales

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doblas57 (2 years ago)

muy buena presentación

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doblas57 (2 years ago)

Gracias

doblas57 (2 years ago)

Gracias

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Tema 3: Sistemas de Ecuaciones Lineales José Luis García Segundo de Bachillerato

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Sistema lineal heterogéneo Un sistema lineal heterogéneo es aquel en el que no todos los términos independientes son nulos. Sistema lineal homogéneo Un sistema lineal homogéneo es aquel en el que todos los términos independientes son nulos. 1. Sistemas de ecuaciones lineales 1.1. Clasificación de los sistemas Los sistemas pueden ser: a) Sistema compatible: sistema que tiene solución. Sistema compatible determinado: tiene una única solución. Sistema compatible indeterminado: tiene un número infinito de soluciones b) Sistema incompatible: sistema que no tiene solución.

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1.2. El método de Gauss Sistema escalonado Un sistema escalonado es aquel que no tiene términos debajo de la diagonal de las incógnitas. El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente y escalonado: Se eliminan las ecuaciones que sean combinación lineal de las otras. Se intercambian las ecuaciones e incógnitas, de forma que le primer coeficiente de la primera incógnita de la primera ecuación sea el número más sencillo, a poder ser 1 o -1. Se hacen las transformaciones que permitan conseguir un sistema equivalente escalonado, y se resuelve. Si quedan más incógnitas que ecuaciones se pasan las incógnitas sobrantes al segundo miembro y se resuelve en función de ellas. Sistema equivalente Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Las transformaciones que permiten obtener sistemas equivalentes son: Multiplicar o dividir todos los términos de una ecuación por un mismo número distinto de cero. Eliminar ecuaciones que sean combinaciones lineales de las otras ecuaciones. Sustituir una ecuación por otra que sea combinación lineal de ella con las restantes.

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Ejercicio resuelto: Resuelve el siguiente sistema por el método de Gauss y clasifícalo: Se permuta la 1ª fila con la 2ª, y se escriben a la derecha las operaciones que se van realizando: La solución del sistema es x=2, y=3, z=1 El sistema es heterogéneo compatible determinado.

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2. Estudio de los sistemas Discutir un sistema consiste en clasificarlo: Al resolver un sistema por el método de gauss, éste se clasifica según se obtenga: a) Una solución  Compatible determinado. b) Menos ecuaciones que incógnitas  Compatible indeterminado. c) 0 = N, siendo N un número Real distinto de cero  Incompatible. 2.1. Discusión de los sistemas Solución trivial Un sistema homogéneo es siempre compatible porque tiene la solución trivial, que es aquella en la que todas las variables son ceros.

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Ejercicio resuelto: Resuelve y discute el siguiente sistema: Se escriben a la derecha las operaciones que se van realizando: La solución del sistema es x=z/2, y=z/2 El sistema es homogéneo compatible indeterminado. En la solución del sistema, las incógnitas están en función de z. Si se le da a z un valor variable, z=λ, la solución se expresa en función de ese valor, obteniéndose las ecuaciones paramétricas: Si se le dan a λ distintos valores, se obtienen las soluciones particulares del sistema: Si λ=0  x=0, y=0, z=0, que es la solución trivial. Si λ=1  x=1/2, y=1/2, z=1 Si λ=2  x=1, y=1, z=2 Solución en ecuacio-nes paramétricas La solución de un sistema en ecuaciones paramétricas se obtiene al escribir las incógnitas en función de unos parámetros. Los parámetros suelen representarse con letras griegas, λ (lambda) y µ (mu).

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Una ecuación lineal con dos incógnitas representa una recta en el plano. 3. Interpretación gráfica 3.1. Sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas

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Una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio. 3.2. Sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas

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Para resolver un problema, se debe leer el enunciado tantas veces como sea necesario, hasta identificar cuáles son las incógnitas, los datos, las relaciones y las preguntas. En los problemas geométricos se debe hacer siempre un dibujo, y en todos ellos, un esquema. El procedimiento se puede dividir en los siguientes pasos: a) Entérate: se escriben las incógnitas, los datos y las preguntas. b) Manos a la obra: se plantean las relaciones, se transforman en un sistema y se resuelve. c) Solución y comprobación: se escriben las respuestas a las preguntas que hace el problema y se comprueba que cumplen las relaciones dadas. 4. Resolución de problemas 4.1. Procedimiento de resolución de problemas

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Ejercicio resuelto: Hemos comprado un disco, un libro y una agenda. El precio del libro es el doble del precio del disco, y también es el triple de la diferencia del precio de la agenda y el disco. Considerando que hemos pagado 140€, calcula los precios de los tres artículos. a) Entérate: incógnitas, datos y preguntas Sean: Precio del disco: x Precio del libro: y Precio de la agenda: z Sabemos que se han pagado 140€ por los tres artículos. Debemos calcular el precio de cada artículo. b) Manos a la obra Ordenando las ecuaciones y resolviendo el sistema: c) Solución y comprobación Se comprueba: Los precios son: disco: 30€, libro: 60€ y agenda: 50€

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5. Teorema de Rouché 5.1. Matrices de un sistema lineal En un sistema de n ecuaciones lineales con p incógnitas se distinguen las siguientes matrices: En la matriz ampliada se separa con una barra vertical la columna de términos independientes.

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Ejemplo: cuyas matrices son:

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Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si y solo si el rango de las matrices de coeficientes, C, es igual al rango de la matriz ampliada con los términos independientes, A. Sistema compatible  R(C) = R(A) 5.2. Teorema de Rouché Discutir o estudiar un sistema consiste en clasificarlo sin resolverlo aplicando el teorema de Rouché. Para ello, se calcula el rango de la matriz de los coeficientes, C, y el rango de la matriz ampliada con los términos independientes, A, y se sigue el esquema. Siendo la letra n el número de incógnitas: 5.3. Discutir un sistema

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Si el número de ecuaciones coincide con el de incógnitas, se halla el determinante de la matriz de coeficientes, y si es: a) Distinto de cero, el sistema es compatible determinado. b) Igual a cero, se calcula el rango de la matriz ampliada por Gauss. Estrategia para discutir o estudiar un sistema

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En un sistema de Cramer, cada incógnita es el cociente de dos determinantes: El determinante del denominador es el de la matriz de coeficientes. b) El determinante del numerador es el que resulta de sustituir, en el determinantes de los coeficientes, la columna correspondiente a los coeficientes de la incógnita que se despeja, por los términos independientes. 6. Regla de Cramer 6.1. Regla de Cramer Un sistema es de Cramer si tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero, es decir, el sistema es compatible determinado.

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Ejercicio resuelto: Resuelve por Cramer el siguiente sistema: Determinante de los coeficientes: La solución es:

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Una estrategia eficaz para discutir estos sistemas es: Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes y se hallan sus raíces. Para aquellos valores para los que no se anule el determinante, se tendrá que R(C)=R(A)=3, y el sistema será compatible determinado. Para los valores que son raíces del determinante de la matriz de los coeficientes, se estudia el sistema por Gauss o por Rouché. 7. Discusión de sistemas con parámetros 7.1. Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas Discutir un sistema en función de un parámetro consiste en clasificar el sistema en función de los valores del parámetro.

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Ejercicio resuelto: Discute, según los valores del parámetro k, el siguiente sistema: a) Se calcula: Para todo valor de k≠0 y k≠3, se verifica que: R(C) = R(A) = 3 = número de incógnitas y, por tanto, el sistema es compatible determinado. b) Se estudian los valores que son raíces de Para k=0 se tiene el sistema: Se tiene que R(C) = R(A) = 1 < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado.

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Ejercicio resuelto: Para k=3 se tiene el sistema: Se tiene que R(C) = 2 ≠ R(A) = 3, y por tanto, el sistema es incompatible.

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Una estrategia eficaz para discutir estos sistemas es: Se calcula el determinante de la matriz ampliada y se hallan sus raíces. Para aquellos valores para los que no se anule el determinante, se tendrá que R(C)≤2 y R(A)=3, y el sistema será incompatible. Para los valores que son raíces del determinante de la matriz ampliada, se estudia el sistema por Gauss o por Rouché. 7.1. Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas

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Ejercicio resuelto: Discute, según los valores del parámetro k, el siguiente sistema: a) Se calcula: Para todo valor de k≠1, se verifica que: R(C) < R(A) = 3 y, por tanto, el sistema es incompatible. b) Se estudian los valores que son raíces de Para k=1 se tiene: Se tiene que R(C) = R(A) = 2 = número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible determinado.

Summary: Explicaciones del tema Sistemas de Ecuaciones Lineales de segundo de bachillerato. Matemáticas II

Tags: matemáticas sistemas ecuaciones bachillerato

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